Все выпуски

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

Алгоритм понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с использованием оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) допускаемой алгебры Ли модифицирован для систем ОДУ с малым параметром, допускающих приближенные алгебры Ли операторов. Приведены инвариантные представления ОДУ второго порядка и систем двух ОДУ второго порядка. Введен ОИД приближенной алгебры Ли. Показано, что можно построить ОИД специального вида, позволяющий получать первый интеграл рассматриваемой системы. Приведены примеры использования алгоритма для случаев полного и неполного наследования алгебры Ли.

Изучается начально-краевая задача для многомерного псевдопараболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, откуда следуют единственность, устойчивость и сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с условиями третьего рода.

В работе предложен подход к аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка (так называемых дробно-дифференциальных уравнений) дифференциальными уравнениями с производными целого порядка в предположении, что порядок дробного дифференцирования близок к целому числу. Для дробных производных Римана-Лиувилля и Капуто получены разложения по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. При этом первый порядок разложения представляется через бесконечный ряд и зависит от производных всех целых порядков. Полученные разложения позволяют приблизить обыкновенные дифференциальные уравнения с производными дробных порядков этого типа обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром. Доказано, что для дробно-дифференциальных уравнений, принадлежащих определенному классу, соответствующие приближенные уравнения будут содержать только производные конечного целого порядка. Приближенные решения таких уравнений могут быть найдены с использованием известных методов возмущений. Предлагаемый подход иллюстрируется рядом примеров.

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с непрерывным и дискретным временем и дискретной памятью. В рамках этого класса предлагается явное представление для основных составляющих представления общего решения — фундаментальной матрицы и оператора Коши. Полученные представления даются в терминах параметров рассматриваемой системы и открывают возможность эффективного исследования общих краевых задач и задач управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов. При исследовании упомянутых задач для систем за пределами изучаемого класса рассматриваемые в работе системы с дискретной памятью могут играть роль модельных или аппроксимирующих систем и оказаться полезными при изучении грубых свойств систем с последействием, сохраняющихся при малых возмущениях параметров.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

В ограниченной по переменной $z$ области, имеющей слабо горизонтальную неоднородность, исследуется задача определения сверточного ядра $k(t,x)$, $t>0$, $x\in {\Bbb R}$, входящего в гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение второго порядка. Предполагается, что это ядро слабо зависит от переменной $x$ и разлагается в степенной ряд по степеням малого параметра $\varepsilon$. Построен метод нахождения первых двух коэффициентов $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ этого разложения по заданным первым двум моментам по переменной $x$ решения прямой задачи при $z=0$.

В статье исследуются асимптотические поведения решений сингулярно возмущенных двухточечных краевых задач на отрезке. Объектом исследования является линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной искомой функций. Особенности рассматриваемых задач состоят в том, что малый параметр находится при старшей производной искомой функций и соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет иррегулярную особую точку на левом конце отрезка. На концах отрезка ставятся краевые условия. Рассматриваются две задачи, в одном функция перед первой производной искомой функций не положительна на рассматриваемом отрезке, а во втором не отрицательна. Асимптотические разложения задач строятся классическим методом пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Однако напрямую этот метод применить невозможно, так как внешнее решение имеет особенность. Мы сначала убираем эту особенность из внешнего решения, затем применяем метод пограничных функций. Построенные асимптотические разложения обоснованы с помощью принципа максимума, т.е. получены оценки для остаточных функций.

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

Метод малого параметра Пуанкаре активно применяется в небесной механике, а также в теории дифференциальных уравнений и в ее важном разделе — оптимальном управлении. В предлагаемой статье данный метод используется для построения явного вида равновесия по Нэшу и Бержу в дифференциальной позиционной игре с малым влиянием одного из игроков на скорость изменения фазового вектора.