Все выпуски

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

The influence of additive and parametrical noise on attractors of the one-dimensional system governed by the stochastic differential Ito equation is investigated. It is shown that unlike additive, parametrical disturbances lead to the shift of extrema of probability density function. For the value of this shift, a decomposition on small parameter of noise intensity is obtained. It is shown that the influence of the parametrical noise can change not only the arrangement, but also the quantity of extrema of probability density function. The corresponding noise-induced phenomena are studied for three dynamical models in detail. An analysis of the error for the different order estimations of the shift of extrema for the probability density function is presented by the example of a linear model. Two scenarios of the transition between unimodal and bimodal forms of the stochastic attractor are investigated for systems with different types of cubic nonlinearity.

В статье рассматривается аппроксимация функции цены антагонистической дифференциальной игры с критерием, задаваемым условием минимизации некоторой величины вдоль реализовавшейся траектории, решениями стохастических игр с непрерывным временем и моментом остановки, управляемым одним из игроков. Отметим, что если в качестве вспомогательной игры выбрана стохастическая дифференциальная игра, то ее функция цены задается параболическим уравнением второй степени в частных производных с дополнительными ограничениями в форме неравенств, в то время как для случая вспомогательной игры с динамикой, задаваемой марковской цепью, функция цены определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительными ограничениями. Развиваемый в статье метод аппроксимации основан на концепции стохастического поводыря, впервые предложенном в работах Н.Н. Красовского и А.Н. Котельниковой.

The paper is concerned with the approximation of the value function of the zero-sum differential game with the minimal cost, i.e., the differential game with the payoff functional determined by the minimization of some quantity along the trajectory by the solutions of continuous-time stochastic games with the stopping governed by one player. Notice that the value function of the auxiliary continuous-time stochastic game is described by the Isaacs–Bellman equation with additional inequality constraints. The Isaacs–Bellman equation is a parabolic PDE for the case of stochastic differential game and it takes a form of system of ODEs for the case of continuous-time Markov game. The approximation developed in the paper is based on the concept of the stochastic guide first proposed by Krasovskii and Kotelnikova.

В статье рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с точечным вихрем, в идеальной жидкости. В отличие от предыдущих работ в данном случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается равной нулю. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Используя автономный интеграл, проведена редукция системы на одну степень свободы в ранее не рассматриваемом случае нулевой циркуляции. Показано, что в отличие от случая циркуляционного обтекания в отсутствие точечных вихрей, в котором движение цилиндра будет происходить в ограниченной горизонтальной полосе, при наличии вихрей и циркуляции, равной нулю, вертикальная координата цилиндра неограниченно убывает. Дальнейшее внимание в работе сконцентрировано на численном исследовании динамики системы, которая при нулевой циркуляции обладает некомпактными траекториями. Построены различные виды функций рассеяния вихря на цилиндре. Вид этих функций свидетельствует о хаотическом характере рассеяния и, следовательно, об отсутствии дополнительного аналитического интеграла.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with a point vortex in a perfect fluid. In contrast to previous works, in this paper the circulation about the cylinder is assumed to be zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. Using autonomous integral we reduce the order of the system by one degree of freedom in a case of zero circulation which early was not considered. Unlike nonzero circulation in the absence of point vortices when the cylinder moves inside a certain horizontal stripe it is shown that in the presence of vortices and with circulation equal to zero a vertical coordinate of the cylinder is unbounded decreasing. We then focus on the numerical study of dynamics of our system. In a case of zero circulation trajectories are noncompact. The different kinds of the scattering function of the vortex by cylinder were obtained. The form of these functions argues to chaotic behavior of the scattering which means that an additional analytical integral is absent.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

We study the long-time evolution of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow subject to the initial topography of its boundaries and bottom velocities. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is assumed to have a smaller density than the lower layer. Based on lubrication approximation (the Reynolds equations) the nonlinear system of diffusion-type equations with respect to the surface and interface between the layers is obtained to describe this flow. Taking the dimensionless density contrast between the layers as a small parameter, we apply the method of asymptotic expansions to extract leading-term approximation for the slowly varying large-time evolution of the governing equations. An asymptotic equation relating both surface and interface displacement to the bottom velocities is derived. Based on this equation, we develop the algorithm to calculate velocity fields within layers for large time. Streamlines are used to visualize the flow. Numerical results reveal stability of the streamlines in the upper layer under variation of the bottom velocity. As geophysical applications, the developed algorithm is used to evaluate the velocity field in the crust (the upper layer) beneath the large-scale lunar multi-ring basins influenced by deep movements in the underlying mantle (the lower layer). To validate the results of modeling, we compare the calculated velocity fields with basin ridge systems obtained by experimental observations. The model comparison has shown proximity of radii of basin rings and critical points of the surface velocity.

