Все выпуски

На примере системы второго порядка показан вариант обобщения понятия неосциляции решений скалярных разностных уравнений. Приведен критерий неосцилляции, основанный на пробных функциях.

The variant of generalizing the concept of disconjugate solutions of scalar difference equations is shown by the example of the system of the second order. The disconjugacy criterion based on test functions is given.

Излагаются основы теории неосцилляции решений обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с новыми доказательствами некоторых основных теорем: признаки неосцилляции, ее следствия, свойства неосцилляционных уравнений. Для уравнения второго порядка приводятся новые достаточные признаки неосцилляции.

It is an expository article devoted to the disconjugacy theory for decisions of the homogeneous differential equation of n-th order. We give new proofs of some basic results of this theory, such as sufficient conditions for disconjugacy, some implications from disconjugacy, properties of disconjugate equations. We also give new sufficient conditions of disconjugacy for second order differential equations.

Рассматривается уравнение
$$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad (1)$$где $P$, $Q$ - $C$-обобщенные функции, определенные на $ \mathcal I$ и представляющие собой смежные классы фактор-алгебры Коломбо. Пусть $ \mathcal{R}_P$, $ \mathcal{R}_Q$ - представители этих классов соответственно, $\mathcal{A}_N$ - классы финитных функций, необходимые для определения алгебры Коломбо. Получены новые достаточные условия неосцилляции уравнения $(1)$: доказано, что если выполнено условие $$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1) \; \int_a^b| \mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b| \mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0),$$где $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi\left(\frac{t}{\mu}\right)$, то уравнение $(1)$ неосцилляционно на $[a, b]$. Доказана теорема о разделении нулей и следствие, вытекающее из нее.

We consider a differential equation $$Lx\doteq x''+P(t)x'+Q(t)x=0,\quad t\in[a, b]\subset \mathcal{I}\doteq(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}, \qquad(1)$$where $P$, $Q$ are $C$-generalized functions defined on $\mathcal{I}$ and are known as equivalence classes of Colombeau algebra. Let $\mathcal{R}_P$ and $\mathcal{R}_Q$ be representatives of $P$ and $Q$ respectively, $\mathcal{A}_N$ are classes of functions with compact support used to define Colombeau algebra. We obtain new sufficient conditions for disconjugacy of the equation $(1)$. We prove that if the condition$$(\exists\, N\in\mathbb{N}) (\forall\, \varphi\in \mathcal{A}_N) (\exists\, \mu_0<1)\ \int_a^b|\mathcal{R}_P(\varphi_\mu,t)|\,dt+\int_a^b|\mathcal{R}_Q(\varphi_\mu,t)|\,dt<\\<\frac{4}{b-a+4}\quad (0<\mu<\mu_0)$$is satisfied, where $\varphi_{\mu}\doteq \frac{1}{\mu}\varphi \left(\frac{t}{\mu}\right)$, then the equation $(1)$ is disconjugate on $[a, b]$. We prove the separation theorem and its corollary.