Все выпуски

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

The motion of a near-autonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a linearly stable trivial equilibrium is considered. The values of the problem parameters are supposed to be such that the system implements both a double combinational third-order resonance and a fourth-order resonance. The problem of existence and stability of resonant periodic motions of the system is considered. The study is carried out using as an example the problem of the motion of a dynamically symmetric satellite (a rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field in an elliptical orbit with small eccentricity. The satellite's periodic motions generated from its stationary rotations in a circular orbit (hyperboloidal and conical precessions) for the resonant values of the parameters are considered as unperturbed ones. The normalization of the Hamiltonian functions of perturbed motion is performed, and the equilibrium positions of approximate (model) systems are determined. The corresponding resonant periodic motions of the satellite in the vicinity of these unperturbed motions are obtained by the Poincare method, and their geometric interpretation is given. The unstable periodic motions and the motions that are stable for the majority (in the sense of Lebesgue measure) of the initial conditions and formally stable are revealed.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел. Изучаются движения, близкие к треугольным точкам либрации. Предполагается, что параметры задачи (эксцентриситет орбиты основных притягивающих тел и отношение их масс) лежат внутри области устойчивости в первом приближении точек либрации. Величина эксцентриситета считается малой. С точностью до второй степени эксцентриситета включительно получено аналитическое представление для линейного, периодического по истинной аномалии, канонического преобразования, приводящего функцию Гамильтона линеаризованных уравнений возмущенного движения в окрестности точек либрации к их вещественной нормальной форме. Эта форма соответствует двум, не связанным один с другим, гармоническим осцилляторам, частоты которых зависят от параметров задачи. При построении нормализующего канонического преобразования используется метод Депри-Хори теории возмущений гамильтоновых систем. Его реализация в конкретной рассматриваемой задаче существенно опирается на компьютерные системы аналитических вычислений.

A planar restricted elliptic three-body problem is considered. The motions close to the triangular libration points are studied. The problem parameters (the eccentricity of the orbit of the main attracting bodies and the ratio of their masses) are assumed to lie inside the linear stability region of the libration points. The magnitude of eccentricity is considered small. A linear canonical, periodic in true anomaly transformation is obtained analytically up to the second degree of eccentricity inclusive that reduces the Hamiltonian function of the linearized equations of perturbed motion to real normal form in the vicinity of the libration points. This form corresponds to two harmonic oscillators not connected to one another, with frequencies depending on the problem parameters. In constructing the normalizing canonical transformation, the Depri-Hori method of the perturbation theory of Hamiltonian systems is used. Its implementation in the problem under study relies heavily on computer systems of analytical calculations.

Рассмотрена задача о приливном влиянии на сферическую центральную планету от возмущающего тела (спутника), движущегося по эллиптической орбите. Произведено усреднение приливного потенциала по периоду движения спутника и доказано, что независимо от величины эксцентриситета орбиты сила от возмущающего тела оказывается в среднем чисто радиальная, как если бы орбита спутника была просто круговая.

The problem of the tidal effects on the central spherical planet from the disturbing body (satellite), moving in an elliptical orbit is studied. We performed the averaging of the tidal potential over the period of the satellite and proved that regardless of the value of the orbit eccentricity the perturbation force of the body was, upon the average, purely radial, as if the orbit of the satellite had been just circular.

Рассматриваются движения неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуется кратный (двойной или тройной) резонанс четвертого порядка. Дан перечень всех возможных наборов характеристических показателей, соответствующих указанным резонансным случаям. Получены пять качественно различных приближенных (модельных) гамильтонианов, отвечающих данным наборам. Для всех рассматриваемых случаев кратных резонансов получены достаточные условия формальной устойчивости тривиального равновесия полной системы, записанные в виде ограничений на коэффициенты форм четвертой степени в нормализованных гамильтонианах возмущенного движения, дана графическая интерпретация этих условий. Показано, что полученные области формальной устойчивости содержатся внутри областей устойчивости каждого имеющегося сильного резонанса, рассматриваемого по отдельности, а резонансные коэффициенты, отвечающие слабым резонансам, должны принимать значения из ограниченного диапазона. Рассмотрены некоторые вопросы о неустойчивости тривиального равновесия системы в случаях кратных резонансов четвертого порядка. Найденные условия формальной устойчивости проверены в точках кратных резонансов четвертого порядка в задаче об устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника-пластинки в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета.

We consider the motion of a nonautonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the vicinity of a trivial equilibrium being stable in the linear approximation. Fourth-order multiple (double or triple) resonance is assumed to be realized in the system. A list of all possible characteristic exponent sets corresponding to these resonant cases is given. Five qualitatively different approximate (model) Hamiltonian functions corresponding to these sets are obtained. For all cases of multiple resonances under study, sufficient conditions for the formal stability of the trivial equilibrium of the complete system are obtained, written as constraints on the coefficients of forms of the fourth degree in the normalized Hamiltonian functions of perturbed motion. A graphical interpretation of these conditions is given. The regions of formal stability are shown to be contained within the stability regions of each existing strong resonance considered separately, and the resonance coefficients corresponding to the weak resonances should take values from a limited range. Some questions of instability of the trivial equilibrium of the system in cases of multiple fourth-order resonances are considered. The found conditions of formal stability are examined at the points of multiple fourth-order resonances in the stability problem of cylindrical precession of a dynamically symmetric satellite-plate in the central Newtonian gravitational field on an elliptical orbit of arbitrary eccentricity.

Численно исследовано плоское движение материальной точки в поле точечной массы (звезды) и Галактики. Для потенциала Галактики принималось приливное приближение. Уравнения движения интегрировались на интервале времени до 60/√A(A-B) (A, B - коэффициенты Оорта). Частица считалась улетающей, если она удалялась от звезды на расстояние, превышающее 2 расстояния от точки либрации. У остающихся частиц оскулирующие эксцентриситеты или уменьшались, или оставались в среднем (по времени) неизменными. Показана зависимость доли орбит разного типа от начальных условий.

Planar motion of point mass in the field of a point mass (a star) and the Galaxy was studied numerically. The tidal (quadratic) approximation for the galactic potential was accepted. The equations of motion were integrated for the time interval equal to 60/√A(A-B) (A, B are Oort's coefficients). A particle was considered as escaping if its distance from the star exceeded two distances of the libration points. It was found that osculating eccentricities of remaining particles could be decreasing  systematically or almost constant. Table 1 shows dependence of orbit types on initial conditions.