Все выпуски

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд Фурье по сферическим гармоникам, коэффициенты которого разлагаются в ряды по функциям Бесселя. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^m$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. В данной работе изучаются векторные поля с нулевым потоком через окружности фиксированного радиуса на плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2$. Получено описание таких полей в виде рядов по гипергеометрическим функциям. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{H}^2$.

A classic property of a periodic function on the real axis is the possibility of its representation by a trigonometric Fourier series. The natural analogue of the periodicity condition in Euclidean space $\mathbb{R}^m$ is the constancy of integrals of a function over all balls (or spheres) of fixed radius. Functions with the indicated property can be expanded in a Fourier series in terms of spherical harmonics whose coefficients are expanded into series in Bessel functions. This fact can be generalized to vector fields in $\mathbb{R}^m$ with zero flux through spheres of fixed radius. In this paper we study vector fields which have zero flux through every circle of fixed radius on the Lobachevskii plane $\mathbb{H}^2$. A description of such fields in the form of series in terms of hypergeometric functions is obtained. These results can be used to solve problems concerning harmonic analysis of vector fields on domains in $\mathbb{H}^2$.

Построена метрика в пространстве clos(Rⁿ) всех непустых замкнутых (необязательно ограниченных) подмножеств Rⁿ. Сходимость последовательности множеств в этой метрике оказывается равносильной сходимости в метрике Хаусдорфа последовательности пересечений этих множеств с центрированными в нуле шарами любого положительного радиуса, дополненных соответствующими сферами. В этой метрике доказана полнота пространства clos(Rⁿ) и замкнутость подпространства всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств Rⁿ. Получены условия равносильности сходимости по предложенной метрике и сходимости по метрикам Хаусдорфа и Хаусдорфа–Бебутова. Полученные результаты могут применяться в задачах управления, теории дифференциальных включений.

In the work, there is presented a new metric in the space clos(Rⁿ) of all nonempty closed (not necessarily bounded) subsets of Rⁿ. The convergence of sets in this metric is equivalent to convergence in the Hausdorff metric of the intersections of the given sets with the balls of any positive radius centered at zero united then with the corresponding spheres. It is proved that, with respect to the metric considered, the space clos(Rⁿ) is complete, and its subspace of nonempty closed convex subsets of Rⁿ is closed. There are also derived the conditions that guarantee the equivalence of convergence in this metric to convergence in the Hausdorff metric, and to convergence in the Hausdorff–Bebutov metric. The results obtained can be applied to studying control problems and differential inclusions.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

Рассматриваются постановка и тестовые решения задачи динамического взаимодействия твердых тел произвольной формы в рамках дискретно-элементного моделирования. При дискретизации используется описание тел произвольной формы, составленных из элементов-сфер, жестко связанных между собой. Агломераты строились на нескольких сетках с разной размерностью, что позволило оценить влияние параметров при построении агломератов сфер и гладкости получаемой поверхности. Представлена система уравнений движения агломерата сфер относительно глобальной системы координат, интегрирование которой выполняется на модифицированной схеме Верле. Силы взаимодействия между сферами определяются на основе контактной модели Герца-Миндлина с учетом вязкого демпфирования. Тестирование метода проводилось на задаче взаимодействия двух сфер. Вычислялись траектории движения сфер, представленные агломератом сферических частиц. Полученные результаты сравнивались со случаем движения и взаимодействия сфер в одночастичном приближении.

The paper deals with the statement of a problem of dynamic interaction of arbitrary solid bodies and its test solutions in the context of discrete element modeling. For discretization we use description of bodies with arbitrary shapes, composed of rigidly bound spheres. The clumps were built with different characteristics, which allowed to estimate their influence on the process of clump construction and the smoothness of obtained surface. A system of equations of motion relative to global axes for a clump of spheres is presented. The forces of interaction between the spheres are determined based on the Hertz-Mindlin contact model with due account for viscous damping. A problem of interaction of two spheres was chosen as a test case. Spheres' trajectories composed of clumps of spheres were calculated. The results were compared with the results for the case of motion and interaction of spheres in one-particle approximation.

В работе рассмотрены новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере.

We offer a new method of reduction for a system of point vortices on a plane and a sphere. This method is similar to the classical node elimination procedure. However, as applied to the vortex dynamics, it requires substantial modification. Reduction of four vortices on a sphere is given in more detail.

Пусть n,m, ℓ, s ∈ N – заданные числа, П ⊂ Rⁿ – измеримое по Лебегу множество, X, Z – банаховы идеальные пространства измеримых на П функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

где A : Z^m → X^ℓ – линейный ограниченный оператор, F : X^ℓ → Z^m – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В.П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор F допускал поправку вида G = λI до монотонного оператора F[x] = F[θ+x]+G[x] такую, что II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I  тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора A, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора F на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор G плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.

