Все выпуски

В настоящее время теория слоений является интенсивно развивающимся разделом современной дифференциальной геометрии, что показывают многочисленные исследования по теории слоений. Целью нашей работы является изучение структуры группы диффеоморфизмов $ Diff_ {F} (M) $ и группы изометрий $Iso_{F}(M)$ слоеного многообразия $ (M,F) $. Показано, что группа $ Diff_{F}(M) $ является замкнутой подгруппой группы $ Diff(M) $ диффеоморфизмов многообразия $ M $ в компактно-открытой топологии, а также доказана,что группа изометрий $ Iso_{F}(M) $ слоеного многообразия является группой Ли. Введена новая топология на $ Diff_{F}(M) $, которая зависит от слоения $ F $ и называется $ F$- компактно открытой топологией. Доказано, что некоторые подгруппы группы $ Diff_F (M) $ являются топологическими группами с $F$-компактно открытой топологией.

Now the foliations theory is intensively developing branch of modern differential geometry, there are numerous researches on the foliation theory. The purpose of our paper is study the structure of the group $Diff_{F}(M)$ of diffeomorphisms and the group $Iso_{F}(M)$ of isometries of foliated manifold $(M,F)$. It is shown the group $Diff_{F}(M)$ is closed subgroup of the group $Diff(M)$ of diffeomorphisms of the manifold $M$ in compact-open topology and also it is proven the group $Iso_{F}(M)$ is Lie group. It is introduced new topology on $Diff_{F}(M)$ which depends on foliation $F$ and called $F$- compact open topology. It's proven that some subgroups of the group $Diff_F(M)$ are topological groups with $F$-compact open topology.

Предметом настоящей работы является вопрос о стабильности вполне управляемых систем, заданных на гладком многообразии. Известно, что множества управляемости симметричных систем порождают сингулярные слоения. В случае, когда множества управляемости имеют одинаковую размерность, возникает регулярное слоение. Таким образом, возникает возможность применения методов теории слоений в задачах теории управления. В данной работе излагаются некоторые результаты авторов о возможности применения теорем о стабильности слоев для задачи о стабильности вполне управляемых систем и для изучения геометрии множества достижимости. Гладкость всюду в работе будет означать гладкость класса $C^{\infty}.$

The subject of this paper is the stability of completely controllable systems defined on a smooth manifold. It is known that the controllability sets of symmetric systems generate singular foliations. In the case when the controllability sets have the same dimension, a regular foliation arises. Thus, the possibility of applying the methods of foliation theory to control theory problems arises. This paper presents some of the authors' results on the possibility of applying the theorems on the stability of leaves to the problems on the stability of completely controllable systems and on the geometry of attainability sets. Smoothness throughout the work will mean smoothness of class $C^{\infty}$.

Пусть M - гладкое многообразие с римановой метрикой g. Вопрос о группе изометрий риманова многообразия (M,g) является основной классической задачей римановой геометрии. Обозначим через G группу всех изометрий риманова многообразия (M,g) размерности n с римановой метрикой g. Структура группы G зависит от фиксированной римановой метрики g. Известно, что для «плохих» римановых метрик группа G может быть очень бедной. Известны примеры, когда группа G состоит из одного элемента. В общем случае известно, что группа G с компактно-открытой топологий является группой Ли. 

В данной статье обсуждается вопрос о существовании изометрических отображений слоеного многообразия (M,F). Обозначим через G_F группу всех изометрий слоеного риманова многообразия (M,F). Структура группы G_F зависит не только от римановой метрики g, но и от данной слоеной структуры. Изучение структуры группы G_F слоеного многообразия (M,F) является новой и интересной задачей. Впервые эта задача рассмотрена в работе А.Я. Нарманова и автора, где было показано, что группа G_F с компактно-открытой топологией является топологической группой. В работе доказывается, что группа изометрий слоеного евклидова пространства является подгруппой группы изометрий евклидова пространства (то есть G_F⊂G), если слоение порождено поверхностями уровня гладкой функции, которая не является метрической.

The question of the group of isometries of a Riemannian manifold is the main problem of the classical Riemannian geometry. Let G denote the group of isometries of a Riemannian manifold M of dimension n with a Riemannian metric g. It is known that the group G with the compact-open topology is a Lie group. This paper discusses the question of the existence of isometric maps of the foliated manifold (M,F). We denote the group of all isometries of the foliated Riemannian manifold (M,F) by G_F. Studying the structure of the group G_F of the foliated manifold (M,F) is a new and interesting problem. First, this problem is considered in the paper of A.Y. Narmanov and the author, where it was shown that the group G_F with a compact-open topology is a topological group. We consider the question of the structure of the group G_F, where M=Rⁿ and F is foliation generated by the connected components of the level surfaces of the smooth function f:Rⁿ→R. It is proved that the group of isometries of foliated Euclidean space is a subgroup of the isometry group of Euclidean space, if the foliation is generated by the level surfaces of a smooth function, which is not a metric.