Все выпуски

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

В статье рассматривается экстремальная задача маршрутизации с ограничениями. В общей формулировке предполагается, что объектами посещения являются любые непустые конечные множества — мегаполисы. Основной прикладной задачей, рассматриваемой в данном исследовании, является задача оптимизации траектории движения инструмента для станков листовой резки с ЧПУ, известная как проблема пути резания. Эта проблема возникает на этапе разработки управляющих программ для станков с ЧПУ. Возможны и другие приложения. В частности, результаты исследования могут быть использованы в задаче минимизация дозы облучения при демонтаже системы радиационно-опасных элементов после аварий на АЭС и в транспортных проблемах. В качестве ограничений исследуются ограничения предшествования. Они могут быть использованы для уменьшения вычислительной сложности. В качестве основного метода исследования использовалось широко понимаемое динамическое программирование. Предлагаемая реализация метода учитывает ограничения предшествования и зависимость целевых функций от списка задач. Последняя относится к классу очень сложных состояний, которые определяют допустимость маршрута на каждом шаге маршрутизации, в зависимости от уже выполненных или, наоборот, еще не завершенных задач. Применительно к задаче резки зависимость целевой функции от списка задач позволяет уменьшать термические деформации материала при резке. В работе математическая формализация экстремальной задачи маршрутизации с дополнительными ограничениями, описание метода и полученный с его помощью точный алгоритм. Оптимизации подлежат порядок выполнения задач, конкретная траектория процесса, и его начальная точка.

The paper deals with an extremal routing problem with constraints. In the general formulation, it is assumed that the objects of visiting are any non-empty finite sets — megalopolises. The main applied problem considered in this study is the tool path optimization problem for CNC sheet-cutting machines, known as the Cutting Path Problem. This problem arises at the stage of developing control programs for CNC machines. Other applications are also possible. In particular, the results obtained in the chapter can be used in the problem of minimizing the radiation dose when dismantling a system of radiation-hazardous elements after accidents at nuclear power plants and in transport problems. Among tasks constraints, the precedence constraints are investigated. These constraints can be used to reduce computational complexity. As the main method, the study used broadly understood dynamic programming. The offered realization of the method takes into account the precedence constraints and the dependence of the objective functions on the task list. This dependence belongs to the class of very complex conditions that determine the route admissibility at each routing step, depending on the tasks already completed or, on the contrary, not yet completed. As applied to the Cutting Path Problem, the dependence of the objective function on the task list makes it possible to reduce thermal deformations of the material during cutting. The chapter provides a mathematical formalization of an extremal routing problem with additional constraints, a description of the method, and the exact algorithm obtained with its help. The order of task execution, the specific trajectory of the process, and the starting point are optimized.

Рассматривается процедура встраивания оптимизируемых фрагментов маршрутных решений в глобальные решения «большой» задачи, определяемые эвристическими алгоритмами. Постановка задачи маршрутизации учитывает некоторые особенности инженерной задачи о последовательной резке деталей, имеющих каждая один внешний и, возможно, несколько внутренних контуров. Последние должны подвергаться резке раньше внешнего, что приводит к большому числу условий предшествования. Данные условия активно используются в интересах снижения сложности вычислений. Тем не менее размерность задачи остается достаточно большой, что, в частности, не позволяет применять «глобальное» динамическое программирование и вынуждает к использованию эвристических алгоритмов (исследуемая задача относится к числу труднорешаемых в традиционном понимании). Поэтому представляет интерес разработка методов коррекции решений, получаемых на основе упомянутых алгоритмов. В настоящей работе такая коррекция реализуется посредством замены фрагментов (упомянутых решений), имеющих умеренную размерность, оптимальными «блоками», конструируемыми на основе динамического программирования с локальными условиями предшествования, которые согласуются с ограничениями исходной «большой» задачи. Предлагаемая замена не ухудшает, а, в типичных случаях, улучшает качество исходного «эвристического» решения, что подтверждается вычислительным экспериментом на многоядерной ПЭВМ.

