Все выпуски

Рассматривается модель хаотического движения пластинки в вязкой жидкости, описываемая колебательной системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью. В ходе бифуркационного исследования особых точек системы построены карты типов особых точек и найдено уравнение поверхности в пространстве параметров диссипации и циркуляции, на которой происходит бифуркация Андронова-Хопфа рождения предельного цикла. При дальнейшем изменении параметров вблизи поверхности Андронова-Хопфа найдены каскады бифуркаций удвоения периода цикла Фейгенбаума и субгармонические каскады Шарковского, заканчивающиеся рождением цикла периода три. Получены выражения для седловых чисел седлоузла и двух седлофокусов и построены их графики в пространстве параметров. Показано, что в системе реализуются гомоклинические каскады бифуркаций при разрушении гомоклинических траекторий седлофокусов. Существование гомоклинических траекторий седлофокусов доказано численно-аналитическим методом. Графики старшего показателя Ляпунова и бифуркационные диаграммы показывают, что при изменении коэффициентов диссипации система в несколько этапов переходит к хаосу.

We consider the model of chaotic motion of a plate in a viscous fluid, described by an oscillatory system of three ordinary differential equations with a quadratic nonlinearity. In the course of the bifurcation study of singular points of the system, maps of the types of singular points are constructed and a surface equation is found in the space of dissipation and circulation parameters on which the Andronov-Hopf bifurcation of the limit cycle creation takes place. With a further change in the parameters near the Andronov-Hopf surface, cascades of the period doubling doubling of the Feigenbaum cycle and the Sharkovsky subharmonic cascades, ending with the creation of a cycle of period three, are found. Expressions are obtained for saddle numbers of the saddle-node and two saddle-foci and their plots are plotted in the parameter space. It is shown that homoclinic cascades of bifurcations are realized in the system with the destruction of homoclinic trajectories of saddle-foci. The existence of homoclinic trajectories of saddle-foci is proved by a numerical-analytical method. The graphs of the largest Lyapunov exponent and the bifurcation diagrams show that when the dissipation coefficients change, the system switches to chaos in several stages.

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

In the rectangular region, we study nonlocal boundary value problems for the one-dimensional unsteady convection-diffusion equation of fractional order with variable coefficients, describing the diffusion transfer of a substance, as well as the transfer due to the motion of the medium. A priori estimates of solutions of nonlocal boundary value problems in differential form are derived by the method of energy inequalities. Difference schemes are constructed and analogs of a priori estimates in the difference form are proved for them, error estimates are given under the assumption of sufficient smoothness of solutions of equations. From the obtained a priori estimates, the uniqueness and stability of the solution from the initial data and the right part, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem at the rate of $O(h^2+\tau^2)$.

Целью работы является получение математической модели движения составной упругой системы. Поиск собственных форм и частот предлагается проводить путем разложения колебаний по формам неподвижных элементов. Это позволяет преобразовать уравнения движения в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения. Проведено моделирование движения космического аппарата, в состав которого входят упругие элементы большой протяженности (панели солнечных батарей).

The purpose of the article is receiption of mathematical model of motion of the complex elastic system. The normal modes and frequencies are searched by decomposition of vibrations on the modes of stationary elements of the system. It allows one to transform partial differential equations of motion in ordinary differential equations. The motion of a space craft which consists of elastic large size elements (solar panels) is modeled.

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Начальная краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. После подробного изучения свойств операторных коэффициентов, отвечающих возникшей системе уравнений, доказывается теорема о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании решения и исходной начально-краевой задачи.

We study the problem of small motions of an ideal stratified fluid with a free surface, partially covered with elastic ice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. The problem is studied on the basis of an approach connected with application of the so-called operator matrices theory. To this end we introduce Hilbert spaces and some of their subspaces as well as auxiliary boundary value problems. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for the differential second-order equation in Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the strong solvability of the Cauchy problem obtained on a finite time interval. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the hydrosystem.

В настоящей статье рассматривается краевая задача для дифференциальных уравнений типа Ланжевена с дробной производной Капуто в банаховом пространстве. Предполагается, что нелинейная часть уравнения представляет из себя отображение, подчиняющееся условиям типа Каратеодори. Уравнения такого типа обобщают уравнения движения в различного рода средах, например вязкоупругих, или в средах, где сила сопротивления выражается с помощью дробной производной. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория мер некомпактности и уплотняющих операторов. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего оператора используется теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.

