Все выпуски

Рассматриваются свойства пространств правильных функций, то есть функций, определенных на открытом (конечном, полубесконечном, бесконечном) промежутке, имеющих в каждой точке конечные односторонние пределы, а также плотные множества в этих пространствах. Задача Коши для скалярного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами-производными правильных функций «погружается» в пространство обобщенных функций Коломбо. Для коэффициентов-производных ступенчатых функций в явном виде находится решение R(φ_μ,t) задачи Коши в представителях, предел которого при μ→+0 объявляется решением исходной задачи. Так появляется оператор T, который ставит в соответствие исходной задаче ее решение в виде правильной функции, определенный сначала лишь на плотном множестве. С помощью известной топологической теоремы о продолжении по непрерывности T продолжается до оператора T, определенного на всем пространстве правильных функций. Для неоднородной задачи Коши предложено явное представление решения. Приведен ряд иллюстрирующих примеров.

A function defined on an open (finite, semi-finite, infinite) interval is called regulated if it has finite one-sided limits at each point of its domain. In the present paper we study spaces of regulated functions, in particular, their dense subsets. Our motivation is applications to differential equations. Namely, we consider the Cauchy problem for a scalar linear differential equation with coefficients, which are derivatives of regulated functions. We immerse the Cauchy problem into the space of the Colombeau generalized functions. If the coefficients are derivatives of step functions, we find explicit solution R(φ_μ,t) of the Cauchy problem (in terms of representatives); its limit as μ→+0 is defined to be the solution of the original problem. In this way, we obtain a densely defined (on the space of regulated functions) operator T, which associates the solution to a Cauchy problem with this problem. Next, using a well-known topological result on a continuous extension, we extend the operator T to the operator T defined on the entire space of regulated functions. We have given the explicit representation of solution of the Cauchy problem for the inhomogeneous differential equation. Illustrative examples are also offered.

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

We consider a problem with data on the characteristics for a loaded system of hyperbolic equations of the second order on a rectangular domain. The questions of the existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem, as well as the continuity dependence of the solution on the initial data, are investigated. We propose a new approach to solving the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations second order based on the introduction new functions. By introducing new unknown functions the problem is reduced to an equivalent family of Cauchy problems for a loaded system of differential with a parameters and integral relations. An algorithm for finding an approximate solution to the equivalent problem is proposed and its convergence is proved. Conditions for the unique solvability of the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations of the second order are established in the terms of coefficient's system.

В данной работе рассматривается система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Показано, что система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником может быть проинтегрирована методом обратной задачи рассеяния. Для решения рассматриваемой задачи используются прямая и обратная задачи рассеяния уравнения Штурма–Лиувилля с потенциалом, зависящим от энергии. Определена временная эволюция данных рассеяния для уравнения Штурма–Лиувилля с энергозависимыми потенциалами, связанными с решением системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяния при любом $t$, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником.

In this study we consider the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source. We show that the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source can be integrated by the method of inverse scattering theory. For a solving the problem under consideration, we use the direct and inverse scattering problem of the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potential. The time evolution of the scattering data for the Sturm–Liouville equation with an energy-dependent potentials associated with the solution of the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source is determined. The obtained equalities completely determine the scattering data for any $t$, which makes it possible to apply the method of the inverse scattering problem to solve the Cauchy problem for the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source.

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

The article studies direct and inverse problems for subdiffusion equations involving a Hilfer fractional derivative. An arbitrary positive self-adjoint operator $A$ is taken as the elliptic part of the equation. In particular, as the operator $A$ we can take the Laplace operator with the Dirichlet condition. First, the existence and uniqueness of a solution to the direct problem is proven. Then, using the representation of the solution to the direct problem, the existence and uniqueness of the inverse problem of finding the right-hand side of the equation, which depends only on the spatial variable, is proved.

Утверждается, что если в дополнение к условиям существования и единственности решения x(t, t₀, μ) n-векторной задачи Коши dx/dt = f(t, x, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), x(t₀) = x₀ и непрерывной зависимости его от параметра μ ∈ M потребовать равностепенную непрерывность семейства {f(t, x, ·)}_(t,x), то x(t, t₀, μ) равномерно непрерывно зависит от параметра μ на открытом множестве M. Для линейной n×n-матричной задачи Коши dX/dt = A(t, μ)X + (t, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), X(t₀, μ) = X₀(μ) аналогичное утверждение доказывается в предположении равномерной произвольной малости интегралов ∫_I||A(t, μ₁) − A(t, μ₂)|| dt и ∫_I||(t, μ₁) − (t, μ₂)|| dt при достаточной малости ||μ₁ − μ₂|| (μ₁, μ₂ ∈ M).

