Все выпуски

В статье исследуются прямая и обратная задачи для уравнений субдиффузии с участием дробной производной в смысле Хильфера. В качестве эллиптической части уравнения взят произвольный положительный самосопряженный оператор $A$. В частности, в качестве оператора $A$ можно взять оператор Лапласа с условием Дирихле. Сначала доказано существование и единственность решения прямой задачи. Затем с помощью представления решения прямой задачи доказывается существование и единственность обратной задачи нахождения правой части уравнения, зависящей только от пространственной переменной.

The article studies direct and inverse problems for subdiffusion equations involving a Hilfer fractional derivative. An arbitrary positive self-adjoint operator $A$ is taken as the elliptic part of the equation. In particular, as the operator $A$ we can take the Laplace operator with the Dirichlet condition. First, the existence and uniqueness of a solution to the direct problem is proven. Then, using the representation of the solution to the direct problem, the existence and uniqueness of the inverse problem of finding the right-hand side of the equation, which depends only on the spatial variable, is proved.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

This work studies direct initial boundary value and inverse coefficient determination problems for a one-dimensional partial differential equation with multi-term orders fractional Riemann–Liouville derivatives. The unique solvability of the direct problem is investigated and a priori estimates for its solution are obtained in weighted spaces, which will be used for studying the inverse problem. Then, the inverse problem is equivalently reduced to a nonlinear integral equation. The fixed-point principle is used to prove the unique solvability of this equation.

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации потенциала двойного слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^5$, а также на самой границе. Также доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул не нарушает равномерной кубической сходимости аппроксимаций прямого значения потенциала на границе класса $C^6$. При некоторых упрощениях доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул влечет отсутствие равномерной сходимости аппроксимаций потенциала внутри области вблизи любой граничной точки. Теоретические выводы подтверждены результатами численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области.

On the basis of piecewise quadratic interpolation, semi-analytical approximations of the double layer potential near and on the boundary of a two-dimensional domain are obtained. To calculate the integrals formed after the interpolation of the density function, exact integration with respect to the variable $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$ is used, where $d$ and $r$ are the distances from the observed point to the boundary of the domain and to the boundary point of integration, respectively. The study proves the stable convergence of such approximations with the cubic velocity uniformly near the boundary of the class $C^5$, and also on the boundary itself. It is also proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals does not violate the uniform cubic convergence of approximations of the direct value of the potential on the boundary of the class $C^6$. With some simplifications, it is proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals entails the absence of uniform convergence of potential approximations inside the domain near any boundary point. The theoretical conclusions are confirmed by the results of the numerical solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a circular domain.

В полубесконечном цилиндре рассматривается поведение решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих на боковой поверхности Γ цилиндра третьему краевому условию

(∂u/∂v+β(x)u)|_Γ=0,

где β(x)≥0. Показано, что любое ограниченное решение на бесконечности стабилизируется к некоторой постоянной, обладая при этом конечным интегралом Дирихле.  Получены условия убывания в бесконечности коэффициента β(x) при u в граничном условии, при которых поведение решений близко к поведению решений задачи Дирихле (дихотомия решений, стремление ограниченного решения к 0) либо задачи Неймана (трихотомия решений, стремление ограниченных решений к постоянной, вообще говоря отличной от 0). Основное условие, определяющее близость третьей краевой задачи к задаче Дирихле либо Неймана, получено в терминах соответственно бесконечности или конечности  интеграла ∫_Γx₁β(x)dS, где переменная x₁ соответствует направлению оси цилиндра.

We study the asymptotic behavior at the infinity of solutions of the Laplace equation in a half-infinite cylinder providing that third boundary value condition is met

(∂u/∂v+β(x)u)|_Γ=0,

where Γ is the lateral surface of the cylinder; β(x)≥0. We prove that any bounded solution is stabilized to some constant and its Dirichlet integral is finite. We describe a condition on boundary coefficient decrease at infinity which provides Dirichlet (dichotomy, stabilization to zero) or Neumann (trichotomy, stabilization to some constant which can be nonzero) problem type behavior of solutions. The main condition on boundary coefficient leading to Dirichlet or Neumann problem type is established in terms of divergence or convergence correspondingly of the integral ∫_Γx₁β(x)dS, where the variable x₁ corresponds to the direction of an axis of the cylinder.

