Все выпуски

В данной работе получены уравнения движения пары вихрей и кругового профиля с параметрическим возбуждением, которое возникает за счет периодического движения материальной точки. Подобные плоские задачи, с одной стороны, носят модельный характер и не могут быть использованы для точного количественного описания реальных траекторий системы. С другой стороны, во многих случаях такие модели позволяют получить достаточно точную качественную картину динамики и, вследствие простоты, данные 2D модели позволяют оценить влияние различных параметров. Описаны относительные положения равновесия, обобщающие решения Феппля и коллинеарные конфигурации, в отсутствии движения материальной точки. Показано, что в окрестности относительных равновесий в случае периодического движения центра масс профиля образуется стохастический слой.

В работе исследуется динамика диска, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости. Доказано, что уравнения движения обладают инвариантной мерой с непрерывной плотностью только в двух случаях: при динамически симметричном диске и диске со специальным распределением масс. В первом случае уравнения движения обладают двумя дополнительными интегралами и являются интегрируемыми в квадратурах по теореме Эйлера-Якоби. Во втором случае с помощью отображения Пуанкаре показано отсутствие дополнительных интегралов. В обоих случаях для любой области фазового пространства, переносимой потоком системы, ее объем, вычисленный с помощью плотности инвариантной меры, сохраняется. В неголономной механике известны как системы, допускающие инвариантную меру, так и системы, у которых она отсутствует.

Рассматриваются периодические по времени возмущения асимметричного уравнения маятникового типа, близкого к интегрируемому стандартному уравнению математического маятника. Для автономного уравнения решается проблема предельных циклов, которая сводится к исследованию порождающих функций Пуанкаре-Понтрягина. Строится разбиение плоскости параметров на области с разным поведением фазовых кривых. Даются основные фазовые портреты для каждой области полученного разбиения. Для неавтономного уравнения изучается вопрос о структуре резонансных зон, к которому приводит решение задачи о синхронизации колебаний. Вычисляются усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений исходного уравнения в индивидуальных резонансных зонах, и проводится их анализ. Устанавливается глобальное поведение решений в ячейках, не содержащих малых окрестностей невозмущенных сепаратрис. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования изучаются основные бифуркации неавтономного уравнения, связанные с возникновением негрубых гомоклинических кривых. На плоскости основных параметров строится бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного исходным уравнением, описывающая различные типы гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки. Обнаруживаются гомоклинические зоны (те области параметров, для которых существуют гомоклинические траектории к седловой неподвижной точки) с негладкими бифуркационными границами.

В работе рассмотрены новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере.