Все выпуски

Исследуются собственные значения и резонансы двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом.

Рассматривается периодический оператор Шредингера Ĥ_A+V в Rⁿ, n≥3. На векторный потенциал A накладываются ограничения, которые, в частности, выполнены, если потенциал A принадлежит классу Соболева H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, а также в случае, когда Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞, где A_N – коэффициенты Фурье потенциала A. Доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера Ĥ_A+V для скалярных потенциалов V из пространства Морри L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2], для которых ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ при всех достаточно малых r>0 и всех x∈Rⁿ, где число ε₀=ε₀(n,p;A)>0 зависит от векторного потенциала A, B_r(x) – замкнутый шар радиуса r>0 с центром в точке x∈Rⁿ, Χ_Κ – характеристическая функция множества K⊆Rⁿ, ||.||_2,p –
норма в пространстве L^2,p(Rⁿ). Пусть K – элементарная ячейка решетки периодов потенциалов A и V, K* – элементарная ячейка обратной решетки. Оператор Ĥ_A+V  унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, действующих в L²(K). Последние операторы рассматриваются также при комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ. При доказательстве абсолютной непрерывности спектра оператора Ĥ_A+V используется метод Томаса и оценки резольвенты операторов Ĥ_A(k+ik’)+V при определенным образом выбираемых комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ с достаточно большой мнимой частью k’.

Рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе, являющийся гамильтонианом электрона, в приближении сильной связи в системе, состоящей из квантовой проволоки и двух внедренных квантовых точек. Данный оператор описывает двухбарьерную резонансную наноструктуру, причем один из барьеров представляет собой нелокальный потенциал. Описан существенный и абсолютно непрерывный спектр оператора. Изучается задача рассеяния в стационарной постановке для двух возможных направлений распространения частицы. Найдены условия полного отражения и полного прохождения.

Для дискретного оператора Шредингера, отвечающего квантовому волноводу, с экспоненциально убывающим потенциалом вида εV доказано, что в окрестности особенностей невозмущенной функции Грина для малых ε существуют квазиуровни (собственные значения или резонансы), для которых найдены асимптотические формулы.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.

В статье рассматривается дискретный оператор Шредингера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Данный оператор является гамильтонианом электрона вблизи структуры, образованной квантовой точкой и выходящими из нее четырьмя квантовыми проволоками в приближении сильной связи, широко используемом в настоящее время в физической литературе для изучения подобных наноструктур. Доказаны существование и единственность решения соответствующего уравнения Липпмана–Швингера, для решения получена асимптотическая формула. Изучена нестационарная картина рассеяния. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях.

Для дискретного оператора Шредингера на графе с вершинами на пересечении двух прямых, возмущенного убывающим потенциалом вида εV, доказано, что в окрестности нуля для малых ε>0 нет ненулевых квазиуровней.

Для дискретного оператора Шредингера на графе с вершинами на пересечении двух прямых c потенциалом определенного вида в окрестностях точек ±2 (граничных точек существенного спектра) доказаны существование и единственность квазиуровней (собственных значений или резонансов), для них получены асимптотические формулы. Найдены условия, при которых коэффициент отражения равен нулю.