Предлагается осесимметрическая модель, построенная на основе уравнений Стокса, для исследования образования многокольцевой структуры в ползущем двухслойном течении с переменной толщиной слоев. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. Течение создается рельефом поверхности и границы раздела слоев. Предполагается, что эффекты поверхностного натяжения пренебрежимо малы. Мы используем асимптотический метод многих масштабов для получения уравнений, описывающих неустойчивость, возникающую в виде волны в этом течении. С помощью преобразований Фурье и Лапласа мы исследуем уравнения главного приближения для этой неустойчивости в предположении малости возмущений. Асимптотическое исследование показывает, что эта неустойчивость проявляется в виде осесимметричной волны, длина которой соизмерима с толщиной слоев, и толщины слоев играют главную роль в пространственном распределении ее экстремумов. Остальные параметры модели влияют в основном на амплитуду волны. Получено уравнение, связывающее толщины слоев с распределением экстремумов, которое применяется для исследования закономерности расположения кольцевых хребтов, наблюдаемой для большинства крупномасштабных кольцевых структур на Луне. Используя параметры некоторых лунных кольцевых структур, мы определили радиусы последовательно расположенных экстремумов неустойчивости и провели сравнение модельных результатов с радиусами концентрических хребтов некоторых многокольцевых структур на Луне.

The axisymmetric model based on the Stokes equations is proposed to investigate the multi-ring pattern formation in two-layer creeping flow with variable thickness of layers. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is lighter than the lower layer. The flow is generated by both surface and interface geometry. The effect of surface tension is supposed to be negligible. We apply the method of multiple scales to obtain the governing equations describing instability in the form of wave in the flow. Using the Fourier-Laplace method, we analyze the small-amplitude leading behavior of the instability. The asymptotic study reveals that this kind of instability manifests itself as axisymmetric wave which length is comparable with layer thickness; moreover, layer thicknesses play a major role in spatial distribution of wave extrema. The other model parameters alter mostly the wave amplitude. The equation relating extrema distribution to layer thicknesses is derived. We apply the obtained results to study a ring spacing rule observed for most multi-ring basins on the Moon. Using parameters of some lunar multi-ring basins we calculate the consecutive crest radii of the unstable wave and compare the results of simulation with the measured ring radii.

Конечно-разностные модели дифференциальных уравнений в частных производных, такие как уравнения Лапласа или Пуассона, приводят к конечной сети. Дискретизированное уравнение на неограниченном множестве на плоскости или в пространстве приводит к бесконечной сети. В бесконечной сети оператор Шрёдингера (возмущенный оператор Лапласа, $q$-оператор Лапласа) определяется для развития теории дискретного потенциала, которая имеет модель в уравнении Шрёдингера в евклидовых пространствах. Исследуется связь между $\Delta$-теорией оператора Лапласа и $\Delta_q$-теорией. В $\Delta_q$-теории уравнение Пуассона решается, если сеть является деревом, и в общем случае получается каноническое представление для неотрицательных $q$-супергармонических функций.

Finite-difference models of partial differential equations such as Laplace or Poisson equations lead to a finite network. A discretized equation on an unbounded plane or space results in an infinite network. In an infinite network, Schrödinger operator (perturbed Laplace operator, $q$-Laplace) is defined to develop a discrete potential theory which has a model in the Schrödinger equation in the Euclidean spaces. The relation between Laplace operator $\Delta$-theory and the $\Delta_q$-theory is investigated. In the $\Delta_q$-theory the Poisson equation is solved if the network is a tree and a canonical representation for non-negative $q$-superharmonic functions is obtained in general case.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

