Все выпуски

Рассматриваются свойства пространств правильных функций, то есть функций, определенных на открытом (конечном, полубесконечном, бесконечном) промежутке, имеющих в каждой точке конечные односторонние пределы, а также плотные множества в этих пространствах. Задача Коши для скалярного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами-производными правильных функций «погружается» в пространство обобщенных функций Коломбо. Для коэффициентов-производных ступенчатых функций в явном виде находится решение R(φ_μ,t) задачи Коши в представителях, предел которого при μ→+0 объявляется решением исходной задачи. Так появляется оператор T, который ставит в соответствие исходной задаче ее решение в виде правильной функции, определенный сначала лишь на плотном множестве. С помощью известной топологической теоремы о продолжении по непрерывности T продолжается до оператора T, определенного на всем пространстве правильных функций. Для неоднородной задачи Коши предложено явное представление решения. Приведен ряд иллюстрирующих примеров.

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$ \dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad\qquad (1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t),$ $t\geqslant 0.$ Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad\qquad (2)$$ исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы $(2)$ означает существование такой матричной функции $U(t),$ $t\geqslant 0,$ которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N,$ $\det H_k>0.$ Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости системы $(1),$ соответствующей замкнутой системе $(2),$ т.е. при условии существования таких $\sigma>0$ и $\gamma>0,$ что при любых начальном моменте времени $t_0\geqslant 0$ и начальном состоянии $x(t_0)=x_0\in \mathbb{R}^n$ системы (1) на отрезке $[t_0,t_0+\sigma]$ найдется измеримое и ограниченное векторное управление $u=u(t),$ $\|u(t)\|\leqslant\gamma\|x_0\|,$ $t\in[t_0,t_0+\sigma],$ переводящее вектор начального состояния этой системы в ноль на данном отрезке. Доказано, что в двумерном случае, т.е. при $n=2,$ свойство равномерной полной управляемости системы $(1)$ является достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы $(2).$

Исследуется обратная задача определения многомерного ядра интегрального члена, зависящего от временной переменной $t$ и $ (n-1)$-мерной пространственной переменной $x'=\left(x_1,\ldots, x_ {n-1}\right)$ из $n$-мерного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Прямую задачу представляет задача Коши для этого уравнения. Интегральный член имеет вид свертки по времени ядра и решения прямой задачи. Дополнительное условие для решения обратной задачи задается решение прямой задачи на гиперплоскости $x_n = 0.$ В начале изучаются свойства решения прямой задачи. Для этого эта задача сводится к решению интегрального уравнения второго порядка вольтерровского типа и к нему применяется метод последовательных приближений. Далее поставленная обратная задача приводится к двум вспомогательным задачам, дополнительное условие второй из них содержит неизвестное ядро вне интеграла. Затем вспомогательные задачи заменяются эквивалентной замкнутой системой интегральных уравнений вольтерровского типа относительно неизвестных функций. Применяя метод сжатых отображений к этой системе в классе гёльдеровских функций доказываем основной результат статьи, который является теоремой локального существования и единственности решения обратной задачи.

Выведена формула, связывающая фундаментальное решение и матрицу Коши линейного автономного скалярного уравнения нейтрального типа.

Рассматривается линейная управляемая система $$\dot x=A(t)x+B(t)u,\quad t\in\mathbb R,\quad x\in\mathbb R^{n},\quad u\in\mathbb R^{m}, \qquad \qquad (1)$$ в предположении непрерывности по $t$ и $s$ матрицы Коши $X(t,s)$ свободной системы $\dot x=A(t)x$. На каждом отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ фиксированной длины $\vartheta$ задается нормированное пространство $Z_{\tau}$ функций, определенных на этом отрезке. Управление $u$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ называется допустимым, если $u\in Z_{\tau}$ и существует $\mathcal Q_{\tau}(u):=\int_{\tau}^{\tau+\vartheta}X(\tau,s)B(s)u(s)\,ds$. Векторное подпространство $U_{\tau}$ пространства $Z_{\tau}$, на котором определен оператор $\mathcal Q_{\tau}$, называется пространством допустимых управлений для системы $(1)$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$. Предложено определение равномерной полной управляемости системы $(1)$ для случая произвольной зависимости пространства допустимых управлений от момента начала процесса управления. Получены прямые и двойственные необходимые и достаточные условия равномерной полной управляемости линейной системы в этой ситуации. Показано, что при должном выборе пространства допустимых управлений полученные условия эквивалентны классическим определениям равномерной полной управляемости.

В статье рассмотрены задачи, связанные с разложением регулярной кватернион-функции в обобщенные ряды Тейлора и Лорана. Обобщенный ряд Тейлора для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши в 4-мерном гипершаре в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. Обобщенный ряд Лорана для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши во внешности 4-мерного гипершара в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. На основе полученных решений при рассмотрении разложения регулярной кватернион-функции в бесконечно малом шаре, который ограничен 3-сферой, задано правило определения вычета регулярной кватернион-функции в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат относительно изолированной особой точки. Также найдено разложение мероморфной кватернион-функции в степенной ряд.

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

В предыдущей работе автора для двух прерывистых функций, заданных на отрезке, и специального параметра, названного дефектом, определено понятие квазиинтеграла. Если существует интеграл Римана–Стилтьеса, то для любого дефекта существует квазиинтеграл, и все они равны между собой. Интеграл Перрона–Стилтьеса, если он существует, совпадает с одним из квазиинтегралов, где дефект определен специальным образом.

В настоящей работе доказана теорема существования и единственности решения квазиинтегрального уравнения с постоянной матрицей. Ядро системы - скалярная кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации, компоненты уравнения - прерывистые функции, спектральный параметр - регулярное число. При определенных условиях квазиинтегральное уравнение можно интерпретировать как импульсную систему. Получено явное представление для решения однородного квазиинтегрального уравнения. Для абсолютно регулярного спектрального параметра определен аналог матрицы Коши, исследованы его свойства и получено явное представление для решения неоднородного квазиинтегрального уравнения в форме Коши. Аналогичные результаты получены для сопряженного и союзных уравнений.

Обсуждается возможность восстановления аппроксимирующего дефекта квазиинтеграла, - дефекта, порождающего аппроксимируемые решения импульсной системы.