In this paper, we consider a boundary value problem for differential equations of Langevin type with the Caputo fractional derivative in a Banach space. It is assumed that the nonlinear part of the equation is a Caratheodory type map. Equations of this type generalize equations of motion in various kinds of media, for example, viscoelastic media or in media where a drag force is expressed using a fractional derivative. We will use the theory of fractional mathematical analysis, the properties of the Mittag-Leffler function, as well as the theory of measures of non-compactness and condensing operators to solve the problem. The initial problem is reduced to the problem of the existence of fixed points of the corresponding resolving integral operator in the space of continuous functions. We will use Sadovskii type fixed point theorem to prove the existence of fixed points of the resolving operator. We will show that the resolving integral operator is condensing with respect to the vector measure of non-compactness in the space of continuous functions and transforms a closed ball in this space into itself.

Рассматривается управляемая механическая система с сухим трением и позиционным импульсным или позиционным разрывным управлением. Она может быть представлена в виде уравнений Лагранжа второго рода:

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

Целью управления является  движение системы по  множеству S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (задача стабилизации) или в окрестности этого множества (задача сближения). Первая задача решается с использованием  позиционного управления релейного типа с ограниченными ресурсами, для которых режим декомпозиции является устойчивым скользящим режимом системы (1). При недостаточности ресурсов обычного разрывного управления движение системы в окрестности  множества S происходит при помощи высокочастотных импульсных воздействий на нее в дискретные моменты времени в импульсно-скользящем режиме, равномерный предел которого (идеальный импульсно-скользящий режим) совпадает с режимом декомпозиции. Отличительной особенностью поставленных задач является наличие в системе (1) сил сухого трения, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как некоторые неуправляемые разрывные или многозначные возмущения.

Основные понятия даны во введении статьи. В первом разделе показана связь между идеальными импульсно-скользящими режимами включения

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

где u - позиционное импульсное управление, и скользящими режимами системы

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

с позиционным разрывным управлением. Второй раздел посвящен системам вида (1). В третьем разделе рассматривается важное для приложений целевое множество S системы (1), которое определяется векторной функцией σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). Для последнего случая использованы  более простые и содержательные условия, гарантирующие существование скользящих режимов для системы с позиционным разрывным управлением. В заключении рассмотрен пример.

We consider a controlled mechanical system with dry friction and positional pulse or positional discontinuous control. It can be presented in a form of Lagrange equations of the second kind

A(t,q)d²q/dt²=g(t,q,dq/dt)+Q^A(t,q,dq/dt)+Q^T(t,q,dq/dt)+u, t∈I=[t₀,t₀+T]. (1)

The goal of the control is the motion of the system (1) in set S={(t,q,dq/dt)∈I×Rⁿ×Rⁿ: σ(t,q,dq/dt)=0} (problem of stabilization) or in the neighborhood of set S (approach problem). The first problem is solved with discontinuous positional control of relay type with limited resources, for which a decomposition mode is a stable sliding mode of system (1). In case of insufficiency of resources of discontinuous control the motion of the controlled system in the neighborhood of set S can be implemented under high-frequency impacts on the system in discrete time moments in the pulse-sliding mode, the uniform limit of which (an ideal pulse-sliding mode) is equal to the decomposition mode. The distinctive feature of the assigned problems is dry friction in the system (1), and said dry fiction, generally speaking, can be considered as uncontrollable discontinuous or multivalued perturbations. 

Main definitions are given in the introduction of the article. In the first section the connection between ideal pulse-sliding modes of inclusion

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+u,

where u is a positional pulse control, and sliding modes of system

A(t,x)ẋ∈F(t,x)+B(t,x)ũ(t,x)

with a positional discontinuous control is considered. The second section is devoted to systems of type (1). In the third section we consider set S, which is important in relation to applications and is defined by the vector function σ(t,q,dq/dt)=dq/dt-φ(t,q). For the last case more simple and informative conditions of the existence of sliding modes for a system with discontinuous controls were used. An example was considered in conclusion.

