Все выпуски

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

The influence of additive and parametrical noise on attractors of the one-dimensional system governed by the stochastic differential Ito equation is investigated. It is shown that unlike additive, parametrical disturbances lead to the shift of extrema of probability density function. For the value of this shift, a decomposition on small parameter of noise intensity is obtained. It is shown that the influence of the parametrical noise can change not only the arrangement, but also the quantity of extrema of probability density function. The corresponding noise-induced phenomena are studied for three dynamical models in detail. An analysis of the error for the different order estimations of the shift of extrema for the probability density function is presented by the example of a linear model. Two scenarios of the transition between unimodal and bimodal forms of the stochastic attractor are investigated for systems with different types of cubic nonlinearity.

В статье исследуется дискретная модель нейрона, предложенная Рульковым. В детерминированном варианте эта система моделирует различные режимы нейронной активности, такие как покой, тонический и хаотический спайкинг. В присутствии случайных возмущений в системе может наблюдаться еще один важный режим - берстинг, характеризующийся перемежаемостью участков покоя и возбуждения. В работе исследуются вероятностные механизмы индуцированных шумом переходов от покоя к берстингу в зоне касательной бифуркации. Показано, что такие переходы могут сопровождаться трансформацией динамики системы из регулярной в хаотическую. Для анализа этих бифуркационных явлений используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных интервалов.

A discrete neuron model proposed by Rulkov is studied. In the deterministic version, this system simulates different modes of neural activity, such as quiescence, tonic and chaotic spiking. In the presence of random disturbances, another important mode of bursting characterized by the alternation of quiescence and excitement regimes can be observed. We study the probabilistic mechanisms of noise-induced transitions from quiescence to bursting in the zone of the tangent bifurcation. It is shown that such transitions are accompanied by a transformation of the system dynamics from regular to chaotic. For the analysis of these bifurcation phenomena, the stochastic sensitivity functions technique and method of confidence intervals are used.

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

We study the influence of noise on the Goldbeter model of the enzymatic reaction, which describes the mechanism of oscillatory synthesis of cyclic adenosine monophosphate in a cell. It is shown that the model is highly sensitive to variations of parameters and initial conditions. The phenomenon of stochastic excitability in a stable equilibrium zone is demonstrated and studied. We show that the noise results in a sharp transition from low-amplitude stochastic oscillations to large-amplitude spike oscillations. For the parametric analysis of this phenomenon, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence ellipses are used. We study how the critical value of the noise intensity corresponding to the generation of large-amplitude oscillations depends on the proximity of a control parameter to a bifurcation point. For a detailed analysis of the frequency properties of stochastic oscillations, a statistical analysis of interspike intervals is carried out, and a phenomenon of coherent resonance is found.

Для динамической системы, управляемой в условиях помех, рассматривается задача оптимизации гарантированного результата. Особенностью задачи является наличие функциональных ограничений на помехи, при которых свойство замкнутости множества допустимых помех относительно операции «склейки» двух его элементов, вообще говоря, отсутствует. Это обстоятельство препятствует непосредственному применению методов теории дифференциальных игр для исследования задачи и тем самым приводит к необходимости их походящей модификации. В работе предложено новое понятие неупреждающей стратегии управления (квазистратегии). Доказано, что соответствующий функционал оптимального гарантированного результата удовлетворяет принципу динамического программирования. Как следствие, установлены так называемые свойства $u$- и $v$-стабильности этого функционала, которые в дальнейшем позволят построить конструктивное решение задачи в позиционных стратегиях.

