Все выпуски

Построена метрика в пространстве clos(Rⁿ) всех непустых замкнутых (необязательно ограниченных) подмножеств Rⁿ. Сходимость последовательности множеств в этой метрике оказывается равносильной сходимости в метрике Хаусдорфа последовательности пересечений этих множеств с центрированными в нуле шарами любого положительного радиуса, дополненных соответствующими сферами. В этой метрике доказана полнота пространства clos(Rⁿ) и замкнутость подпространства всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств Rⁿ. Получены условия равносильности сходимости по предложенной метрике и сходимости по метрикам Хаусдорфа и Хаусдорфа–Бебутова. Полученные результаты могут применяться в задачах управления, теории дифференциальных включений.

In the work, there is presented a new metric in the space clos(Rⁿ) of all nonempty closed (not necessarily bounded) subsets of Rⁿ. The convergence of sets in this metric is equivalent to convergence in the Hausdorff metric of the intersections of the given sets with the balls of any positive radius centered at zero united then with the corresponding spheres. It is proved that, with respect to the metric considered, the space clos(Rⁿ) is complete, and its subspace of nonempty closed convex subsets of Rⁿ is closed. There are also derived the conditions that guarantee the equivalence of convergence in this metric to convergence in the Hausdorff metric, and to convergence in the Hausdorff–Bebutov metric. The results obtained can be applied to studying control problems and differential inclusions.

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

The notion of uniform complete controllability of linear system introduced by R. Kalman plays a key role in problems of control of asymptotic properties for linear systems closed by linear feedback control. E.L. Tonkov has found a necessary and sufficient condition of uniform complete controllability for systems with piecewise continuous and bounded coefficients. The Tonkov criterion can be considered as the definition of uniform complete controllability. If the coefficients of the system satisfy weak conditions then the definitions of Kalman and Tonkov are not coincide. We obtain necessary conditions and sufficient conditions for uniform complete controllability in the sense of Kalman and Tonkov for systems with measurable and locally integrable coefficients. We introduce a new definition of uniform complete controllability that extends the definition of Tonkov and coincides with the definition of Kalman providing the matrix $B(\cdot)$ is bounded. We prove some known results on the controllability of linear systems that allow the weakening of the requirements on the coefficients. We prove that if a linear control system $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, with measurable and bounded matrix $B(\cdot)$ is uniformly completely controllable in the sense of Kalman then for any measurable and integrally bounded $m\times n$-matrix function $Q(\cdot)$ the system $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ is also uniformly completely controllable in the sense of Kalman.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с наблюдателем с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0, \qquad (1)$$ $$y =C^*(t)x, \quad y\in\mathbb{R}^p.\qquad (2)$$ Исследуется задача управления асимптотическими инвариантами системы, замкнутой посредством линейной нестационарной динамической обратной связи по выходу. Метод исследования, представленный в работе, базируется на построении системы асимптотической оценки состояния системы (1), (2), введенной Р. Калманом. Для решения задачи используется обобщение понятия равномерной полной управляемости по Калману, предложенное Е.Л. Тонковым для систем с коэффициентами из более широких функциональных классов. Дано определение равномерной полной наблюдаемости (в смысле Тонкова) для системы (1), (2). Для $n=2$ доказано, что свойство равномерной полной управляемости и равномерной полной наблюдаемости системы (1), (2) (в смысле Тонкова) с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами является достаточным условием глобальной управляемости верхнего особого показателя Боля, а также характеристических показателей Ляпунова системы, замкнутой посредством линейной динамической обратной связи по выходу. Для доказательства используются установленные ранее результаты о равномерной глобальной достижимости двумерной системы (1), замкнутой линейной нестационарной статической обратной связью по состоянию, при условии равномерной полной управляемости (в смысле Тонкова) открытой системы (1).

