Все выпуски

Рассматривается дифференциальная игра группы преследователей и одного убегающего при равных динамических возможностях всех участников. Получены необходимые и достаточные условия поимки в случае, когда убегающий стеснен фазовыми ограничениями.

A differential game of the group of persecutors and one escapee is considered at equal dynamic opportunities of all participants. Necessary and sufficient conditions for capture are received in the case where the escapee is constrained by phase restrictions.

Рассматривается задача простого преследования группой преследователей двух убегающих при равных динамических возможностях всех участников и с фазовыми ограничениями на состояния убегающих в предположении, что убегающие используют одно и то же управление. Получены достаточные условия поимки.

A differential game of the group of persecutors and two evaders is considered at equal dynamic opportunities of all participants and under equal phase restrictions imposed on the states of evaders. Sufficient solvability conditions are derived proceeding on the assumption that the evaders use the same control.

Обсуждаются вопросы построения допустимых управлений в одной задаче оптимального управления нелинейной динамической системой при наличии ограничений на ее текущее фазовое состояние. Рассматриваемая динамическая система описывает управляемое движение ракеты-носителя от точки старта до момента ее выхода на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Задача заключается в построении программного управления, которое обеспечивает выведение ракетой-носителем на орбиту полезной нагрузки максимальной массы и выполнение дополнительных ограничений на текущее фазовое состояние системы. Дополнительные ограничения обусловлены необходимостью учитывать величины скоростного напора, углов атаки и скольжения при движении ракеты в плотных слоях атмосферы и осуществлять падение ее отделяемых частей в заданные районы на земной поверхности. Для ракет-носителей ряда классов такая задача равносильна нелинейной задаче быстродействия с фазовыми ограничениями. Предлагаются и численно исследуются два алгоритма построения в этой задаче допустимых управлений, обеспечивающих выполнение указанных дополнительных фазовых ограничений. Методологическую основу одного алгоритма составляет применение некоторого прогнозирующего управления, которое априори строится в задаче быстродействия без учета в ней дополнительных ограничений, а другого - использование специальных режимов управления. Приводятся результаты численного моделирования.

The questions of constructing admissible controls in a problem of optimal control of a nonlinear dynamic system under constraints on its current phase state are discussed. The dynamic system under consideration describes the controlled motion of a carrier rocket from the launching point to the time when the carrier rocket enters a given elliptic earth orbit. The problem consists in designing a program control for the carrier rocket that provides the maximal value of the payload mass led to the given orbit and the fulfillment of a number of additional restrictions on the current phase state of the dynamic system. The additional restrictions are due to the need to take into account the values of the dynamic velocity pressure, the attack and slip angles when the carrier rocket moves in dense layers of the atmosphere. In addition it is required to provide the fall of detachable parts of the rocket into specified regions on the earth surface. For carrier rockets of some classes, such a problem is equivalent to a nonlinear time-optimal problem with phase constraints. Two algorithms for constructing admissible controls ensuring the fulfillment of additional phase constraints are suggested. The numerical analysis of these algorithms is performed. The methodological basis of one algorithm is the application of some predictive control, which is constructed without taking into account the constraints above. Another algorithm is based on special control modes. The results of numerical modeling are presented.

Рассматривается линейная задача преследования группой преследователей двух убегающих при равных динамических возможностях всех участников и с фазовыми ограничениями на состояния убегающих в предположении, что убегающие используют одно и то же управление. Движение каждого участника имеет вид $\dot z+a(t)z=w.$ Геометрические ограничения на управления - строго выпуклый компакт с гладкой границей, терминальные множества - начало координат. Предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого конуса. Целью преследователей является поимка двух убегающих, цель группы убегающих противоположна. Говорят, что в задаче преследования происходит поимка, если существуют два преследователя, из заданной группы преследователей, которые ловят убегающих, при этом моменты поимки могут не совпадать. В терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки двух убегающих. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

We consider a linear problem of pursuing two evaders by a group of persecutors in case of equal dynamic opportunities of all participants and under phase restrictions imposed on the states of evaders. We assume that the evaders use the same control. The movement of each participant has the form $ \dot z + a (t) z = w. $ Geometric constraints on the control are strictly convex compact set with smooth boundary, and terminal sets are the origin of coordinates. It is assumed that the evaders do not leave the convex cone. The aim of a group of pursuers is to capture two evaders; the aim of a group of evaders is opposite. We say that a capture holds in the problem of pursuing two evaders if among the specified number of pursuers there are two of them who catch the evaders, possibly at different times. We obtain sufficient conditions for capturing two evaders in terms of initial positions. The results obtained are illustrated by examples.

Рассматриваются некоторые задачи теории оптимального фуражирования, а именно, задачи выбора популяцией хищника участка, пригодного для питания, и нахождения условий ухода из него. Динамика взаимодействия хищника и жертвы задается системой Лотки-Вольтерры, в которой учтена внутривидовая конкуренция особей жертвы и возможность миграции особей хищника и жертвы. В процессах взаимодействия и миграции участвуют некоторые доли популяций. Решается задача нахождения оптимальных с точки зрения равновесия по Нэшу долей. При этом получено разбиение фазового пространства системы на области с различным поведением популяций. Исследуются оптимальные траектории соответствующей динамической системы с переменной структурой, их поведение на границах разбиения фазового пространства. Найдены положения равновесия и доказана их глобальная устойчивость при определенных ограничениях на параметры системы. В одном из случаев взаимоотношения между параметрами исследование качественного поведения оптимальных траекторий приводит к задаче о существовании предельных циклов. При этом дана оценка соответствующей области притяжения равновесия.