For a dynamical system controlled under conditions of disturbances, a problem of optimizing the guaranteed result is considered. A feature of the problem is the presence of functional constraints on disturbances, under which, in general, the set of admissible disturbances is not closed with respect to the operation of “gluing up” of two of its elements. This circumstance does not allow to apply directly the methods developed within the differential games theory for studying the problem and, thus, leads to the necessity of modifying them appropriately. The paper provides a new notion of a non-anticipative control strategy. It is proved that the corresponding functional of the optimal guaranteed result satisfies the dynamic programming principle. As a consequence, so-called properties of $u$- and $v$-stability of this functional are established, which may allow, in the future, to obtain a constructive solution of the problem in the form of feedback (positional) controls.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Two problems of nonlinear guaranteed estimation for states of dynamical systems are considered. It is supposed that unknown measurable in $t$ disturbances are linearly included in the equation of motion and are additive in the measurement equations. These disturbances are constrained by nonlinear integral functionals, one of which is analog of functional of the generalized work. The studied problem consists in creation of the information sets according to measurement data containing the true position of the trajectory. The dynamic programming approach is used. If the first functional requires solving a nonlinear equation in partial derivatives of the first order which is not always possible, then for functional of the generalized work it is enough to find a solution of the linear Lyapunov equation of the first order that significantly simplifies the problem. Nevertheless, even in this case it is necessary to impose additional conditions on the system parameters in order for the system trajectory of the observed signal to exist. If the motion equation is linear in state variable, then many assumptions are carried out automatically. For this case the issue of mutual approximation of information sets via inclusion for different functionals is discussed. In conclusion, the most transparent linear quadratic case is considered. The statement is illustrated by examples.

Рассматривается управляемая параболическая система, которая описывает нагрев заданного количества стержней. Функции плотности внутренних источников тепла стержней точно неизвестны, а заданы только отрезки их изменения. На концах стержней находятся управляемые источники тепла и помехи. Цель выбора управления заключается в том, чтобы привести вектор средних температур стержней в фиксированный момент времени на заданный компакт при любых допустимых функциях плотности внутренних источников тепла и любых допустимых реализациях помех. После замены переменных получена задача управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии неопределенности. Используя численный метод, для этой задачи построено множество разрешимости. Выполнены модельные расчеты.

A controlled parabolic system that describes the heating of a given number of rods is considered. The density functions of the internal heat sources of the rods are not known exactly, and only the segments of their change are given. At the ends of the rods there are controlled heat sources and disturbances. The goal of the choice of control is to lead the vector of average temperatures of the rods at a fixed time to a given compact for any admissible functions of the density of internal heat sources and any admissible realizations of disturbances. After replacing variables, the problem of controlling a system of ordinary differential equations in the presence of uncertainty is obtained. Using a numerical method, a solvability set is constructed for this problem. Model calculations are carried out.

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш-Розе. В детерминированной модели Хиндмарш-Розе возможны параметрические зоны сосуществования различных устойчивых аттракторов - равновесий и предельных циклов. Появление колебаний больших амплитуд при воздействии случайных возмущений на систему в этих зонах объясняется наличием предельного цикла. Однако стохастическая генерация осцилляций больших амплитуд возможна и в параметрической зоне, где имеется лишь одно устойчивое равновесие. В данной статье рассматривается этот случай. При малых шумах случайные состояния концентрируются вблизи устойчивого равновесия. При увеличении интенсивности шума траектории уходят далеко от равновесия, совершая колебательные движения больших амплитуд в окрестности неустойчивого равновесия. Это явление подтверждается изменением плотности распределения случайных траекторий. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности. Предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh-Rose model. In the deterministic Hindmarsh-Rose model the parametric zones of coexistence of different stable attractors (equilibria and limit cycles) are possible. The emergence of high amplitude oscillations under the influence of random disturbances on the system in these zones is due to the presence of a limit cycle. However, the stochastic generation of high amplitude oscillations is possible in a parametric zone where the deterministic system has the only stable equilibrium. This article discusses this case. For a sufficiently low noise intensity values, random states concentrate near the stable equilibrium. With the increasing of the noise intensity, trajectories go far from the equilibrium making high amplitude oscillations in the neighborhood of the unstable equilibrium. This phenomenon is confirmed by changing of the probability distribution of random trajectories. This effect is analyzed using the stochastic sensitivity function technique. A method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

