Все выпуски

В статье исследуются свойства функции цены задачи оптимального управления на бесконечном горизонте с неограниченным подынтегральным индексом, входящим в функционал качества с дисконтирующим множителем. Выводится оценка аппроксимации функции цены в задаче с бесконечным горизонтом значениями функции цены в задачах с удлиняющимся конечным горизонтом. Выявляется структура функции цены через значения стационарной функции цены, зависящей только от фазовой переменной. Дается описание асимптотики роста значений функции цены для функционалов качества различного вида, принятых в экономическом и финансовом моделировании: логарифмических, степенных, экспоненциальных, линейных. Устанавливается свойство непрерывности функции цены и выводятся оценки гёльдеровских параметров непрерывности. Полученные оценки необходимы для разработки сеточных алгоритмов построения функций цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом.

The article investigates properties of the value function of the optimal control problem on infinite horizon with an unlimited integrand index appearing in the quality functional with a discount factor. The estimate is derived for approximating the value function in a problem with the infinite horizon by levels of value functions in problems with lengthening finite horizons. The structure of the value function is identified basing on stationary value functions which depend only on phase variables. The description is given for the asymptotic growth of the value function generated by various types of the quality functional applied in economic and financial modeling: logarithmic, power, exponential, linear functions. The property of continuity is specified for the value function and estimates are deduced for the Hölder parameters of continuity. These estimates are needed for the development of grid algorithms designed for construction of the value function in optimal control problems with infinite horizon.

В статье рассматривается задача о приведении движения нелинейной управляемой системы в начало координат при заданном интегральном ресурсе управления на конечном промежутке времени. Исследуется вопрос о построении локального синтеза управления, решающего задачу, в предположении, что промежуток времени, в течение которого осуществляется перевод системы, достаточно мал. Указаны достаточные условия, при выполнении которых задачу можно решить путем приближенной замены нелинейной системы ее линеаризацией в окрестности начала координат.

The paper considers the problem of leading a nonlinear control system to the origin of coordinates at a given integral control resource on a finite time interval. We investigate the question of the construction of local control synthesis that solves the problem, assuming that the time interval during which the system is moved is sufficiently small. We indicate sufficient conditions under which the problem can be solved by the approximate replacement of the nonlinear system by its linearization in the neighborhood of the origin.

Рассматривается бесконечнолинейная система массового обслуживания с положительными и отрицательными заявками и блоком восстановления для искаженных положительных. Основным методом исследования является метод асимптотически-диффузионного анализа, заключающийся в построении диффузионной аппроксимации распределения вероятностей числа заявок в блоке восстановления. Были получены одномерные распределения вероятностей числа заявок в блоке обслуживания и числа заявок в блоке восстановления. Для определения области применимости полученных асимптотических результатов построена имитационная модель функционирования СМО.

In this paper, we consider an infinite-linear queuing system with positive and negative calls and a recovery unit for distorted positive ones. The main research method is the method of asymptotic diffusion analysis, which consists in constructing a diffusion approximation of the probability distribution of the number of calls in the recovery block. One-dimensional probability distributions of the number of calls in the service block and the number of calls in the recovery block are obtained. The simulation model of the queuing system functioning is built. The field of applicability of the obtained asymptotic results has been established.

Для линейной нестационарной сингулярно возмущенной системы управления с постоянным запаздыванием по состоянию в уравнении для медленных переменных (ЛНСВСЗ) на основе представления оператора правой части системы в кольце полиномов от оператора запаздывания, погружения ЛНСВСЗ в семейство систем в расширенном пространстве состояний и применения невырожденных преобразований разработан метод построения асимптотических аппроксимаций решений ЛНСВСЗ. Построены асимптотические аппроксимации нулевого и первого порядков решения задачи Коши для ЛНСВСЗ.

For a linear time-varying singularly perturbed control system with constant state delay in the equation for slow variables (LTVSPSD), a method for constructing asymptotic approximations of solutions has been developed based on the representation of the right-hand side operator of the system in a ring of polynomials in the delay operator, embedding the LTVSPSD into a family of systems in the extended state space, and applying non-degenerate transformations. Asymptotic approximations of zero and first orders of the solution of the Cauchy problem for the LTVSPSD are constructed.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

We study the long-time evolution of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow subject to the initial topography of its boundaries and bottom velocities. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is assumed to have a smaller density than the lower layer. Based on lubrication approximation (the Reynolds equations) the nonlinear system of diffusion-type equations with respect to the surface and interface between the layers is obtained to describe this flow. Taking the dimensionless density contrast between the layers as a small parameter, we apply the method of asymptotic expansions to extract leading-term approximation for the slowly varying large-time evolution of the governing equations. An asymptotic equation relating both surface and interface displacement to the bottom velocities is derived. Based on this equation, we develop the algorithm to calculate velocity fields within layers for large time. Streamlines are used to visualize the flow. Numerical results reveal stability of the streamlines in the upper layer under variation of the bottom velocity. As geophysical applications, the developed algorithm is used to evaluate the velocity field in the crust (the upper layer) beneath the large-scale lunar multi-ring basins influenced by deep movements in the underlying mantle (the lower layer). To validate the results of modeling, we compare the calculated velocity fields with basin ridge systems obtained by experimental observations. The model comparison has shown proximity of radii of basin rings and critical points of the surface velocity.