We consider a linear time-varying control system with an observer with locally integrable and integrally bounded coefficients $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0, \qquad (1)$$ $$y =C^*(t)x, \quad y\in\mathbb{R}^p. \qquad(2)$$ We study a problem of control over asymptotic invariants for the system closed by linear dynamic output feedback with time-varying coefficients. The research method presented in the paper is based on the construction of a system of asymptotic estimation for the state of the system (1), (2), introduced by R. Kalman. For solving the problem, we use the extension of the notion of uniform complete controllability (in the sense of Kalman) proposed by E.L. Tonkov for systems with coefficients from wider functional classes. The notion of uniform complete observability (in the sense of Tonkov) is given for the system (1), (2). For $n=2$, it is proved that uniform complete controllability and uniform complete observability (in the sense of Tonkov) of the system (1), (2) with locally integrable and integrally bounded coefficients are sufficient for arbitrary assignability of the upper Bohl exponent and of the complete spectrum of the Lyapunov exponents for the system closed-loop by linear dynamic output feedback. For the proof, we use the previously established results on uniform global attainability of a two-dimensional system (1), closed by linear time-varying static state feedback, under the condition of uniform complete controllability (in the sense of Tonkov) of the open-loop system (1).

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$ \dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad\qquad (1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t),$ $t\geqslant 0.$ Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad\qquad (2)$$ исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы $(2)$ означает существование такой матричной функции $U(t),$ $t\geqslant 0,$ которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N,$ $\det H_k>0.$ Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости системы $(1),$ соответствующей замкнутой системе $(2),$ т.е. при условии существования таких $\sigma>0$ и $\gamma>0,$ что при любых начальном моменте времени $t_0\geqslant 0$ и начальном состоянии $x(t_0)=x_0\in \mathbb{R}^n$ системы (1) на отрезке $[t_0,t_0+\sigma]$ найдется измеримое и ограниченное векторное управление $u=u(t),$ $\|u(t)\|\leqslant\gamma\|x_0\|,$ $t\in[t_0,t_0+\sigma],$ переводящее вектор начального состояния этой системы в ноль на данном отрезке. Доказано, что в двумерном случае, т.е. при $n=2,$ свойство равномерной полной управляемости системы $(1)$ является достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы $(2).$

We consider a linear time-varying control system with locally integrable and integrally bounded coefficients $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad\qquad (1) $$ We construct control of the system $(1)$ as a linear feedback $u=U(t)x$ with measurable and bounded function $U(t),$ $t\geqslant 0.$ For the closed-loop system $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad \qquad (2)$$ we study a question about the conditions for its uniform global attainability. The last property of the system $(2)$ means existence of a matrix $U(t),$ $t\geqslant 0,$ that ensure equalities $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ for the state-transition matrix $X_U(t,s)$ of the system $(2)$ with fixed $T>0$ and arbitrary $k\in\mathbb N,$ $\det H_k>0.$ The problem is solved under the assumption of uniform complete controllability of the system $(1),$ corresponding to the closed-loop system $(2),$ i.e. assuming the existence of such $\sigma>0$ and $\gamma>0,$ that for any initial time $t_0\geqslant 0$ and initial condition $x(t_0)=x_0\in \mathbb{R}^n$ of the system $(1)$ on the segment $[t_0,t_0+\sigma]$ there exists a measurable and bounded vector control $u=u(t),$ $\|u(t)\|\leqslant\gamma\|x_0\|,$ $t\in[t_0,t_0+\sigma],$ that transforms a vector of the initial state of the system into zero on that segment. It is proved that in two-dimensional case, i.e. when $n=2,$ the property of uniform complete controllability of the system $(1)$ is a sufficient condition of uniform global attainability of the corresponding system $(2).$

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

The paper is devoted to elaboration of polyhedral techniques for solving two control problems for linear discrete-time systems with uncertainties under state constraints, namely, the terminal approach problem and the terminal evasion one. Such problems arise in systems with two controls, where the aim of the first is to steer the trajectory onto a given terminal set at a given instant without violating the state constraints, the aim of the other is opposite. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls are bounded by parallelotope-valued constraints, and the state constraints are given in the form of so-called zones. We present techniques for solving both problems basing on polyhedral (parallelotope-valued or parallelepiped-valued) tubes. The techniques for solving the approach problem were proposed by the author earlier, but here additional properties of them are investigated. In particular, for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory that ensure that it is inside the tube. Convenient sufficient conditions are given to guarantee the obtaining of nondegenerate cross-sections during the calculations. For the evasion problem, a common solution scheme is considered, and then polyhedral techniques are proposed. The whole parametric families of external and internal polyhedral estimates for the solvability tubes for both problems are presented and compared. An illustrative example is given.