Теория управления - активно развивающийся в настоящее время раздел современной математики. Класс задач, изучаемый в рамках этой теории, достаточно обширен и включает как вопросы, связанные с существованием решений, так и вопросы, связанные с эффективными способами построения управляющих воздействий. Один из подходов к решению задач управления при неполной информации был предложен в основополагающей статье Ю.С. Осипова, опубликованной в журнале «Успехи математических наук» в 2006 году. В дальнейшем этот подход, названный методом пакетов программ, получил развитие, в частности, в статьях, цитированных в настоящей работе. Указанный подход основан на подходящей модификации известного в теории позиционных дифференциальных игр метода неупреждающих стратегий (квазистратегий) для решения задач управления при неизвестном начальном состоянии. Как известно, квазистратегии, отражающие свойства вольтерровости программных реализаций управлений с обратной связью на соответствующие программные возмущения, ориентированы на исследование задач с известным начальным состоянием при наличии неизвестных динамических возмущений. В стандартных задачах управления с неполной информацией динамические возмущения, как правило, отсутствуют, а неполнота информации обусловлена дефицитом информации о начальном состоянии системы. Аналогом свойств неупреждаемости для задач с неизвестными начальными состояниями и стали пакеты программ. Следует отметить, что во всех предыдущих исследованиях, связанных с методом пакетов программ, рассматривались задачи наведения на одно-единственное целевое множество. В настоящей работе для линейной стационарной управляемой динамической системы рассмотрена задача гарантированного наведения на семейство целевых множеств в случае неполной информации о начальном состоянии. Установлен критерий разрешимости этой задачи, основанный на методе пакетов программ, и приведен иллюстрирующий пример.

Control theory is a section of modern mathematics being actively developed at present time. The class of problems investigated within the framework of this theory is quite extensive and includes issues related to the existence of solutions as well as issues related to the effective methods for constructing controls. One of the approaches to solving control problems under lack of information was suggested by Yu.S. Osipov in the fundamental paper published in the Russian Mathematical Surveys in 2006. Later, this approach, called the method of program packages, was developed, in particular, in the articles cited in this paper. This approach is based on a suitable modification of the method of non-anticipatory strategies (quasi-strategies) for solving control problems with unknown initial states. As is known, quasi-strategies reflecting the Volterra properties of program realizations of closed-loop controls in corresponding program disturbances are oriented to the investigation of problems with known initial states under the presence of unknown dynamical disturbances. Such disturbances are usually absent in standard control problems with incomplete information and incompleteness of information is due to a lack of information about the initial state of the system. So, program packages became an analogue of the properties of nonanticipativeness for problems with unknown initial states. It should be noted that in all previous works related to the method of program packages, the guidance problems to one single target set were considered. In the present paper the guaranteed guidance problem to a collection of target sets under incomplete information about the initial state is considered for a linear autonomous control dynamical system. The criterion for the solvability of that problem is established. It is based on the method of program packages. An illustrative example is given.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего, описываемая системой вида $$\dot z_i = a_i(t) u_i - v,\quad u_i\in U_i,\quad v\in V,$$ где функции $a_i(t)$ равны 1 при всех $t$, за исключением некоторого отрезка заданной длины, на котором они равны нулю (для каждого преследователя свой отрезок). Этот факт можно трактовать так, что у каждого из преследователей возможен отказ в работе управляющего устройства в любой заранее неизвестный момент времени, а длина промежутка времени, необходимого на устранение поломки, задана, при этом в процессе устранения поломки преследователи не имеют возможности осуществлять поимку. Целевые множества — выпуклые компакты, убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены достаточные условия разрешимости задачи преследования.

In finite-dimensional Euclidian space, we treat the problem of pursuit of one evader by a group of pursuers, which is described by a system of the form $$\dot z_i = a_i(t) u_i - v, \quad u_i\in U_i, \quad v\in V,$$ where the functions $\alpha_i(t)$ are equal to 1 for all $t$, except for a certain interval of a given length, on which they are equal to zero (to each pursuer there corresponds its own interval). This fact can be interpreted in such a way that each of the pursuers has a possible failure of the control device at any previously unknown moment in time, and the length of the time interval needed to fix the failure is given, while in the process of fixing the failure the pursuers have no possibility to carry out a capture. The target sets are convex compact sets, and the evader does not leave the bounds of the convex polyhedral set. We obtain sufficient conditions for solvability of the pursuit problem.