Для конфликтно-управляемой динамической системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла, рассматривается дифференциальная игра с показателем качества, который оценивает историю движения, реализующуюся к терминальному моменту времени, а также включает интегральную оценку реализаций управлений игроков. Игра формализуется в классе чистых позиционных стратегий. На основе понятия коинвариантных производных для функционала цены этой игры выписывается функциональное уравнение Гамильтона-Якоби. Доказывается, во-первых, что решение этого уравнения, удовлетворяющее определенным условиям гладкости, является ценой исходной дифференциальной игры, а во-вторых, что цена в точках дифференцируемости удовлетворяет выписанному уравнению Гамильтона-Якоби. Таким образом, это уравнение можно трактовать как уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана для систем нейтрального типа.

For a conflict-controlled dynamical system described by functional differential equations of neutral type in Hale’s form, we consider a differential game with a quality index that estimates the motion history realized up to the terminal time and includes an integral estimation of realizations of players’ controls. The game is formalized in the class of pure positional strategies. Based on a coinvariant derivatives conception we derive a Hamilton–Jacobi functional equation. It is proved, firstly, that the solution of this equation, satisfying certain conditions of smoothness, is the value of the initial differential game, and secondly, that value at points of differentiability satisfies the considered Hamilton–Jacobi equation. Thus this equation can be interpreted as the Hamilton-Jacobi-Isaacs-Bellman equation for neutral type systems.

В работе рассматривается задача о малых движениях вязкой стратифицированной жидкости, частично заполняющей контейнер, который равномерно вращается вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости полученной задачи Коши. На этой основе найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы.

We study the problem of small motions of a viscous stratified fluid partially filling a container that uniformly rotates around an axis co-directed by gravity. The problem is studied on the basis of an approach related to the application of the so-called operator matrix theory. To this end, we introduce Hilbert spaces and some their subspaces, as well as auxiliary boundary value problems. The original initial-boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for a first-order differential equation in some Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the solvability of the Cauchy problem. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a solution of the original initial-boundary value problem describing the evolution of the hydro-system.

Рассматривается конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Цель группы преследователей - поймать, а группы убегающих - избежать поимки. Все игроки обладают равными динамическими возможностями. Движение игроков задается дифференциальным уравнением третьего порядка. Все убегающие используют одинаковое управление, поэтому о них можно говорить как о жестко скоординированных инерционных объектах. Доказано, что если выпуклые оболочки, натянутые на начальные ускорения группы преследователей и группы убегающих, не пересекаются, то происходит уклонение от встречи.

A conflict interaction of groups of controlled objects is considered. The pursuers' goal is to catch, and the evaders' goal is to avoid contact with pursuers. All players have equal dynamic capabilities. Players' motion is defined by a third order differential equation. All evaders have equal control, therefore they can be considered as rigidly coordinated inertial objects. It is proved that if the convex hull spanned by pursuers' initial acceleration vector is not intersected with the convex hull spanned by evaders' initial acceleration vector, then the evasion is possible.

В статье рассмотрена редукция уравнений Кирхгофа-Пуассона задачи о движении твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений задачи о движении твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Получены аналоги уравнений Н. Ковалевского в указанных задачах. Построены два новых частных решения полиномиального класса Стеклова-Ковалевского-Горячева редуцированных дифференциальных уравнений рассматриваемых задач. Полиномиальное решение задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил характеризуется свойством: квадраты второй и третьей компонент вектора угловой скорости представлены квадратными многочленами от первой компоненты этого вектора, которая является эллиптической функцией времени. Полиномиальное решение уравнений движения твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона характеризуется тем, что квадрат второй компоненты вектора угловой скорости - многочлен второго порядка, а квадрат третьей компоненты - многочлен четвертого порядка от первой компоненты этого вектора, которая находится в результате обращения гиперэллиптического интеграла.

In this paper we consider the reduction of Kirchhoff-Poisson equations related to the problem of rigid body motion under the action of potential and gyroscopic forces and also equations of the problem of rigid body motion taking into account the Barnett-London effect. For the above-mentioned problems, we obtain analogues of N. Kovalevski equations. In addition, for the above-mentioned problems we obtain two new particular solutions to the polynomial class of Steklov-Kovalevski-Goryachev reduced differential equations. The polynomial solution of the problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces is characterized by the following property: the squares of the second and the third vector component of angular velocity are quadratic polynomials of the first vector component that is an elliptic function of time. A polynomial solution of the equation of rigid body motion in a magnetic field (taking into account the Barnett-London effect) is characterized by the fact that the square of the second vector component of the angular velocity is the second-degree polynomial, while the square of the third component is the fourth-degree polynomial of the first vector component. The former is found as a result of an elliptic integral inversion.