Установлен критерий равномерной полной и дифференциальной управляемости линейной системы с локально интегрируемыми по Лебегу и интегрально ограниченными коэффициентами, в случае когда критерий Калмана неприменим. Получены условия дифференциальной управляемости квазидифференциального уравнения.

The criterion of uniform complete and differential controllability of linear system with locally integrable and integrally bounded matrix coefficients is established, in a case when Kalman criterion is not applicable. Conditions of differential controllability of a quasidifferential equation are received.

Исследовано свойство равномерной полной управляемости (по Калману) линейной управляемой системы с дискретным временем

$$x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t), \quad t\in\mathbb{N}_0, \quad (x,u)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m. \qquad(1)$$

Установлено, что если система $(1)$ равномерно вполне управляема, то матрица $A(\cdot)$ вполне ограничена на $\mathbb N_0$ (т.е. $\sup_{t\in\mathbb{N}_0}(|A(t)|+|A^{-1}(t)|)<+\infty$), а матрица $B(\cdot)$ ограничена на $\mathbb{N}_0$. Доказано, что система $(1)$ равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда при некотором $\vartheta\in \mathbb N$ при всех $\tau\in\mathbb N_0$ для матриц

$$W_1(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(t,s+1)B(s)B^*(s)X^*(t,s+1),\quad$$

  $$W_2(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(\tau,s+1)B(s)B^*(s)X^*(\tau,s+1)$$

выполнены неравенства $\alpha_1 I\leqslant W_1(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_1 I$, $\alpha_2 I\leqslant W_2(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_2 I$ с некоторыми положительными $\alpha_i$ и $\beta_i$. На основании этого утверждения доказан критерий равномерной полной управляемости системы $(1)$, аналогичный критерию Тонкова равномерной полной управляемости систем с непрерывным временем: система $(1)$ $\vartheta$-равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда матрица $A(\cdot)$ вполне ограничена на $\mathbb N_0$; матрица $B(\cdot)$ ограничена на $\mathbb N_0$; существует число $\ell=\ell(\vartheta)>0$ такое, что для любого $\tau\in\mathbb{N}_0$ и для любого $x_1\in\mathbb{R}^n$ существует управление $u(t)$, $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$, которое переводит решение системы $(1)$ из точки $x(\tau)=0$ в точку $x(\tau+\vartheta)=x_1$ при этом выполнено неравенство $|u(t)|\leqslant \ell |x_1|$, $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$.

We study the property of uniform complete controllability (according to Kalman) for a discrete-time linear control system

$$x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t), \quad t\in\mathbb{N}_0, \quad (x,u)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m. \qquad(1)$$

We prove that if the system $(1)$ is uniformly completely controllable, then the matrix $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb N_0$ (i.e. $\sup_{t\in\mathbb{N}_0}(|A(t)|+|A^{-1}(t)|)<+\infty$) and the matrix $B(\cdot)$ is bounded on $\mathbb N_0$. We prove that the system $(1)$ is uniformly completely controllable if and only if there exists a $\vartheta\in \mathbb N$ such that for all $\tau\in\mathbb N_0$ the inequalities $\alpha_1 I\leqslant W_1(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_1 I$, $\alpha_2 I\leqslant W_2(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_2 I$ hold for some positive $\alpha_i$ and $\beta_i$, where

$$W_1(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(t,s+1)B(s)B^*(s)X^*(t,s+1),\quad$$

$$W_2(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(\tau,s+1)B(s)B^*(s)X^*(\tau,s+1)$$

On the basis of this statement, we prove the following criterion for uniform complete controllability of the system $(1)$, which is similar to the Tonkov criterion of uniform complete controllability for continuous-time systems: the system $(1)$ is $\vartheta$-uniformly completely controllable if and only if the matrix $A(\cdot)$ is completely bounded on $\mathbb N_0$; the matrix $B(\cdot)$ is bounded on $\mathbb N_0$; there exists an $\ell=\ell(\vartheta)>0$ such that for every $\tau\in\mathbb{N}_0$ and for any $x_1\in\mathbb{R}^n$ there exists a control function $u(t)$, $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$, which transfers the solution of the system $(1)$ from the state $x(\tau)=0$ to the state $x(\tau+\vartheta)=x_1$, and the inequality $|u(t)|\leqslant \ell |x_1|$ holds for all $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$.