Let  n,m, ℓ, s ∈ N be given numbers, П ⊂ Rⁿ be a set measurable by Lebesgue and  X, Z  be some Banach ideal spaces of functions measurable on . We consider a nonlinear operator equation of the form as follows:

x = θ + AF[x], x ∈ X^ℓ, (1)

where A : Z^m → X^ℓ is bounded linear operator, F : F : X^ℓ → Z^m is some operator. Equation (1) is a natural form of lumped and distributed parameter systems from a wide enough class. Formerly, by V.P. Polityukov it was suggested monotonization method for justification of solvability of equation (1) and obtaining pointwise estimations for solutions. The matter of this method consisted in that solvability of equation (1) was proved (besides other conditions) under following: I) operator F allows some correction of the form G = λI to monotone operator F[x] = F[θ+x]+G[x] such that II) (I +AG)⁻¹A > 0 (λ > 0, I is identity operator). As our examples show, conditions I) and II) may be contradictory to each other, that narrows a sphere of application of the method. The main result of the paper is that for the case of operator A, possessing the Volterra property, which is natural for evolutionary equations, the requirement I) of ability to be monotonized can be replaced by the requirement of some upper and lower estimates for operator F on some cone segment through linear operator G and additional fixed element. We prove that for global solvability of a boundary value problem associated with a semilinear evolutionary equation it is sufficient that analogous boundary value problem associated with linear equation, derived from the original equation by estimating of a right-hand side on some cone segment, have a positive solution. The application of results obtained is illustrated by Goursat–Darboux system, Cauchy problem associated with wave equation and first boundary value problem associated with diffusion equation.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Various ways of definition of irregular (random) and regular (smoothed) forces in stellar systems are critically discussed. The most satisfactory is Eddington's one according to which the regular force is an attraction force of a continuous fluid resulting from spreading a stellar mass over a system. Also, a definition of the regular force as a mathematical expectation of a random force is of interest. It is emphasized that the crossing time, τ_c, a time scale of regular forces, characterizes the rate of collective processes in the system, including collisionless relaxation, that (as a rule) occurs in gravitating systems. The quasi-entropy, i.e., a result of averaging of an arbitrary convex function of a coarse-grained distribution function over the phase space, is discussed as a measure of collisionless stochastization. For non-rotating systems the maximum of quasi-entropy can be reached only for isotropic velocity distributions. Formulas for the first and second variations of quasi-entropy, found by Antonov, are given. If there exists the density variation so that the second variation of quasi-entropy is positive, then the present state of the system is not the most probable. It follows from this assertion that evolution along a sequence of polytropic spheres is not possible without some energy input to the system. We recall the classification of forms of the phase mixing in collisionless systems.

The problem of collisional relaxation in gravitating systems is briefly discussed. We state the approach to its analysis on the basis of studying geodesic flows and the ensemble averaging as the next step, which requires the knowledge of distribution of a random force. To avoid truncation of Holtsmark's distribution at small impact parameters the distribution of random force by Petrovskaya was used. In that case the ratio of the effective stochastization time to the crossing time is proportional to N^⅓/(ln N)^½, where N>>1 is the number of stars in the system. This evolutionary time scale is close to the one found earlier by Genkin.

Рассматривается качение неуравновешенного динамически симметричного шара по плоскости без проскальзывания в присутствии внешнего магнитного поля. Предполагается, что шар может полностью или частично состоять из диэлектрического, ферромагнитного или сверхпроводящего материалов. Согласно существующей феноменологической теории в этом случае при изучении динами шара требуется учитывать момент силы Лоренца, момент Барнетта-Лондона и момент Эйнштейна-де Гааза. В рамках данной математической модели нами получены условия существования интегралов движения, которые позволяют свести интегрирование уравнений движения к квадратуре аналогичной квадратуре Лагранжа для тяжелого твердого тела.

We consider the rolling of an unbalanced dynamically symmetric ball along a plane without slipping in the presence of an external magnetic field. We assume that the ball may be wholly or partially composed of dielectric, ferromagnetic, or superconducting materials. According to the existing phenomenological theory, in this case, when studying the dynamics of a ball, it is required to take into account the Lorentz force moment, Barnett-London moment, and Einstein-de Haas moment. Within the framework of this mathematical model, we obtain the conditions for the existence of integrals of motion, which allow us to reduce the integration of equations of motion to a quadrature similar to the Lagrange quadrature for a heavy rigid body.

В работе представлена постановка задачи случайной упаковки твёрдых частиц в пространстве в виде минимизации целевой функции, являющейся мерой пересечений подобластей (представляющих частицы и запрещённые области) в R³; при этом желаемые особенности упаковки учитываются дополнительным слагаемым в целевой функции. Предложен новый алгоритм упаковки на основе метода случайного поиска, в котором оценка новой конфигурации частиц производится после каждого перемещения, а сами частицы увеличивают свой размер от начального до заданного по мере устранения пересечений между ними. Данный алгоритм сопоставлен с алгоритмом вязкой суспензии для случая упаковки равновеликих сфер в периодическом кубе; при плотности упаковки φ < 0,55 алгоритм случайного поиска формирует упаковки с меньшим количеством и размером кластеров частиц, в более плотных упаковках различия незначительны. Также показан пример формирования упаковки с особенностью в виде смещения частиц вплотную к твёрдой границе.

The paper presents a problem statement for random hard particles packing as minimization of an objective function that is the measure of overlapping of R³ subdomains representing particles and forbidden zones, with desired pack characteristics being accounted for by an additional summand in the objective function. A new algorithm based on the random search approach is proposed; it assesses a new particles configuration after each movement, and particles grow from an initial to full size as overlaps being removed. This algorithm is matched with the viscous suspension algorithm for the case of packing equal-sized spheres in a periodic cube. For packing fractions φ < 0,55 the random search algorithm yields packs with fewer and smaller particle clusters than the viscous suspension one, in denser packs differences are insignificant. An example of creating a pack with the feature that particles are shifted closely to the solid boundary is shown as well.

Рассмотрены проблемы и условия, связанные с формированием конструктивных механизмов построения ИТ-сферы.

Problems and conditions connected with the forming of the conctructive mechanisms of IT-spheres are discussed.