Все выпуски

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

In the rectangular region, we study nonlocal boundary value problems for the one-dimensional unsteady convection-diffusion equation of fractional order with variable coefficients, describing the diffusion transfer of a substance, as well as the transfer due to the motion of the medium. A priori estimates of solutions of nonlocal boundary value problems in differential form are derived by the method of energy inequalities. Difference schemes are constructed and analogs of a priori estimates in the difference form are proved for them, error estimates are given under the assumption of sufficient smoothness of solutions of equations. From the obtained a priori estimates, the uniqueness and stability of the solution from the initial data and the right part, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem at the rate of $O(h^2+\tau^2)$.

Работа посвящена построению приближенных решений краевых задач в прямоугольнике для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя, выступающих в качестве математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией. Построены разностные схемы для дифференциальных задач. Методом энергетических неравенств выведены априорные оценки решений рассматриваемых задач в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных априорных оценок следуют единственность, устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Построен алгоритм численного решения разностных схем, полученных при аппроксимации краевых задач для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе теоретические выкладки.

The paper is devoted to the construction of approximate solutions of boundary value problems in a rectangle for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator, which act as mathematical models of the movement of moisture and salts in soils with fractal organization. Difference schemes for differential problems are constructed. The method of energy inequalities is used to derive a priori estimates of solutions to the problems under consideration in differential and difference interpretations. The obtained a priori estimates are followed by uniqueness, stability of the solution from the initial data and the right part, as well as convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem with a speed equal to the order of approximation error. An algorithm for the numerical solution of difference schemes obtained by approximating boundary value problems for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator is constructed.

Работа посвящена рассмотрению качественно новых уравнений влагопереноса, которые являются обобщением уравнения Аллера и уравнения Аллера-Лыкова. Данное обобщение дает возможность отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности. Для этих уравнений с дробной по времени производной Римана-Лиувилля с краевыми условиями первого рода получены решения системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых. Получены априорные оценки, из которых следует сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дробного порядка. На тестовых примерах проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты, полученные в работе.

The paper studies qualitatively new equations of moisture transfer, which generalize the Aller and Aller-Lykov equations. The generalization contributes to revealing in the original equations the specific features of the studied massifs, their structure, physical properties, processes occurring in them through the introduction of the notion of the rates of change of the fractal dimension. We have obtained solutions to the constant coefficient difference equations as a system arising when using the method of lines for the equations with a Riemann-Liouville time fractional derivative with boundary conditions of the first kind. A priori estimates are obtained that imply convergence of the obtained solutions to systems of ordinary differential equations with variable fractional coefficients. Numerical tests have been carried out to confirm theoretical results of the study.

Изучается начально-краевая задача для многомерного псевдопараболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, откуда следуют единственность, устойчивость и сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с условиями третьего рода.

We study an initial-boundary value problem for a multidimensional pseudoparabolic equation with variable coefficients and boundary conditions of the third kind. The multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter. It is shown that as the small parameter tends to zero, the solution of the resulting modified problem converges to the solution of the original problem. For an approximate solution of the obtained problem, a locally one-dimensional difference scheme by A. A. Samarsky is constructed. An a priori estimate is obtained by the method of energy inequalities, from which the uniqueness, stability, and convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem follow. For a two-dimensional problem, an algorithm for the numerical solution of the initial-boundary value problem for a pseudoparabolic equation with conditions of the third kind is developed.

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

This work studies direct initial boundary value and inverse coefficient determination problems for a one-dimensional partial differential equation with multi-term orders fractional Riemann–Liouville derivatives. The unique solvability of the direct problem is investigated and a priori estimates for its solution are obtained in weighted spaces, which will be used for studying the inverse problem. Then, the inverse problem is equivalently reduced to a nonlinear integral equation. The fixed-point principle is used to prove the unique solvability of this equation.

Работа посвящена исследованию второй начально-краевой задачи для дифференциального уравнения третьего порядка псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в многомерной области с произвольной границей. Рассматриваемое многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром и для полученного уравнения строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. С помощью принципа максимума получена априорная оценка решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике в норме $C$. Доказаны устойчивость и сходимость локально-одномерной разностной схемы.