В работе рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. В общем случае циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается отличной от нуля. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы системы - горизонтальная и вертикальная компоненты импульса, - последний из которых, очевидно, неавтономный. Основное внимание сконцентрировано на исследовании конфигурации, аналогичной задаче Фёппля: цилиндр движется в поле тяжести в сопровождении вихревой пары (N=2). В этом случае циркуляция вокруг цилиндра равна нулю, а уравнения движения рассматриваются на некотором инвариантном многообразии. Показано, что, в отличие от конфигурации Фёппля, в поле силы тяжести относительное равновесие вихрей невозможно. Рассмотрена ограниченная задача: цилиндр предполагается достаточно тяжелым, вследствие чего вихри не оказывают влияния на его падение. Как полная, так и ограниченная задача исследована численно, в результате отмечено качественное сходство поведения решений: в большинстве случаев взаимодействие вихревой пары и цилиндра носит характер рассеяния.

We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with N vortices in a perfect fluid. Generically, the circulation about the cylinder is different from zero. The governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous. We then focus on the study of a configuration of the Foppl type: a falling cylinder is accompanied with a vortex pair (N=2). Now the circulation about the cylinder is assumed to be zero and the governing equations are considered on a certain invariant manifold. It is shown that, unlike the Foppl configuration, the vortices cannot be in a relative equilibrium. A restricted problem is considered: the cylinder is assumed to be sufficiently massive and thus its falling motion is not affected by the vortices. Both restricted and general problems are studied numerically and remarkable qualitative similarity between the problems is outlined: in most cases, the vortex pair and the cylinder are shown to exhibit scattering.

Разработана осесимметрическая модель на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости для исследования двухслойного течения со свободной границей, создаваемого подъемом жесткого блока фундамента. Получено численное решение полной нелинейной системы и выполнен анализ малых возмущений движения границ слоев. Основной результат заключается в том, что кольцевая структура образуется на поверхности жидкости, если плотность нижнего слоя больше, чем у верхнего. Предлагаемая модель может представлять интерес для геофизики при изучении процесса образования крупномасштабных кольцевых структур на поверхности Земли и других планет.

The axisymmetric model based on simplified equations of incompressible viscous fluid is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the uplift of the substrate's block. We numerically solve the nonlinear governing equations and perform the small-amplitude analysis of the behavior of both fluid interfaces. The main result is that a ring pattern does occur on the upper surface provided that the density of the lower layer is greater then that of the upper one. The presented model may be of interest for geophysics to study large-scale ring structures on the Earth and other solid planets.

В работе дан обзор проблем, приводящих к необходимости анализа моделей линейных и нелинейных динамических систем в форме стохастических дифференциальных уравнений со случайными запаздываниями различного типа, а также представлены некоторые известные методы решения этих задач. Далее в статье предлагаются новые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных стохастических динамических систем, изменения запаздываний которых описываются дискретной марковской цепью с непрерывным временем. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния стохастической системы и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В рассматриваемом случае такой подход позволил упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания. Более того, для линейных систем получена замкнутая последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивающейся размерности относительно функций условных математических ожиданий и ковариаций вектора состояния. Изложенная схема демонстрируется на примере стохастической системы второго порядка, изменения запаздывания которой описываются марковской цепью с пятью состояниями. Все расчеты и построение графиков проводились в среде математического пакета Mathematica с помощью программы, написанной на входном языке этого пакета.

The paper provides an overview of the problems that lead to a necessity for analyzing models of linear and nonlinear dynamic systems in the form of stochastic differential equations with random delays of various types as well as some well-known methods for solving these problems. In addition, the author proposes some new approaches to the approximate analysis of linear and nonlinear stochastic dynamic systems. Changes of delays in these systems are governed by discrete Markov chains with continuous time. The proposed techniques for the analysis of systems are based on a combination of the classical steps method, an extension of the state space of a stochastic system under examination, and the method of statistical modeling (Monte Carlo). In this case the techniques allow to simplify the task and to transfer the source equations to systems of stochastic differential equations without delay. Moreover, for the case of linear systems the author has obtained a closed sequence of systems with increasing dimensions of ordinary differential equations satisfied by the functions of conditional expectations and covariances for the state vector. The above scheme is demonstrated by the example of a second-order stochastic system. Changes of the delay in this system are controlled by the Markov chain with five states. All calculations and graphics were performed in the environment of the mathematical package Mathematica by means of a program written in the source language of the package.