We prove that if, in addition to the assumptions that guarantee existence, uniqueness and continuous dependence on parameter μ ∈ M of solution x(t, t₀,μ) of a n-dimensional Cauchy problem dx/dt = f(t, x, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), x(t₀) = x₀ one requires that the family {f(t, x, ·)}_(t,x) is equicontinuous, then the dependence of x(t, t₀,μ) on parameter μ in an open M is uniformly continuous. Analogous result for a linear n × n-dimensional Cauchy problem dX/dt = A(t, μ)X + (t, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), X(t₀, μ) = X₀(μ)  is valid under the assumption that the integrals ∫_I||A(t, μ₁) − A(t, μ₂)||dt and ∫_I||(t, μ₁) − (t, μ₂)||dt are uniformly arbitrarily small, provided that ||μ₁ − μ₂||, μ₁, μ₂ ∈ M, is sufficiently small.

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

A generalization of the Nadler fixed point theorem for multi-valued maps acting in metric spaces is proposed. The obtained result allows to study the existence of fixed points for multi-valued maps that have as images any arbitrary sets of the corresponding metric space and are not necessarily contracting, or even continuous, with respect to the Hausdorff metric. The mentioned result can be used for investigating differential and functional-differential equations with discontinuities and inclusions generated by multi-valued maps with arbitrary images. In the second part of the paper, as an application, conditions of existence and continuation of solutions to the Cauchy problem for a differential inclusion with noncompact in Rⁿ right-hand side are derived.

В работе рассматривается следующая краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана в единичном круге G={z∈C: |z|<1}: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g на ∂G, ℑw=h в точке z₀=1. Коэффициент b(z) выбирается из некоторого множества S_P, построенного с помощью весов, причем S_P⊈L₂, S_P⊄L_q, q>2. В свою очередь, краевое условие g выбирается из пространства, порожденного модулем непрерывности μ, обладающим некоторыми специальными свойствами. Показывается, что задача имеет единственное решение w=w(z) в круге G, причем w∈C(¯G). Кроме того, вне точки z=0 поведение решения задачи определяется тем же самым модулем непрерывности μ, что означает, что для решения задачи отсутствует «логарифмический эффект».

The following boundary value problem for generalized Cauchy-Riemann equation in the unit disk G={z∈C: |z|<1} is considered in the paper: ∂_¯zw+b(z)¯w=0, ℜw=g on ∂G, ℑw=h at the point z₀=1. The coefficient b(z) is chosen from some set S_P, constructed by scales, with S_P⊈L₂,S_P⊄L_q, q>2. The boundary value g is chosen from the space, constructed by a modulus of continuity μ with some special properties. It is shown that the problem has unique solution w=w(z) in the unit disk G with w∈C(¯G). Moreover, outside the point z=0 the behaviour of the solution w(z) is defined by the same modulus of continuity μ; it means there is no ``logarithmic effect'' for the solution.

В работе рассматривается задача Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка специального вида. Система представлена в симметричном виде, фазовая переменная n-мерная. Рассматриваемая задача Коши получается из задачи Коши для одного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана с помощью операции дифференцирования этого уравнения и краевого условия по переменной x_i. Предполагается, что гамильтониан и начальное условие принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций. Гамильтониан является выпуклым по сопряженной переменной.

В работе предложен новый подход к определению обобщенного решения системы квазилинейных уравнений первого порядка. Обобщенное решение рассматривается в классе многозначных функций с выпуклыми компактными значениями. Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решения по начальным данным. Получено полугрупповое свойство для введенного обобщенного решения. Показано, что потенциал для обобщенного решения системы квазилинейных уравнений совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, а в точках дифференцируемости минимаксного решения его градиент совпадает с обобщенным решением исходной задачи Коши. На основе этой связи получены свойства обобщенного решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений. В частности, показано, что введенное обобщенное решение совпадает с супердифференциалом минимаксного решения соответствующей задачи Коши и однозначно почти всюду.

С помощью характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана описана структура множества точек, в которых минимаксное решение недифференцируемо.

Показано, что свойство обобщенного решения для одного квазилинейного уравнения со скалярной фазовой переменной, введенное О.А. Олейник, может быть распространено на случай рассматриваемой системы квазилинейных уравнений.