Предложенный алгоритм реализован в итерационном режиме: полученное после первой вставки на основе динамического программирования решение в виде пары «маршрут-трасса» принимается за исходное, для которого вновь конструируется вставка. При этом начало этой новой вставки выбирается случайно в пределах, определяемых возможностями формирования скользящего «окна» ощутимой, но все же достаточной для применения экономичной версии динамического программирования размерности. Далее процедура повторяется. Работа итерационного алгоритма иллюстрируется решением модельных задач, включая варианты с достаточно плотной «упаковкой» заготовок деталей на листе, что типично для машиностроительного производства.

The article is concerned with the procedure of insertion of optimizable fragments of route solutions into the global solutions of the «big» problem defined by heuristic algorithms. Setting of the route problem takes into account some singularities of the engineering problem about the sequential cutting of details each having one exterior and probably several interior contours. The latter ones must be subjected to cutting previously in comparison with the exterior contour, which leads to a great number of given preceding conditions. These conditions are actively used to decrease the computational complexity. Nevertheless, the problem dimensionality remains sufficiently large that does not permit to use “global’’ dynamic programming and forces heuristic algorithms to be used (the problem under investigation is a hard-solvable problem in the traditional sense). Therefore, it is interesting to develop the methods for correction of solutions based on the above-mentioned algorithms. In the present investigation, such correction is realized by the replacement of fragments (of the above-mentioned solutions) having a moderate dimensionality by optimal “blocks’’ constructed by dynamic programming with local preceding conditions which are compatible with the constraints of the initial “big’’ problem. The proposed replacement does not deteriorate, but, in typical cases, improves the quality of the initial heuristic solution. This is verified by the computing experiment on multi-core computer.

The proposed algorithm is realized in the iterated regime: the solution (in the form of “route-trace’’) obtained after the first insertion on the basis of dynamic programming is taken as an initial solution for which the insertion is constructed again. In addition, the beginning of the new insertion is chosen randomly in the bounds defined by the possibilities of formation of a sliding “window’’ of the appreciable dimensionality which is in fact sufficient for the employment of the economical version of dynamic programming. Further, the procedure is repeated. The operation of the iterated algorithm is illustrated by solution of model problems including the versions with sufficiently dense “packing’’ of parts on a sheet, which is typical for the engineering production.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) с условиями предшествования и функциями стоимости, зависящими от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные задачи, возникающие в атомной энергетике и связанные со снижением облучаемости работников, а также в машиностроении (маршрутизация движения инструмента при листовой резке на машинах с ЧПУ). Предполагается, что исследуемая задача дискретной оптимизации имеет ощутимую размерность, что вынуждает к использованию эвристик. Обсуждается процедура локального улучшения качества последних посредством применения оптимизирующих мультивставок, определяемых всякий раз в виде конечного дизъюнктного набора вставок. Предполагается, что в каждой вставке используется процедура оптимизации на основе широко понимаемого динамического программирования. Показано, что в «аддитивной» маршрутной задаче вышеупомянутого типа (с ограничениями и усложненными функциями стоимости) улучшения достигаемого результата также агрегируются аддитивно. Предлагаемая конструкция допускает реализацию в виде параллельной процедуры с использованием МВС; при этом отдельные вставки выделяются вычислительным узлам и формируются независимо.

We consider a problem of sequential traversal of megalopolises (nonempty finite sets) with travel cost functions depending on the set of pending tasks and precedence constraints. Its formulation is aimed at engineering problems in fission power generation connected with minimizing the exposure of staff to radiation and in machine engineering (routing of a CNC sheet cutting machine's tool). This discrete optimization problem is assumed to be sufficiently large-scale to necessitate the use of heuristics. We consider a procedure of local improvement for heuristics through a successive application of optimizing multi-inserts-finite disjoint sets of inserts. Each insert is assumed to be optimized by means of a broadly understood dynamic programming procedure. We show that in an “additive” routing problem of this kind (with precedence constraints and complex travel cost functions) the result's improvements are also aggregated additively. The proposed construction admits a parallel implementation for multiprocessor systems; in this case, the inserts are distributed to computational nodes and formed in an independent way.

