Все выпуски

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

Рассматривается периодический оператор Шредингера Ĥ_A+V в Rⁿ, n≥3. На векторный потенциал A накладываются ограничения, которые, в частности, выполнены, если потенциал A принадлежит классу Соболева H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, а также в случае, когда Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞, где A_N – коэффициенты Фурье потенциала A. Доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера Ĥ_A+V для скалярных потенциалов V из пространства Морри L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2], для которых ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ при всех достаточно малых r>0 и всех x∈Rⁿ, где число ε₀=ε₀(n,p;A)>0 зависит от векторного потенциала A, B_r(x) – замкнутый шар радиуса r>0 с центром в точке x∈Rⁿ, Χ_Κ – характеристическая функция множества K⊆Rⁿ, ||.||_2,p –
норма в пространстве L^2,p(Rⁿ). Пусть K – элементарная ячейка решетки периодов потенциалов A и V, K* – элементарная ячейка обратной решетки. Оператор Ĥ_A+V  унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, действующих в L²(K). Последние операторы рассматриваются также при комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ. При доказательстве абсолютной непрерывности спектра оператора Ĥ_A+V используется метод Томаса и оценки резольвенты операторов Ĥ_A(k+ik’)+V при определенным образом выбираемых комплексных векторах k+ik’∈Cⁿ с достаточно большой мнимой частью k’.

We consider the periodic Schrödinger operator Ĥ_A+V in Rⁿ, n≥3. The vector potential A is supposed to satisfy some conditions which are fullled whenever the potential A belongs to the Sobolev class H^q_loc(Rⁿ;Rⁿ), 2q>n-1, and also in the case where Σ ||A_N||_Cⁿ<+∞. Here A_N are the Fourier coecients of the potentialA. We prove absolute continuity of the spectrum of the periodic Schrödinger operator Ĥ_A+V provided that the scalar potential V belongs to the Morrey space L^2,p(Rⁿ), p∈((n-1)/2,n/2] and ||Χ_Br(x)V||_2,p≤ε₀ for all suciently small r>0 and all x∈Rⁿ, where the number ε₀=ε₀(n,p;A)>0 depends on the vector potential A, B_r(x) is a closed ball of radius r>0 centered at the point x∈Rⁿ, Χ_Κ a characteristic function of a set K⊆Rⁿ, ||.||_2,p the norm in the space L^2,p(Rⁿ). Let K be the fundamental domain of the period lattice (which is common for the potentials A and V), K the fundamental domain of the reciprocal lattice. The operator Ĥ_A+V is unitarily equivalent to the direct integral of operators Ĥ_A(k)+V, k∈2πK*, acting on the space L₂(K). The last operators are also considered for complex vectors k+ik’∈Cⁿ. To prove absolute continuity of the spectrum of the operator Ĥ_A+V, we use the Thomas method. The main ingredients in the proof are the inequalities for the resolvent of the operators Ĥ_A(k+ik’)+V which hold for some appropriate chosen complex vectors k+ik’∈Cⁿ with suciently large imaginary part k’.

Рассматривается семейство максимальных сцепленных систем, элементами которых являются множества произвольной решетки с «нулем» и «единицей», а также его подсемейство, составленное из ультрафильтров данной решетки. Исследуются соотношения между естественными топологиями, используемыми для оснащения множества максимальных сцепленных систем и множества ультрафильтров упомянутой решетки множеств. Показано, что последнее множество в естественном (для пространств ультрафильтров) оснащении является подпространством пространства максимальных сцепленных систем в оснащении двумя сравнимыми топологиями, одна из которых подобна используемой при построении расширения Волмэна, а вторая соответствует на идейном уровне схеме построения пространства Стоуна в случае, когда решетка является алгеброй множеств. Свойства получающейся битопологической структуры детализированы для случаев, когда решетка является алгеброй множеств, топологией, семейством замкнутых множеств топологического пространства.

The family of maximal linked systems all elements of which are sets of an arbitrary lattice with “zero” and “unit” is considered; its subfamily composed of ultrafilters of that lattice is also considered. Relations between natural topologies used to equip the set of maximal linked systems and the set of the lattice ultrafilters are investigated. It is demonstrated that the last set under natural (for ultrafilter spaces) equipment is a subspace of the space of maximal linked systems under equipment with two comparable topologies one of which is similar to the topology used for the Wallman extension and the second corresponds (conceptually) to the scheme of Stone space in the case when the initial lattice is an algebra of sets. Properties of the resulting bitopological structure are detailed for the cases when our lattice is an algebra of sets, a topology, and a family of closed sets in a topological space.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера, для которой конструируется несеквенциальное (вообще говоря) множество притяжения, получаемое посредством сопоставления решению соответствующего элемента притяжения. Сами же решения определяются в виде направленностей, фильтров или ультрафильтров пространства обычных решений (каждый из упомянутых классов достаточен для построения множества притяжения). Основное внимание уделяется вопросам построения множеств притяжения в классе ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств (пространства с семействами, замкнутыми относительно пересечений, измеримые пространства с алгебрами множеств и т.п.). В качестве инструмента исследования используется конструкция, возникающая при рассмотрении ультрафильтров решетки множеств.

The abstract attainability problem with constraints of asymptotic character is considered; for this problem, the nonsequential (generally speaking) attraction set obtained by the comparison to the solution an attraction element is constructed. Self solutions are defined as nets, filters, or ultrafilters of the space of usual solutions (each of the above-mentioned classes is sufficient for constructing of attraction set). Main attention are given to questions of constructing of attraction sets in the class of measurable spaces interpreted very broad (spaces with the families closed with respect to intersections, measurable spaces with algebras of sets and so forth). The construction arising under consideration of ultrafilters of lattices of sets is used as instrument of investigation.