Все выпуски

Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных T₁-топологий. Доказано существование 2^τ попарно несравнимых наследственно компактных T₁-топологий на бесконечном множестве X мощности τ. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных T₁-пространств является наследственно компактным T₁-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных T₁-пространств не является наследственно компактным.

We consider spaces, any subspaces of which are compact. We call such spaces hereditarily compact. The present work covers questions on the existence and methods of constructing hereditarily compact T₁-topologies. We prove the existence of 2^τ  pairwise incomparable hereditarily compact T₁-topologies on an infinite set $X$ of power τ. The characteristics of hereditarily compact spaces are obtained. It is proved that the Tychonoff product of a finite number of hereditarily compact T₁-spaces is a hereditarily compact T₁-space, but the Tychonoff product of an infinite number of nonsingleton hereditarily compact T₁-spaces is not hereditarily compact

В статье рассматривается оператор Штурма-Лиувилля с вещественным квадратично интегрируемым потенциалом. Граничные условия являются неразделенными. В одно из этих граничных условий входит квадратичная функция спектрального параметра. Изучены некоторые спектральные свойства оператора. Доказаны вещественность и отличность от нуля собственных значений и отсутствие присоединенных функций к собственным функциям, выведена асимптотическая формула для спектра оператора и получено представление характеристической функции в виде бесконечного произведения. Результаты статьи играют важную роль при решении обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов.

The article considers the Sturm-Liouville operator with a real quadratically integrable potential. Boundary conditions are non-separated. One of these boundary conditions includes the quadratic function of the spectral parameter. Some spectral properties of the operator are studied. It is proves that eigenvalues are real and non-zero and there are no associated functions to the eigenfunctions. An asymptotic formula for the spectrum of the operator is derived, and a representation of the characteristic function as an infinite product is obtained. The results of the paper play an important role in solving inverse problems of spectral analysis for differential operators.

Изучается поведение оптимальных решений и функции цены в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке времени, возникающих в моделях экономического роста, когда параметр эластичности производственной функции Кобба–Дугласа растет до своего предельного значения, равного единице. Решение задачи строится в рамках принципа максимума Понтрягина, адаптированного к задачам на бесконечном промежутке времени. В предельном случае задача вырождается в линейную с постоянным оптимальным управлением, зависящим от параметров модели. Качественное исследование гамильтоновых систем обнаруживает ряд значительных изменений в поведении решений, таких как отсутствие стационарного положения в предельном случае. Тем не менее, гамильтониан и максимизированный гамильтониан задачи сохраняют свои свойства гладкости по всем переменным и вогнутости по фазовым переменным. Также в работе строится функция цены для обеих задач управления и приводятся результаты численных экспериментов для иллюстрации проведенных исследований.

The research is devoted to the investigation of the behavior of optimal solutions and value functions in optimal control problems on infinite horizon, which arise in the economic growth models when an elasticity parameter of the Cobb-Douglas production function grows up to its limit value which is equal to unity. The solution is constructed within the framework of the Pontryagin maximum principle for problems on infinite time horizon. In the limit case the problem becomes linear and has a constant optimal control depending on model parameters only. Qualitative analysis of Hamiltonian systems outlines significant changes in solution behavior, namely, the absence of steady states in the limit case. Nevertheless, both the Hamiltonian function and the maximized Hamiltonian function save their properties of smoothness with respect to all variables, and strict concavity with respect to phase variables. Value functions are constructed for both linear and nonlinear optimal control problems. Numerical experiments are implemented for illustrating results of the sensitivity analysis.