На основе упрощенных уравнений Навье-Стокса в длинноволновом приближении построена нелинейная модель двухслойного течения вязкой жидкости со свободной границей, создаваемого начальным рельефом границ слоев. Используя метод малого параметра, исследуется эволюция течения на больших временах и определяется зависимость между движением поверхности и границы раздела жидкости. Полученные результаты применяются для расчета профиля границы кора-мантия под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier-Stokes equations is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the initial topography of the surface and interface between layers. Using the method of asymptotic expansions for the governing equations, we study a long-time evolution of the flow and reveal the relation between the surface and interface displacements. The obtained results are applied to calculate the profile of the crust-mantle interface beneath the large-scale lunar basin.

Предлагается осесимметрическая модель, построенная на основе уравнений Стокса, для исследования образования многокольцевой структуры в ползущем двухслойном течении с переменной толщиной слоев. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. Течение создается рельефом поверхности и границы раздела слоев. Предполагается, что эффекты поверхностного натяжения пренебрежимо малы. Мы используем асимптотический метод многих масштабов для получения уравнений, описывающих неустойчивость, возникающую в виде волны в этом течении. С помощью преобразований Фурье и Лапласа мы исследуем уравнения главного приближения для этой неустойчивости в предположении малости возмущений. Асимптотическое исследование показывает, что эта неустойчивость проявляется в виде осесимметричной волны, длина которой соизмерима с толщиной слоев, и толщины слоев играют главную роль в пространственном распределении ее экстремумов. Остальные параметры модели влияют в основном на амплитуду волны. Получено уравнение, связывающее толщины слоев с распределением экстремумов, которое применяется для исследования закономерности расположения кольцевых хребтов, наблюдаемой для большинства крупномасштабных кольцевых структур на Луне. Используя параметры некоторых лунных кольцевых структур, мы определили радиусы последовательно расположенных экстремумов неустойчивости и провели сравнение модельных результатов с радиусами концентрических хребтов некоторых многокольцевых структур на Луне.

The axisymmetric model based on the Stokes equations is proposed to investigate the multi-ring pattern formation in two-layer creeping flow with variable thickness of layers. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is lighter than the lower layer. The flow is generated by both surface and interface geometry. The effect of surface tension is supposed to be negligible. We apply the method of multiple scales to obtain the governing equations describing instability in the form of wave in the flow. Using the Fourier-Laplace method, we analyze the small-amplitude leading behavior of the instability. The asymptotic study reveals that this kind of instability manifests itself as axisymmetric wave which length is comparable with layer thickness; moreover, layer thicknesses play a major role in spatial distribution of wave extrema. The other model parameters alter mostly the wave amplitude. The equation relating extrema distribution to layer thicknesses is derived. We apply the obtained results to study a ring spacing rule observed for most multi-ring basins on the Moon. Using parameters of some lunar multi-ring basins we calculate the consecutive crest radii of the unstable wave and compare the results of simulation with the measured ring radii.

Неголономные механические системы возникают во многих задачах, имеющих практическое значение. Известной моделью в неголономной механике являются сани Чаплыгина. Сани Чаплыгина представляют собой твердое тело, опирающееся на поверхность острым невесомым колесом. Острый край колеса препятствует скольжению в направлении, перпендикулярном его плоскости. В данной работе рассмотрены сани Чаплыгина с изменяющимся со временем распределением масс, которое возникает за счет движения точки в поперечном относительно плоскости лезвия направлении. Получены уравнения движения, среди которых отделяется замкнутая система уравнений с периодическими по времени коэффициентами, описывающая эволюцию поступательной и угловой скорости саней. Показано, что если проекция центра масс всей системы на ось вдоль лезвия равна нулю, тогда поступательная скорость саней возрастает. При этом траектория точки контакта, как правило, является неограниченной.

Nonholonomic mechanical systems arise in the context of many problems of practical significance. A famous model in nonholonomic mechanics is the Chaplygin sleigh. The Chaplygin sleigh is a rigid body with a sharp weightless wheel in contact with the (supporting) surface. The sharp edge of the wheel prevents the wheel from sliding in the direction perpendicular to its plane. This paper is concerned with a Chaplygin sleigh with time-varying mass distribution, which arises due to the motion of a point in the direction transverse to the plane of the knife edge. Equations of motion are obtained from which a closed system of equations with time-periodic coefficients decouples. This system governs the evolution of the translational and angular velocities of the sleigh. It is shown that if the projection of the center of mass of the whole system onto the axis along the knife edge is zero, the translational velocity of the sleigh increases. The trajectory of the point of contact is, as a rule, unbounded.