Все выпуски

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

Работа посвящена построению приближенных решений краевых задач в прямоугольнике для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя, выступающих в качестве математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией. Построены разностные схемы для дифференциальных задач. Методом энергетических неравенств выведены априорные оценки решений рассматриваемых задач в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных априорных оценок следуют единственность, устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Построен алгоритм численного решения разностных схем, полученных при аппроксимации краевых задач для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе теоретические выкладки.

Изучается начально-краевая задача для многомерного псевдопараболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, откуда следуют единственность, устойчивость и сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с условиями третьего рода.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с эффектом наследственности:

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + a \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = f ( x, t, u(x,t), u_t(x,\cdot)),$$ $$u_t(x,\cdot) = \{u(x,t+s), -\tau\leqslant s <0\}.$$

Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строятся сеточные методы: аналог семейства схем бегущего счета, аналог схемы Кранка-Николсон, метод аппроксимации на середину квадрата. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренные методы имеют порядки локальной погрешности: соответственно $O(h+\Delta)$, $O(h+\Delta^2)$ и $O(h^2+\Delta^2)$, где $h$ - шаг дискретизации по пространственной переменной, $\Delta$ - шаг дискретизации по временной переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенных методов. С помощью вложения в общую схему численных методов для функционально-дифференциальных уравнений получены теоремы о порядках сходимости сконструированных алгоритмов. Приведены тестовые примеры по сравнению погрешностей методов.

Рассмотрено волновое уравнение с двумя пространственными и одной временной независимыми переменными и эффектом наследственности вида $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + f\big(x,y,t,u(x,y,t),u_t(x,y,\cdot)\big),\\u_t(x,y,\cdot)=\left\{u(x,y,t+\xi),-\tau \leqslant \xi\leqslant 0\right\}. $$На основе идеи разделения текущего состояния и функции-предыстории сконструировано семейство сеточных методов для численного решения этого уравнения. По текущему состоянию строится полный аналог известного для уравнения без запаздывания метода с факторизацией, а влияние предыстории учитывается с помощью интерполяционных конструкций. Исследован порядок локальной погрешности алгоритма. Получена теорема о сходимости и порядке сходимости методов с помощью вложения в общую разностную схему систем с последействием. Приводятся результаты расчетов тестового примера с переменным запаздыванием.