Transformations of the involution type are considered in the space $R^l$, $l\geq 2$. The matrix properties of these transformations are investigated. The structure of the matrix under consideration is determined and it is proved that the matrix of these transformations is determined by the elements of the first row. Also, the symmetry of the matrix under study is proved. In addition, the eigenvectors and eigenvalues of the matrix under consideration are found explicitly. The inverse matrix is also found and it is proved that the inverse matrix has the same structure as the main matrix. The properties of the nonlocal analogue of the Laplace operator are introduced and studied as applications of the transformations under consideration. For the corresponding nonlocal Poisson equation in the unit ball, the solvability of the Dirichlet and Neumann boundary value problems is investigated. A theorem on the unique solvability of the Dirichlet problem is proved, an explicit form of the Green's function and an integral representation of the solution are constructed, and the order of smoothness of the solution of the problem in the Hölder class is found. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the Neumann problem, an explicit form of the Green's function, and the integral representation are also found.

В настоящей работе с помощью отображений типа инволюции вводится нелокальный аналог оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона в единичном шаре изучены новые классы краевых задач. В рассматриваемых задачах граничные условия заданы в виде связи значения искомой функции в верхней полусфере со значением в нижней полусфере. Исследуемые задачи обобщают известные периодические и антипериодические краевые задачи для круговых областей. Задачи решаются сведением их к двум вспомогательным задачам с краевыми условиями Дирихле и Неймана для нелокального аналога уравнения Пуассона. Используя известные утверждения для полученных вспомогательных задач, мы доказываем теоремы о существовании и единственности решения основных задач. Найдены точные условия разрешимости исследуемых задач, а также получены интегральные представления решений. Изучены также спектральные вопросы, связанные с периодическими задачами. Найдены собственные функции и собственные значения этих задач. Доказаны теоремы о полноте системы собственных функций в пространстве $L_2$.

In the present paper, a nonlocal analog of the Laplace operator is introduced by means of involution-type mappings. New classes of boundary value problems are studied for the corresponding nonlocal analog of the Poisson equation in a unit sphere. In the problems under consideration, the boundary conditions are given in the form of a relation between the value of the unknown function in the upper hemisphere and the value in the lower hemisphere. The problems under study generalize the known periodic and antiperiodic boundary value problems for circular regions. The problems are solved by reducing them to two auxiliary problems with Dirichlet and Neumann boundary conditions for the nonlocal analog of the Poisson equation. Using known statements for the obtained auxiliary problems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions of the main problems. Exact conditions for the solvability of the investigated problems are found, and integral representations of the solutions are obtained. Spectral issues related to periodic problems are also studied. Eigenfunctions and eigenvalues of these problems are found. The theorems on completeness of the system of eigenfunctions in the space $L_2$ are proved.

Найдено полное аналитическое решение интегро-дифференциальной модели, описывающей промежуточную стадию фазовых переходов в однокомпонентных расплавах и растворах без учета флуктуаций в скоростях роста кристаллов. В рамках этой модели получено точное аналитическое решение кинетического уравнения - найдена плотность функции распределения кристаллов по размерам. Выведено интегро-дифференциальное уравнение для степени метастабильности системы (для ее переохлаждения/пересыщения) при различных кинетических механизмах нуклеации зародышей. Построено полное аналитическое решение этого уравнения на основе метода седловой точки для вычисления интеграла лапласовского типа (метода перевала). Проанализировано четыре приближения аналитического решения и показана его сходимость. Исследованы кинетические механизмы Вебера-Вольмера-Френкеля-Зельдовича и Майера. Определены временные зависимости числа кристаллов и среднего размера кристаллов для переохлажденных расплавов.

A complete analytical solution of an integro-differential model, which describes the intermediate stage of phase transitions in one-component melts and solutions without allowance for fluctuations in the crystal growth rates, is found. An exact analytical solution of the kinetic equation is determined within the framework of this model. The density of distribution function of crystals in sizes is found. An integro-differential equation for the system metastability level (for its supercooling/supersaturation) is derived for different kinetic mechanisms of particle nucleation. A complete analytical solution of this equation is constructed on the basis of saddle-point method for the Laplace-type integral (steepest descent method). Four approximations of the analytical solution are analyzed and its convergence is shown. The kinetic mechanisms of Weber-Volmer-Frenkel-Zel’dovich and Meirs are studied. A transient behavior of the number of particles and the mean crystal size is determined for supercooled melts.