The work is devoted to the study of the second initial-boundary value problem for a general-form third-order differential equation of pseudoparabolic type with variable coefficients in a multidimensional domain with an arbitrary boundary. In this paper, a multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter, and a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii is used. Using the maximum principle, an a priori estimate is obtained for the solution of a locally one-dimensional difference scheme in the uniform metric in the $C$ norm. The stability and convergence of the locally one-dimensional difference scheme are proved.

В статье разработано приближенно-аналитическое решение задачи конформного отображения внутренних точек произвольного многоугольника на единичный круг. На предварительном этапе задача конформного отображения сформулирована в виде краевой задачи (задача Шварца). Последняя сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ядром типа Коши относительно неизвестной комплексной функции плотности на границе области с последующим вычислением интеграла Коши. Разработанное приближенно-аналитическое решение основано на разложении ядра Коши в системе многочленов Лежандра первого и второго рода. Выполнена априорная и апостериорная оценки сходимости и точности заданного решения. Определены экспоненциальная сходимость решения в $L_2\left([0,1]\right)$ и полиномиальная в $C\left([0,1]\right)$. Для наглядного сравнения результативности разработанного решения приведены расчеты на тестовых примерах.

In the article, an approximate analytical solution of the problem of conformal mapping of internal points of an arbitrary polygon to a unit circle is developed. At the preliminary stage, the conformal mapping problem is formulated as a boundary value problem (Schwartz problem). The latter is reduced to the solution of the Fredholm integral equation of the second kind with a Cauchy-type kernel with respect to an unknown complex density function at the boundary domain, followed by the calculation of the Cauchy integral. The developed approximate analytical solution is based on the Cauchy kernel decomposition in the Legendre polynomial system of the first and second kind. A priori and a posteriori estimates of the convergence and accuracy of the given solution are fulfilled. The exponential convergence of the solution in $L_2\left([0,1]\right)$ and the polynomial one in $C\left([0,1]\right)$ are defined. Calculations on test examples are given for a visual comparison of the effectiveness of the developed solution.

Обсуждается проблема корректного использования программных пакетов, в которых реализованы методы решения некорректных задач. К некорректным задачам относится большинство задач обработки экспериментальных данных. При использовании методов решения некорректных задач существует проблема неединственности решения, которая решается путем введения априорной информации. Получение априорной информации возможно разными способами, но количественные оценки предполагают использование дополнительных методов анализа данных. Очевидно, что дополнительные методы не должны быть сложнее и трудозатратнее основного метода обработки данных. На примере использования программы анализа данных электроразведки RES3DINV продемонстрирована роль априорной информации для получения достоверных результатов. Программный пакет RES3DINV применяется для построения модели грунта по измеренным значениям удельного сопротивления методами электроразведки. При использовании реализованного в программном пакете метода инверсии необходимо задавать входные параметры, характеризующие геометрические размеры объекта аномального сопротивления, которые априори, как правило, неизвестны. На модельных объектах продемонстрировано как влияет некорректное задание входных параметров на результат интерпретации данных. Показано, что в качестве способа получения априорной информации можно использовать метод векторного анализа. Этот метод позволяет получать оценки геометрических параметров аномального объекта и не требует больших временных и ресурсных затрат, и может быть использован непосредственно на месте полевых экспериментальных измерений.

We discuss the problem of proper use of software packages that implement methods for solving ill-posed problems. Most of the problems of processing experimental data belong to ill-posed problems. When using methods for solving ill-posed problems, there is a problem of non-uniqueness of the solution, which is solved by introducing a priori information. Obtaining a priori information is possible in different ways, but quantitative estimates involve the use of additional methods for data analysis. Obviously, additional methods should not be more complicated and labor intensive than the main data processing method. Using the RES3DINV electrical prospecting data analysis software as an example, the role of a priori information for obtaining reliable results is demonstrated. The RES3DINV software is used to build a soil model from the measured values of resistivity using electrical survey’s methods. When using the inversion method implemented in the software package, it is necessary to set the input parameters describing the geometric dimensions of the anomalous resistance object, which are usually unknown a priori. By model objects we demonstrate how the incorrect setting of input parameters affects the result of data interpretation. We show that the vector analysis method can be used as a way to obtain a priori information. This method allows us to obtain estimates of the geometric parameters of an anomalous object, does not involve high time and resource expenses, and can be used directly at the site of field experimental measurements.