Все выпуски

Мы полностью описываем с точностью до изоморфизма структуру слабо инволютивно-чистых колец, обладающих слабой инволюцией. Полученные результаты расширяют две собственные работы, а именно работы из Afrika Mat. (2017), касающиеся слабо инволютивно-чистых колец, а также результаты из Far East J. Math. Sci. (2021), касающиеся инволютивно-чистых колец со слабой инволюцией.

We completely describe up to an isomorphism the structure of weakly invo-clean rings possessing weak involution. The obtained results expand two own establishments, namely those from Afrika Mat. (2017) concerning weakly invo-clean rings as well as those from Far East J. Math. Sci. (2021) concerning invo-clean rings with weak involution.

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

In the present paper we study the spectral problem for the second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type. The Green's function of this boundary problem is constructed. Uniform estimates of the Green's functions for the boundary value problems considered are obtained. The equiconvergence of eigenfunction expansions of two second-order differential operators with involution and boundary conditions of Dirichlet type for any function in $L_{2}(-1,1)$ is established. We use an integral method based on the application of the Green's function of a differential operator with involution and spectral parameter. As a corollary from the equiconvergence theorem, it is proved that the eigenfunctions of the spectral problem form the basis in $L_{2}(-1,1)$ for any continuous complex-valued coefficient $q(x)$.

В этой статье рассматриваются обратные задачи для уравнения гиперболического вида четвертого порядка с инволюцией. Существование и единственность решения изучаемых обратных задач устанавливается методом разделения переменных. Для применения метода разделения переменных доказываем базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора четвертого порядка с инволюцией в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. При доказательстве теорем о существовании и единственности решения широко используем неравенство Бесселя для коэффициентов разложений в ряд Фурье в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. Показана существенная зависимость существования решения от коэффициента уравнения $\alpha$. В каждом из случаев $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha <1$ выписаны представления решений в виде рядов Фурье по собственным функциям краевых задач для уравнения четвертого порядка с инволюцией.

This article considers inverse problems for a fourth-order hyperbolic equation with involution. The existence and uniqueness of a solution of the studied inverse problems is established by the method of separation of variables. To apply the method of separation of variables, we prove the Riesz basis property of the eigenfunctions for a fourth-order differential operator with involution in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. For proving theorems on the existence and uniqueness of a solution, we widely use the Bessel inequality for the coefficients of expansions into a Fourier series in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. A significant dependence of the existence of a solution on the equation coefficient $\alpha$ is shown. In each of the cases $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha<1$ representations of solutions in the form of Fourier series in terms of eigenfunctions of boundary value problems for a fourth-order equation with involution are written out.

Исследуется эволюция угла наклона оси вращения планеты в поле притяжения звезды и внешних планет, входящих в планетную систему. Считаем, что исследуемая планета является динамически-симметричным твердым телом $(A = B)$. Полагаем также, что сама планета и внешние планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды со средними движениями $\omega$ и $\omega_2,\ldots ,\omega_N$, где $N$ - число небесных тел, воздействующих на планету. В переменных Депри-Андуайе получена функция Гамильтона задачи в рамках спутникова приближения. Проведено осреднение функции Гамильтона по быстрым переменным вращательного и орбитального движений при условии отсутствия резонансов между быстрыми частотами указанных движений. Показано, что осредненная функция Гамильтона содержит, помимо классических параметров, параметры $D_i$, являющиеся функционалами на семействе орбит исследуемой планеты и внешних планет. Показано, что осредненная функция Гамильтона допускает разделение переменных и, как следствие, существует три первых интеграла в инволюции. При рассмотрении гравитационных моментов от внешних планет как малых возмущений, получены, с помощью интеграла энергии осредненных уравнений, явные приближенные формулы для угла нутации исследуемой планеты. Получены также приближенные формулы для возмущенного периода прецессии планеты. Проведены расчеты размаха колебаний по углу нутации планеты, возмущенного периода ее прецессии для частного случая планетной системы, состоящей из звезды, самой планеты и массивной внешней планеты (подобной Юпитеру) с симметрично расположенными орбитами, плоскости которых пересекаются под углом $\gamma$.