В статье рассматривается общий случай маршрутной задачи дискретной оптимизации, осложненной условиями предшествования; изучается влияние условий предшествования на вычислительную сложность решений таких задач методом динамического программирования. Особенность применяемого метода динамического программирования заключается в его «экономичности»: подзадачи, не соблюдающие условия предшествования и, следовательно, не участвующие в оптимальном решении, не рассматриваются, что позволяет сберечь и вычислительную мощность, и память.

Этот метод c 2004 года используется А.Г. Ченцовым и его соавторами, но степень экономии ресурсов исследовалось мало. Мы предлагаем подход к решению этой проблемы, основанный на комбинаторном анализе числа подзадач, существенных в смысле условий предшествования. Применяя известные комбинаторные правила сложения и произведения, мы получили результат для важных частных случаев условий предшествования: а) «независимые» наборы условий предшествования; б) «цепь» условий предшествования - когда условия задают линейный порядок; в) случай, когда в графе предшествования нет неориентированных циклов, и исходящая степень любой вершины не превышает единицы. Последний случай представляет собой условия предшествования, встречающихся в практической задаче маршрутизации движений инструмента в машинах листовой резки и соответствует требованию вырезать внутренний контур прежде внешнего.

В связи с более сложной структурой случая в) по сравнению с остальными для него вместо аналитической формулы представлен алгоритм; алгоритм реализован на языке C++, зависимость его вычислительной сложности от числа связанных условиями предшествования объектов имеет не более чем квадратичный порядок. В дальнейшем мы предполагаем расширить область применения нашего подхода до более общих вариантов условий предшествования. Отметим также, что наш подход не зависит от критерия оптимальности, соответственно, может применяться для анализа сложности решения методом динамического программирования в произвольных маршрутных задачах с условиями предшествования.

We consider the general case of Precedence Constrained TSP (or a less general case of Sequential Ordering Problem) solved with a special kind of dynamic programming method that uses precedence constraints to significantly reduce the number of subproblems that must be solved to find the optimal solution of the original problem. Our aim is to quantify this reduction, which is necessary to clarify the influence of precedence constraints on computational complexity of dynamic programming solutions of such problems. This variety of the method of dynamic programming has been developed by A.G. Chentsov and his co-authors since 2004 but there was only one attempt at examining the influence of precedence constraints on complexity, which only described the influence of a single precedence constraint in the form of an “address pair” (sender, receiver).

Our approach to studying the complexity of this method is essentially the combinatorial analysis of the number of subproblems that are feasible in the sense of abiding by precedence constraints. Using the well-known combinatorial principles, the rule of product and the rule of sum, we established the estimates of complexity reduction for the following cases: a) “independent” sets of precedence constraints; b) “chains” of precedence constraints, when the precedence constraints define a linear ordering on the objects bound by them; c) precedence constraints expressed by an acyclic directed graph with outdegree (the number of receivers per sender) at most one. The latter case of precedence constraints is the one encountered in real-life problems of optimizing the route of the cutter in various machines used to cut sheet material. Since this is the most complex case of the three analyzed, instead of an analytic formula, we had to develop an algorithm (which we implemented in C++) to quantify the reduction; the computational complexity of the algorithm is less than quadratic with respect to the number of objects constrained by the precedence constraints. We intend to develop our approach to treat other cases of precedence constraints, eventually reaching the general case. We would also like to note that our method is optimization criterion-agnostic and thus applicable to many kinds of TSP, as long as they are precedence constrained and solvable by dynamic programming; in fact, our approach may be used to analyze the complexity of the dynamic programming method solution of any discrete optimization problem that deals with ordering subject to precedence constraints.