Изучается задача, относящаяся к оценке хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами достаточно малого радиуса. Задачи с такой тематикой, в которых рассматриваются не только выпуклые многоугольники, но и выпуклые компакты в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, возникают в различных областях математики и, в частности, в теории дифференциальных игр, теории управления, выпуклом анализе. Оценки хаусдорфовых отклонений выпуклых компактов в $\mathbb{R}^n$ от их геометрической разности с замкнутыми шарами в $\mathbb{R}^n$ присутствуют в работах Л.С. Понтрягина, его сотрудников и коллег. Эти оценки весьма существенны при выводе оценки рассогласования альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования и альтернированных сумм. Аналогичные оценки оказываются полезными при выводе оценки рассогласования множеств достижимости нелинейных управляемых систем в $\mathbb{R}^n$ и аппроксимирующих их множеств. В работе рассмотрен конкретный выпуклый семиугольник в $\mathbb{R}^2$. Для изучения геометрии этого семиугольника вводится понятие клина в $\mathbb{R}^2$. На базе этого понятия получена верхняя оценка величины хаусдорфова отклонения семиугольника от его геометрической разности с кругом в $\mathbb{R}^2$ достаточно малого радиуса.

We study a problem concerning the estimation of the Hausdorff deviation of convex polygons in $\mathbb R^2$ from their geometric difference with circles of sufficiently small radius. Problems with such a subject, in which not only convex polygons but also convex compacts in the Euclidean space $\mathbb R^n$ are considered, arise in various fields of mathematics and, in particular, in the theory of differential games, control theory, convex analysis. Estimates of Hausdorff deviations of convex compact sets in $\mathbb R^n$ in their geometric difference with closed balls in $\mathbb R^n$ are presented in the works of L.S. Pontryagin, his staff and colleagues. These estimates are very important in deriving an estimate for the mismatch of the alternating Pontryagin’s integral in linear differential games of pursuit and alternating sums. Similar estimates turn out to be useful in deriving an estimate for the mismatch of the attainability sets of nonlinear control systems in $\mathbb R^n$ and the sets approximating them. The paper considers a specific convex heptagon in $\mathbb R^2$. To study the geometry of this heptagon, we introduce the concept of a wedge in $\mathbb R^2$. On the basis of this notion, we obtain an upper bound for the Hausdorff deviation of a heptagon from its geometric difference with the disc in $\mathbb R^2$ of sufficiently small radius.

Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени $p>1$ смешанной производной. Показывается, что если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.

The paper deals with the terminal optimization problem connected with the Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belong to a class of functions with $p$-integrable (for some $p>1$) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle that are controls for which this principle is strong degenerate, i.e., degenerate together with second-order optimality conditions. It is shown that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and these derivatives and control are separated additively. Necessary optimality conditions of the singular controls are given for this case. These conditions generalize similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand sides in the case of solutions with bounded mixed derivatives.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего, описываемая системой вида $$\dot z_i = a_i(t) u_i - v,\quad u_i\in U_i,\quad v\in V,$$ где функции $a_i(t)$ равны 1 при всех $t$, за исключением некоторого отрезка заданной длины, на котором они равны нулю (для каждого преследователя свой отрезок). Этот факт можно трактовать так, что у каждого из преследователей возможен отказ в работе управляющего устройства в любой заранее неизвестный момент времени, а длина промежутка времени, необходимого на устранение поломки, задана, при этом в процессе устранения поломки преследователи не имеют возможности осуществлять поимку. Целевые множества — выпуклые компакты, убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены достаточные условия разрешимости задачи преследования.

In finite-dimensional Euclidian space, we treat the problem of pursuit of one evader by a group of pursuers, which is described by a system of the form $$\dot z_i = a_i(t) u_i - v, \quad u_i\in U_i, \quad v\in V,$$ where the functions $\alpha_i(t)$ are equal to 1 for all $t$, except for a certain interval of a given length, on which they are equal to zero (to each pursuer there corresponds its own interval). This fact can be interpreted in such a way that each of the pursuers has a possible failure of the control device at any previously unknown moment in time, and the length of the time interval needed to fix the failure is given, while in the process of fixing the failure the pursuers have no possibility to carry out a capture. The target sets are convex compact sets, and the evader does not leave the bounds of the convex polyhedral set. We obtain sufficient conditions for solvability of the pursuit problem.