We investigate the evolution of the obliquity of a planet in the gravitational field of a star and other planets comprising a planetary system. The planet is assumed to be an axially symmetric rigid body ($A=B$). This planet and other planets move around the star along Keplerian ellipses with frequencies $\omega$ and $\omega_2,\ldots,\omega_N$, respectively, where $N$ is the number of celestial bodies (material points) affecting the planet. We derive Hamiltonian for the problem in the Depri-Andoyer variables in the satellite approximation. The Hamiltonian is averaged over the fast variables of the rotational and orbital motions, assuming that the motions are not resonant. The averaged Hamiltonian involves, in addition to the classic parameters, parameters $D_i$, that can be considered as functionals on the family of orbits of celestial bodies comprising the planetary system. The averaged Hamiltonian admits separation of variables, which implies the existence of three first integrals in involution. Regarding the gravitational torques of the other planets as small perturbations, we obtain from the energy integral of the averaged equations explicit approximate expressions for obliquity of the planet and its perturbed period of precession. We investigate numerically the amplitude of oscillations of the planet's obliquity and it's perturbed period of precession for a planetary system involving a star, the planet itself and another massive planet (similar to Jupiter), whose orbits satisfy certain symmetry conditions and orbital planes intersect at angle $\gamma$.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

Transformations of the involution type are considered in the space $R^l$, $l\geq 2$. The matrix properties of these transformations are investigated. The structure of the matrix under consideration is determined and it is proved that the matrix of these transformations is determined by the elements of the first row. Also, the symmetry of the matrix under study is proved. In addition, the eigenvectors and eigenvalues of the matrix under consideration are found explicitly. The inverse matrix is also found and it is proved that the inverse matrix has the same structure as the main matrix. The properties of the nonlocal analogue of the Laplace operator are introduced and studied as applications of the transformations under consideration. For the corresponding nonlocal Poisson equation in the unit ball, the solvability of the Dirichlet and Neumann boundary value problems is investigated. A theorem on the unique solvability of the Dirichlet problem is proved, an explicit form of the Green's function and an integral representation of the solution are constructed, and the order of smoothness of the solution of the problem in the Hölder class is found. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the Neumann problem, an explicit form of the Green's function, and the integral representation are also found.

В настоящей работе с помощью отображений типа инволюции вводится нелокальный аналог оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона в единичном шаре изучены новые классы краевых задач. В рассматриваемых задачах граничные условия заданы в виде связи значения искомой функции в верхней полусфере со значением в нижней полусфере. Исследуемые задачи обобщают известные периодические и антипериодические краевые задачи для круговых областей. Задачи решаются сведением их к двум вспомогательным задачам с краевыми условиями Дирихле и Неймана для нелокального аналога уравнения Пуассона. Используя известные утверждения для полученных вспомогательных задач, мы доказываем теоремы о существовании и единственности решения основных задач. Найдены точные условия разрешимости исследуемых задач, а также получены интегральные представления решений. Изучены также спектральные вопросы, связанные с периодическими задачами. Найдены собственные функции и собственные значения этих задач. Доказаны теоремы о полноте системы собственных функций в пространстве $L_2$.

In the present paper, a nonlocal analog of the Laplace operator is introduced by means of involution-type mappings. New classes of boundary value problems are studied for the corresponding nonlocal analog of the Poisson equation in a unit sphere. In the problems under consideration, the boundary conditions are given in the form of a relation between the value of the unknown function in the upper hemisphere and the value in the lower hemisphere. The problems under study generalize the known periodic and antiperiodic boundary value problems for circular regions. The problems are solved by reducing them to two auxiliary problems with Dirichlet and Neumann boundary conditions for the nonlocal analog of the Poisson equation. Using known statements for the obtained auxiliary problems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions of the main problems. Exact conditions for the solvability of the investigated problems are found, and integral representations of the solutions are obtained. Spectral issues related to periodic problems are also studied. Eigenfunctions and eigenvalues of these problems are found. The theorems on completeness of the system of eigenfunctions in the space $L_2$ are proved.