Рассматривается «аддитивная» задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств), при посещении которых выполняются некоторые работы; перемещения и выполняемые работы оцениваются функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Имеются ограничения различных типов, среди которых выделяются условия предшествования, используемые «в положительном направлении» (в интересах снижения сложности вычислений). Кроме того, в постановке присутствуют динамические ограничения, формирующиеся по мере выполнения заданий. Исследуемая постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ. Исследуется подход к построению оптимальных решений на основе нестандартной версии динамического программирования (ДП). В рамках данного подхода учитываются ограничения различных типов, включая динамические ограничения, естественно возникающие при листовой резке деталей (в частности учитываются тепловые допуски, связанные с надежным отводом тепла из окрестностей точек врезки). При этом допускается комбинация «прямых» запретов на перемещения и выполнение врезки, а также системы штрафов. В последнем случае типично возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемый вариант ДП позволяет оптимизировать точку старта, маршрут, отождествляемый с перестановкой индексов, и трассу (траекторию), согласованную с данным маршрутом. На этапе построения функции Беллмана используется экономичный вариант ДП, при котором весь массив значений этой функции не насчитывается, а определяется только система ее слоев (при условиях предшествования, типичных для задачи, связанной с листовой резкой, это приводит к существенному снижению вычислительных затрат). На основе ДП построен оптимальный алгоритм, реализованный на ПЭВМ; приведены результаты вычислительного эксперимента.

The “additive” problem of sequentially visiting megalopolises (nonempty finite sets) is considered; some tasks are executed as the megalopolises are visited. Permutations and operations are evaluated by cost functions that admit a dependence on the list of tasks. There are restrictions of different types, which include precedence conditions used in the “positive direction” (to reduce the complexity of calculations). In addition, this conception involves dynamical restrictions that are formed in the process of task execution. This conception is oriented to engineering applications associated with sheet cutting on CNC machines. An approach to constructing optimal solutions based on a nonstandard version of dynamic programming (DP) is investigated. This approach takes into account restrictions of different types, including dynamic constraints which naturally arise in sheet cutting applications (in particular, it takes into account heat tolerances related to diffusion of heat in the vicinities of tie-in points). In this regard, a combination of “direct” interdictions of movements and cutting and a system of penalties is allowed; in the latter case, cost functions with a dependence on the list of tasks arise. The variant of DP that is used allows one to optimize the selection of a starting point, the route, which is identified with a permutation of the indexes, and the trajectory corresponding to the above-mentioned route. An economical variant of DP is used at the stage of construction of the Bellman function. This conception allows avoiding calculation of the whole array of values of this function; instead, only the system of its layers is defined (in the case of using the precedence conditions, which are typical of the problem of sheet cutting, this conception results in a considerable reduction of calculation costs). An optimal DP-based algorithm is constructed and realized on PC, and the results of the computational experiment are presented.

Доказано, что общая кубическая форма над полем комплексных чисел преобразуется к виду без мономов от ровно двух переменных каждый посредством невырожденной линейной замены координат. Если коэффициенты при мономах от одной переменной равны единице, а остальные коэффициенты принадлежат достаточно маленькому полидиску около нуля, то преобразование может быть аппроксимировано с помощью итерационного алгоритма. При этих ограничениях тот же результат справедлив над полем вещественных чисел. Этот результат обобщает теорему Леви-Деспланка о матрицах со строгим диагональным преобладанием. Нами подробно рассмотрены свойства приводимых кубических форм. Так нами доказано существование приводимой вещественной кубической формы, которая не эквивалентна никакой форме со всеми мономами от ровно одной переменной и без мономов от ровно двух переменных каждый. Предложено достаточное условие существования особой точки на проективной кубической гиперповерхности. Обсуждается вычислительная сложность распознавания особых точек.

It is proved that a general cubic form over the field of complex numbers can be transformed into a form without monomials of exactly two variables by means of a non-degenerate linear transformation of coordinates. If the coefficients of monomials in only one variable are equal to one, and the remaining coefficients belong to sufficiently small polydisc near zero, then the transformation can be approximated by iterative algorithm. Under these restrictions the same result holds over the reals. This result generalizes the Levy-Desplanques theorem on strictly diagonally dominant matrices. We discuss in detail the properties of reducible cubic forms. So we prove the existence of a reducible real cubic form that is not equivalent to any form with all monomials in only one variable and without any monomials in exactly two variables. We suggest a sufficient condition for the existence of a singular point on a projective cubic hypersurface. The computational complexity of singular points recognition is discussed.