Some problems of the theory of optimal foraging are considered, namely, the problem of predator's choice of the most suitable patch and finding conditions for leaving it. The dynamics of the interaction between the predator and the prey is determined by the Lotka-Volterra system, which takes into account the intraspecific competition of the prey and the possibility of migration of the predator and the prey. Some fractions of populations participate, in the processes of interaction and migration. The problem of finding optimal shares from the point of view of Nash equilibrium is solved. In this case, a partition of the phase space of the system into domains with different behavior of the populations was obtained. We study the optimal trajectories of the corresponding dynamical system with a variable structure, their behavior on the boundaries of the phase space partition. The equilibrium positions are found and their global stability is proved under certain restrictions on the system parameters. In one of the cases of the relationship between the parameters, the study of the qualitative behavior of the optimal trajectories gives rise to the problem of the existence of limit cycles. In this case, an estimate of the corresponding domain of attraction of equilibrium is given.

Рассматривается задача простого преследования в классе импульсных стратегий группой преследователей. В первой части рассматривается импульсная стратегия убегающего с фазовыми ограничениями. Предполагается, что убегающий не покидает выпуклого многогранного множества. В работе получены достаточные условия поимки одним из преследователей убегающего. Во второй части рассматриваются импульсные стратегии преследователей. Сформулированы достаточные условия поимки одним из преследователей убегающего, не покидающего выпуклого многогранного множества.

The present paper deals with a simple group pursuit problem in a class of impulse strategies. The first part considers the impulse strategy of an evader with phase restrictions on the evader’s state. It is assumed that the evader does not leave a convex polyhedral set. We obtain sufficient conditions for the capture of the evader by one of the pursuers. The second part deals with the impulse strategies of pursuers. Sufficient conditions for the capture of an evader by one of the pursuers under the assumption that the evader does not leave a convex polyhedral set, are stated.

Рассматривается задача простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью убегающего, так и участники, у которых максимальные скорости строго меньше максимальной скорости убегающего, и при этом убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены условия, при которых преследователи с меньшими возможностями не влияют на разрешимость задачи уклонения.

The problem of simple pursuit of one evader by the group of pursuers is studied, provided that among the pursuers there are both members, the maximum speeds of which coincide with the maximum speed of the evader, and participants whose maximum speeds are strictly less than the maximum speed of the evader, while the evader does not leave a convex polyhedral set. The conditions under which the pursuers with fewer capabilities do not affect the solvability of problem of evasion are obtained.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего, описываемая системой вида $$D^{(\alpha)}z_i = a z_i + u_i - v,$$ где $D^{(\alpha)}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha \in (0, 1)$ функции $f$. Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью. Убегающий использует кусочно-программные стратегии, преследователи - кусочно-программные контрстратегии. Множество допустимых управлений - выпуклый компакт, целевые множества - начало координат, $a$ - вещественное число. В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия разрешимости задачи преследования.

In the finite-dimensional Euclidean space, we consider the problem of persecution of one evader by the group of pursuers, which is described by the system $$D^{(\alpha)}z_i = a z_i + u_i - v,$$ where $D^{(\alpha)}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha \in (0, 1)$ of the function $f$. It is further assumed that the evader does not leave the convex polyhedron with nonempty interior. The evader uses piecewise-program strategies, and the pursuers use piecewise-program counterstrategies. The set of admissible controls is a convex compact, the target sets are the origin of coordinates, and $a$ is a real number. In terms of the initial positions and the parameters of the game, sufficient conditions for the solvability of the pursuit problem are obtained.

В работе исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации - рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.

The paper deals with a transition to chaos in the phase-plane portrait of a restricted problem of rotation of a rigid body with a fixed point. Two interrelated mechanisms responsible for chaotisation have been indicated: 1) growth of the homoclinic structure and  2) development of cascades of period doubling bifurcations.  On the zero level of the integral of areas, an adiabatic behavior of the system (as the energy tends to zero) has been noticed. Meander tori induced by the breakdown of the torsion property of the mapping have been found.

В конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb R^k$ рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего с равными возможностями всех участников, описываемая в заданной временной шкале $T$ системой вида $$z_i^{\Delta} = u_i - v,$$ где $f^{\Delta}$ - $\Delta$-производная функции $f$ во временной шкале $T$. Множество допустимых управлений - шар радиусом единица с центром в начале координат. Терминальные множества - начало координат. Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью. Получены достаточные условия разрешимости задач преследования и уклонения. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций.

In the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb R^k,$ the problem of pursuit of one evader by a group of pursuers with equal opportunities for all participants is considered, which is described in a given time scale $T$ by a system of the form $$z_i^{\Delta} = u_i - v,$$ where $f^{\Delta}$ is the $\Delta$-derivative of the function $f$ in the time scale $T$. The set of admissible controls is a ball of unit radius with the center at the origin. Terminal sets are the coordinate origin. Additionally, it is assumed that the evader does not leave the convex polyhedral set with a nonempty interior during the game. Sufficient conditions for the solvability of the pursuit and evasion problems are obtained. In the research, the method of resolving functions is used as the basic one.