We consider the Cauchy problem for the system of quasi-linear first order equations of a special form. The system is symmetric, the state variable is n-dimensional. The considered Cauchy problem is deduced from the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation by means of the operation of differentiation of this equation and the boundary condition with respect to the variable x_i. It is assumed that the Hamiltonian and the initial condition are continuously differentiable functions. The Hamiltonian is convex with respect to the adjoint variable.

The paper presents a new approach to the definition of the generalized solution of the system of quasi-linear first order equations. The generalized solution belongs to the class of multivalued functions with convex compact values. We prove the existence, uniqueness and stability theorems. The semigroup property for the proposed generalized solution is obtained. It is shown that the potential for generalized solutions of quasi-linear equations coincides with the unique minimax/viscosity solution of the corresponding Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and at the points of differentiability of the minimax solution its gradient coincides with the generalized solution of the Cauchy problem. Properties of the generalized solutions of the Cauchy problem for a system of quasi-linear equations are obtained on the basis of this connection. In particular, it is shown that the introduced generalized solution coincides with the superdifferential of the minimax solution of the Cauchy problem and is singlevalued almost everywhere.

The structure of the set of points at which the minimax solution is not differentiable is described by using the characteristics of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

It is shown that the property of the generalized solution of the quasilinear equation with a scalar state variable proposed by O.A. Oleinik, can be extended to the case of the system of quasi-linear equations under consideration.

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с непрерывным и дискретным временем и дискретной памятью. В рамках этого класса предлагается явное представление для основных составляющих представления общего решения — фундаментальной матрицы и оператора Коши. Полученные представления даются в терминах параметров рассматриваемой системы и открывают возможность эффективного исследования общих краевых задач и задач управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов. При исследовании упомянутых задач для систем за пределами изучаемого класса рассматриваемые в работе системы с дискретной памятью могут играть роль модельных или аппроксимирующих систем и оказаться полезными при изучении грубых свойств систем с последействием, сохраняющихся при малых возмущениях параметров.

A class of linear functional differential systems with continuous and discrete times and discrete memory is considered. An explicit representation of the principal components to the general solution representation such as the fundamental matrix and the Cauchy operator is derived. The obtained representation is given in terms of the system parameters and opens a way towards efficient studying general linear boundary value problems and control problems with respect to a fixed collection of linear on-target functionals. In the study of the problems mentioned above outside the class under consideration, the systems with discrete memory can be employed as model or approximating ones. This can be useful as applied to systems with aftereffect under studying rough properties that hold under small perturbations of the parameters.

Исследуется обратная задача определения многомерного ядра интегрального члена, зависящего от временной переменной $t$ и $ (n-1)$-мерной пространственной переменной $x'=\left(x_1,\ldots, x_ {n-1}\right)$ из $n$-мерного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Прямую задачу представляет задача Коши для этого уравнения. Интегральный член имеет вид свертки по времени ядра и решения прямой задачи. Дополнительное условие для решения обратной задачи задается решение прямой задачи на гиперплоскости $x_n = 0.$ В начале изучаются свойства решения прямой задачи. Для этого эта задача сводится к решению интегрального уравнения второго порядка вольтерровского типа и к нему применяется метод последовательных приближений. Далее поставленная обратная задача приводится к двум вспомогательным задачам, дополнительное условие второй из них содержит неизвестное ядро вне интеграла. Затем вспомогательные задачи заменяются эквивалентной замкнутой системой интегральных уравнений вольтерровского типа относительно неизвестных функций. Применяя метод сжатых отображений к этой системе в классе гёльдеровских функций доказываем основной результат статьи, который является теоремой локального существования и единственности решения обратной задачи.

The inverse problem of determining a multidimensional kernel of an integral term depending on a time variable $t$ and $ (n-1)$-dimensional spatial variable $x'=\left(x_1,\ldots, x_ {n-1}\right)$ in the $n$-dimensional heat equation with a variable coefficient of thermal conductivity is investigated. The direct problem is the Cauchy problem for this equation. The integral term has the time convolution form of kernel and direct problem solution. As additional information for solving the inverse problem, the solution of the direct problem on the hyperplane $x_n = 0$ is given. At the beginning, the properties of the solution to the direct problem are studied. For this, the problem is reduced to solving an integral equation of the second kind of Volterra-type and the method of successive approximations is applied to it. Further the stated inverse problem is reduced to two auxiliary problems, in the second one of them an unknown kernel is included in an additional condition outside integral. Then the auxiliary problems are replaced by an equivalent closed system of Volterra-type integral equations with respect to unknown functions. Applying the method of contraction mappings to this system in the Hölder class of functions, we prove the main result of the article, which is a local existence and uniqueness theorem of the inverse problem solution.