Работа посвящена связи параллельных и последовательных вычислений. С одной стороны, рассматривается класс словарных предикатов, основанных на последовательных вычислениях, ограниченных по памяти константами и имеющих полиномиальную временную сложность. С другой стороны, рассматривается класс словарных предикатов, вычислимых на параллельных альтернирующих машинах за логарифмическое время. Доказано совпадение соответствующих классов. Предложено направление использования полученных результатов для взаимного преобразования и сочетания вычислений на молекулярных биоподобных последовательных машинах и параллельных вычислениях на векторно-матричных компьютерах. Предполагаемые области применения: обработка изображений в реальном масштабе времени для задач управления, анализ больших текстов и других больших данных.

The work is devoted to the connection between parallel and sequential computing. On the one hand, we consider a class of word predicates based on sequential calculations, limited in memory by constants and having polynomial time complexity. On the other hand, we consider a class of word predicates that are computable on parallel alternating machines in logarithmic time. The coincidence of the corresponding classes is proven. The direction of using the obtained results for mutual transformation and combination of calculations on molecular biosimilar sequential machines and parallel calculations on vector-matrix computers is proposed. Intended applications: real-time image processing for control tasks, analysis of large texts and other big data.

Рассматривается усложненный вариант задачи маршрутизации «на узкие места», а именно: исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что функции стоимости, а также «текущие» ограничения на выбор перемещений зависят от списка заданий, не выполненных на данный момент времени. Предложен вариант широко понимаемого динамического программирования, в рамках которого не предусматривается (при наличии условий предшествования) построение всего массива значений функции Беллмана; конструируются специальные слои упомянутой функции, реализующие в своей совокупности частичный (это способствует снижению вычислительной сложности) массив ее значений. На этой основе предлагается алгоритм определения значения задачи (глобального экстремума), при компьютерной реализации которого в памяти всякий раз находится только один слой функции Беллмана; найденное значение может использоваться при тестировании эвристик. Построен и реализован на ПЭВМ также оптимальный алгоритм «полного» решения маршрутной задачи, в рамках которого на этапе построения маршрута и трассы используются уже все слои функции Беллмана.

A complicated variant of the “bottleneck problem” is considered, namely: the problem of sequential visiting of megalopolises with preceding constraints. It is supposed that costs functions and “current” constraints with respect to displacements selection depend on the tasks list which is not completed at the moment. The variant of widely understood dynamic programming is proposed, it doesn't foresee (with preceding conditions) construction of the whole array of the Bellman function values; the special layers of this function realizing in its totality the partial array of its values are constructed (it helps to decrease the calculation complexity). An algorithm of the problem value (global extremum) calculation is proposed, the computer realization of which implies the existence of only one layer of the Bellman function in a memory of computer; the obtained value may be used for the heuristics testing. The optimal algorithm of “complete” solving of the route problem is constructed, within which all layers of the Bellman function are used at the route and trace constructing.

Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования, ориентированная на применение в машиностроении при листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. Имеется следующая особенность постановки: терминальная компонента аддитивного критерия содержит зависимость от стартовой точки. Данная особенность приводит к тому, что естественная процедура решения на основе динамического программирования должна применяться индивидуально для каждой точки старта. Целью исследования является построение оптимизирующего алгоритма для определения комплекса, включающего маршрут (способ нумерации мегаполисов), траекторию и точку старта. Предложенный алгоритм реализует идею направленного перебора точек старта. Алгоритм реализован в виде стандартной программы для ПЭВМ; решены модельные примеры.

The problem of sequential traversal of megapolises with precedence conditions is investigated; this problem is oriented to mechanical engineering — CNC metal cutting machines. There is the following setting singularity: the terminal component of additive criterion contains the dependence on the starting point. This singularity leads to the fact that the natural solution procedure based on dynamic programming must be applied individually for every starting point. The investigation goal consists in the construction of an optimizing algorithm for determining a complex including a route (a variant of megapolis numbering), a trajectory, and a starting point. The proposed algorithm realizes an idea of directed enumeration of starting points. This algorithm is realized as a program for PC; computations for model examples are made.