Об одной метрике в пространстве непустых замкнутых подмножеств пространства Rn

 pdf (209K)

Построена метрика в пространстве clos(Rn) всех непустых замкнутых (необязательно ограниченных) подмножеств Rn. Сходимость последовательности множеств в этой метрике оказывается равносильной сходимости в метрике Хаусдорфа последовательности пересечений этих множеств с центрированными в нуле шарами любого положительного радиуса, дополненных соответствующими сферами. В этой метрике доказана полнота пространства clos(Rn) и замкнутость подпространства всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств Rn. Получены условия равносильности сходимости по предложенной метрике и сходимости по метрикам Хаусдорфа и Хаусдорфа–Бебутова. Полученные результаты могут применяться в задачах управления, теории дифференциальных включений.

Ключевые слова: полное метрическое пространство непустых замкнутых подмножеств Rn, подпространства, сходимость.
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2012, вып. 1, с. 15-25
DOI: 10.20537/vm120102

On one metric in the space of nonempty closed subsets of Rn

In the work, there is presented a new metric in the space clos(Rn) of all nonempty closed (not necessarily bounded) subsets of Rn. The convergence of sets in this metric is equivalent to convergence in the Hausdorff metric of the intersections of the given sets with the balls of any positive radius centered at zero united then with the corresponding spheres. It is proved that, with respect to the metric considered, the space clos(Rn) is complete, and its subspace of nonempty closed convex subsets of Rn is closed. There are also derived the conditions that guarantee the equivalence of convergence in this metric to convergence in the Hausdorff metric, and to convergence in the Hausdorff–Bebutov metric. The results obtained can be applied to studying control problems and differential inclusions.

Keywords: complete metric space of nonempty closed subsets of Rn, subspaces, convergence.
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2012, issue 1, pp. 15-25

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref