Все выпуски

Рассматривается линейная управляемая система $$\dot x=A(t)x+B(t)u,\quad t\in\mathbb R,\quad x\in\mathbb R^{n},\quad u\in\mathbb R^{m}, \qquad \qquad (1)$$ в предположении непрерывности по $t$ и $s$ матрицы Коши $X(t,s)$ свободной системы $\dot x=A(t)x$. На каждом отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ фиксированной длины $\vartheta$ задается нормированное пространство $Z_{\tau}$ функций, определенных на этом отрезке. Управление $u$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ называется допустимым, если $u\in Z_{\tau}$ и существует $\mathcal Q_{\tau}(u):=\int_{\tau}^{\tau+\vartheta}X(\tau,s)B(s)u(s)\,ds$. Векторное подпространство $U_{\tau}$ пространства $Z_{\tau}$, на котором определен оператор $\mathcal Q_{\tau}$, называется пространством допустимых управлений для системы $(1)$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$. Предложено определение равномерной полной управляемости системы $(1)$ для случая произвольной зависимости пространства допустимых управлений от момента начала процесса управления. Получены прямые и двойственные необходимые и достаточные условия равномерной полной управляемости линейной системы в этой ситуации. Показано, что при должном выборе пространства допустимых управлений полученные условия эквивалентны классическим определениям равномерной полной управляемости.

We consider a linear control system $$\dot x = A(t)x + B(t)u,\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in\mathbb{R}^{n},\quad u\in\mathbb{R}^{m}, \qquad \qquad(1)$$ under the assumption that the transition matrix $X(t,s)$ of the free system $\dot x = A(t)x$ is continuous with respect to $t$ and $s$ separately. We also suppose that on each interval $[\tau, \tau + \vartheta]$ of fixed length $\vartheta$ the normed space $Z_{\tau} $ of functions defined on this interval is given. A control $u$ on the interval $[\tau, \tau+\vartheta]$ is called admissible if $u\in Z_{\tau}$ and there exists the integral $\mathcal Q_{\tau}(u):=\int_{\tau}^{\tau+\vartheta}X(\tau,s)B(s)u(s)\,ds$. The vector subspace $U_{\tau}$ of the space $Z_{\tau}$ where the operator $\mathcal Q_{\tau}$ is defined is called the space of admissible controls for the system $(1)$ on the interval $[\tau,\tau +\vartheta]$. We propose a definition of uniform complete controllability of the system $(1)$ for the case of an arbitrary dependence of the space of admissible controls on the moment of the beginning of the control process. In this situation direct and dual necessary and sufficient conditions for uniform complete controllability of a linear system are obtained. It is shown that with proper choice of the space of admissible controls, the resulting conditions are equivalent to the classical definitions of uniform complete controllability.