Все выпуски

В настоящее время теория слоений является интенсивно развивающимся разделом современной дифференциальной геометрии, что показывают многочисленные исследования по теории слоений. Целью нашей работы является изучение структуры группы диффеоморфизмов $ Diff_ {F} (M) $ и группы изометрий $Iso_{F}(M)$ слоеного многообразия $ (M,F) $. Показано, что группа $ Diff_{F}(M) $ является замкнутой подгруппой группы $ Diff(M) $ диффеоморфизмов многообразия $ M $ в компактно-открытой топологии, а также доказана,что группа изометрий $ Iso_{F}(M) $ слоеного многообразия является группой Ли. Введена новая топология на $ Diff_{F}(M) $, которая зависит от слоения $ F $ и называется $ F$- компактно открытой топологией. Доказано, что некоторые подгруппы группы $ Diff_F (M) $ являются топологическими группами с $F$-компактно открытой топологией.

Предметом настоящей работы является вопрос о стабильности вполне управляемых систем, заданных на гладком многообразии. Известно, что множества управляемости симметричных систем порождают сингулярные слоения. В случае, когда множества управляемости имеют одинаковую размерность, возникает регулярное слоение. Таким образом, возникает возможность применения методов теории слоений в задачах теории управления. В данной работе излагаются некоторые результаты авторов о возможности применения теорем о стабильности слоев для задачи о стабильности вполне управляемых систем и для изучения геометрии множества достижимости. Гладкость всюду в работе будет означать гладкость класса $C^{\infty}.$

Пусть M - гладкое многообразие с римановой метрикой g. Вопрос о группе изометрий риманова многообразия (M,g) является основной классической задачей римановой геометрии. Обозначим через G группу всех изометрий риманова многообразия (M,g) размерности n с римановой метрикой g. Структура группы G зависит от фиксированной римановой метрики g. Известно, что для «плохих» римановых метрик группа G может быть очень бедной. Известны примеры, когда группа G состоит из одного элемента. В общем случае известно, что группа G с компактно-открытой топологий является группой Ли. 

В данной статье обсуждается вопрос о существовании изометрических отображений слоеного многообразия (M,F). Обозначим через G_F группу всех изометрий слоеного риманова многообразия (M,F). Структура группы G_F зависит не только от римановой метрики g, но и от данной слоеной структуры. Изучение структуры группы G_F слоеного многообразия (M,F) является новой и интересной задачей. Впервые эта задача рассмотрена в работе А.Я. Нарманова и автора, где было показано, что группа G_F с компактно-открытой топологией является топологической группой. В работе доказывается, что группа изометрий слоеного евклидова пространства является подгруппой группы изометрий евклидова пространства (то есть G_F⊂G), если слоение порождено поверхностями уровня гладкой функции, которая не является метрической.

Обсуждается возможность применения теории слоений в теории управления.