На основе упрощенных уравнений Навье-Стокса в длинноволновом приближении построена нелинейная модель двухслойного течения вязкой жидкости со свободной границей, создаваемого начальным рельефом границ слоев. Используя метод малого параметра, исследуется эволюция течения на больших временах и определяется зависимость между движением поверхности и границы раздела жидкости. Полученные результаты применяются для расчета профиля границы кора-мантия под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier-Stokes equations is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the initial topography of the surface and interface between layers. Using the method of asymptotic expansions for the governing equations, we study a long-time evolution of the flow and reveal the relation between the surface and interface displacements. The obtained results are applied to calculate the profile of the crust-mantle interface beneath the large-scale lunar basin.

Приводится постановка нелинейной краевой задачи о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Решение задачи находится методом переменной во времени частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипативных волновых процессов. Найдено асимптотическое решение с точностью третьего приближения по волновому параметру. Показано, что частота и декремент затухания нелинейной волны с течением времени стремятся к значениям, соответствующим линейной задаче. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса в слабовязкой жидкости.

The statements of nonlinear boundary-value problem for wave propagation over the free surface of lowviscosity fluid have been presented. Solution is found by the method of time-varying frequency, which is the Stokes’ method generalized for the dissipative wave processes. The asymptotic solution up to the third-order approximation upon the wave parameter has been found. It is shown that the frequency and damping rate of the nonlinear wave tend in time to the values corresponding to a linear problem. Nonlinear trajectories of fluid particles and the expression for transfer velocity in a low-viscosity Stokes fluid have been defined.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

The paper considers the discrete Schrödinger operator on a graph with vertices on two intersecting lines, which is perturbed by a decreasing potential. This operator is the Hamiltonian of an electron near a structure formed by a quantum dot and four outgoing quantum wires in the tight-binding approximation widely used in the physics literature for studying such nanostructures. We have proved the existence and uniqueness of the solution of the corresponding Lippmann-Schwinger equation and obtained the asymptotic formula for it. The non-stationary scattering picture has been studied. The scattering problem for the above operator in the case of a small potential, and also in the case of both a small potential and small velocity of a quantum particle, is investigated. Asymptotic formulas for the probabilities of the particle propagation in all possible directions have been obtained.

В задачах управления построение и исследование областей достижимости и их аналогов очень важно. Эта статья адресована задачам о достижимости в топологических пространствах. Используются ограничения асимптотической природы, определяемые в виде непустых семейств множеств. Решение соответствующей задачи о достижимости определяется как множество притяжения. Точки этого множества притяжения (элементы притяжения) реализуются в классе приближенных решений, которые являются несеквенциальными аналогами приближенных решений Варги. Обсуждаются некоторые возможности применяемых компактификаторов. Рассматриваются вопросы реализации множеств притяжения с точностью до заданной окрестности. Исследуются некоторые топологические свойства множеств притяжения. Рассмотрен пример с пустым множеством притяжения.

In control problems, construction and investigation of attainability domains and their analogs are very important. This paper addresses attainability problems in topological spaces. Constraints of asymptotic nature defined in the form of nonempty families of sets are used. The solution of the corresponding attainability problem is defined as an attraction set. Points of this attraction set (attraction elements) are realized in the class of approximate solutions which are nonsequential analogs of the Warga approximate solutions. Some possibilities of applying compactifiers are discussed. Questions of the realization of attraction sets up to a given neighborhood are considered. Some topological properties of attraction sets are investigated. An example with an empty attraction set is considered.

Разработана нелинейная модель трехслойного течения со свободной границей на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости в длинноволновом приближении. Проведено асимптотическое исследование модели, которое показало существование двух различных режимов эволюции течения на малых и больших временах. Получено уравнение, связывающее смещения границ слоев на больших временах, не зависящее от предыстории течения. Модельные результаты используются для изучения поведения глубинной границы под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне в зависимости от изменения геометрических физических параметров модели.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier–Stokes equations is developed to study the free-surface three-layered creeping flow. An asymptotic study of the governing equations reveals two different modes of evolution at a short and long time. The relation between layers’ boundaries is obtained that is independent of a pre-history of the flow. The obtained results are applied to study a behavior of the deep interface beneath the large-scale lunar basin under the variation of geometrical and physical model’s parameters.