Все выпуски

Пусть $T_{\rho}$ — иррациональный поворот на единичной окружности $S^{1}\simeq [0,1)$. Рассмотрим последовательность $\{\mathcal{P}_{n}\}$ возрастающих разбиений на $S^{1}$. Определим время попадания $N_{n}(\mathcal{P}_n;x,y):= \inf \{ j\geq 1\mid T^{j}_{\rho}(y) \in P_{n}(x)\}$, где $P_{n}(x)$ — элемент разбиения $\mathcal{P}_{n}$, содержащий точку $x$. Д. Ким и Б. Сео [9] доказали, что время попадания $K_n(\mathcal{Q}_n;x,y):= \frac{\log N_n(\mathcal{Q}_n;x,y)}{n}$ почти всюду (по мере Лебега) сходится к $\log2$, где последовательность разбиений $\{\mathcal{Q}_n\}$ порождена хаотическим отображением $f_{2}(x):=2x \bmod 1$. Хорошо известно, что отображение $f_{2}$ имеет положительную энтропию $\log2$. Возникает естественный вопрос о том, что если последовательность разбиений $\{\mathcal{P}_n\}$ порождена отображением с нулевой энтропией. В настоящей работе мы изучаем поведение $K_n(\tau_n;x,y)$ с последовательностью смешанных разбиений ${\tau_{n}}$ таких, что $\mathcal{Q}_{n}\cap [0,\frac{1}{2}]$ порождена отображением $f_{2}$, а $ \mathcal{D}_{n}\cap [\frac{1}{2},1]$ порождена иррациональным поворотом $T_{\rho}$. Доказано, что $K_n(\tau_n;x,y)$ почти всюду (по мере Лебега) сходится к кусочно-постоянной функции с двумя значениями. Также показано, что существуют некоторые иррациональные повороты, демонстрирующие различное поведение.

Рассматриваются некоторые задачи теории оптимального фуражирования, а именно, задачи выбора популяцией хищника участка, пригодного для питания, и нахождения условий ухода из него. Динамика взаимодействия хищника и жертвы задается системой Лотки-Вольтерры, в которой учтена внутривидовая конкуренция особей жертвы и возможность миграции особей хищника и жертвы. В процессах взаимодействия и миграции участвуют некоторые доли популяций. Решается задача нахождения оптимальных с точки зрения равновесия по Нэшу долей. При этом получено разбиение фазового пространства системы на области с различным поведением популяций. Исследуются оптимальные траектории соответствующей динамической системы с переменной структурой, их поведение на границах разбиения фазового пространства. Найдены положения равновесия и доказана их глобальная устойчивость при определенных ограничениях на параметры системы. В одном из случаев взаимоотношения между параметрами исследование качественного поведения оптимальных траекторий приводит к задаче о существовании предельных циклов. При этом дана оценка соответствующей области притяжения равновесия.

В контексте задач гарантированного управления рассматриваются следующие вопросы: связь возможности пошагового (на заданном разбиении $\Delta$) вычисления селектора мультифункции (м/ф) $\alpha$ для неизвестного, восстанавливаемого по шагам $\Delta$, аргумента с существованием у $\alpha$ мультиселектора (м/с) со специальным свойством (названым здесь $\Delta$-неупреждаемостью или частичной неупреждаемостью); второй вопрос — способы построение такого м/с для произвольной пары $(\alpha, \Delta)$; и последний — поиск эффективно проверяемых условий, обеспечивающих совпадение $\Delta$-неупреждающего м/с с неупреждающим.

Мотивом к рассмотрению этих вопросов послужила схема управления, возникающая, например, в методе альтернированного интеграла, при использовании в управлении контрстратегий, или в некоторых задачах при использовании метода управления с поводырём.

В работе показано, что рассматриваемая пошаговая схема управления реализуема тогда и только тогда, когда м/ф $\alpha$ имеет $\Delta$-неупреждающий и непустозначный м/с. Дана конечношаговая процедура построения такого м/с. Указаны эффективно проверяемые условия, обеспечивающие неупреждаемость частично неупреждающего м/с. Рассмотрены иллюстрирующие примеры.

Рассматривается задача стабилизации около нуля в условиях воздействия помехи и неточных данных в терминах дифференциальной игры преследования. Динамика описывается нелинейной автономной системой дифференциальных уравнений. Множество значений управлений преследователя является конечным, убегающего (помехи) — компакт. Целью управления, то есть целью преследователя, является приведение, в рамках конечного времени, траектории в любую наперед заданную окрестность некоторого шара с центром в нуле и ненулевым радиусом вне зависимости от действий помехи. Управление преследователя определяется в дискретные моменты времени на основании момента разбиения и значения из фазового пространства, которое равно сумме фазовых координат в момент разбиения и значения некоторой вспомогательной функции. Значение вспомогательной функции ограничено по норме наперед заданной величиной, которая считается известной преследователю. В работе получены условия соотношения параметров задачи и числа, которое ограничивает норму вспомогательной функции, позволяющие осуществить поимку в указанном смысле. Выигрышное управление строится конструктивно и использует фиксированный шаг разбиения временного интервала. Кроме того, получена оценка времени поимки.

Исследование посвящено построению параллельного алгоритма решения задачи «на узкие места», связанного с поиском разбиения конечного множества заданий на конечное число исполнителей (работников). Описывается алгоритм нахождения оптимального разбиения заданий с использованием метода динамического программирования с элементами параллельных вычислений при построении массива значений функции Беллмана. Выполнена оценка вычислительной сложности двух алгоритмов (с использованием и без использования параллельной структуры). Создана программа, с помощью которой проведен вычислительный эксперимент по решению поставленной задачи на суперкомпьютере «УРАН». Выполнен сравнительный анализ реализации алгоритмов как с использованием, так и без использования параллельной структуры. Представлена зависимость времени счета реализованной программы на суперкомпьютере от количества вычислительных ядер.