Все выпуски

В статье рассматривается экстремальная задача маршрутизации с ограничениями. В общей формулировке предполагается, что объектами посещения являются любые непустые конечные множества — мегаполисы. Основной прикладной задачей, рассматриваемой в данном исследовании, является задача оптимизации траектории движения инструмента для станков листовой резки с ЧПУ, известная как проблема пути резания. Эта проблема возникает на этапе разработки управляющих программ для станков с ЧПУ. Возможны и другие приложения. В частности, результаты исследования могут быть использованы в задаче минимизация дозы облучения при демонтаже системы радиационно-опасных элементов после аварий на АЭС и в транспортных проблемах. В качестве ограничений исследуются ограничения предшествования. Они могут быть использованы для уменьшения вычислительной сложности. В качестве основного метода исследования использовалось широко понимаемое динамическое программирование. Предлагаемая реализация метода учитывает ограничения предшествования и зависимость целевых функций от списка задач. Последняя относится к классу очень сложных состояний, которые определяют допустимость маршрута на каждом шаге маршрутизации, в зависимости от уже выполненных или, наоборот, еще не завершенных задач. Применительно к задаче резки зависимость целевой функции от списка задач позволяет уменьшать термические деформации материала при резке. В работе математическая формализация экстремальной задачи маршрутизации с дополнительными ограничениями, описание метода и полученный с его помощью точный алгоритм. Оптимизации подлежат порядок выполнения задач, конкретная траектория процесса, и его начальная точка.

The paper deals with an extremal routing problem with constraints. In the general formulation, it is assumed that the objects of visiting are any non-empty finite sets — megalopolises. The main applied problem considered in this study is the tool path optimization problem for CNC sheet-cutting machines, known as the Cutting Path Problem. This problem arises at the stage of developing control programs for CNC machines. Other applications are also possible. In particular, the results obtained in the chapter can be used in the problem of minimizing the radiation dose when dismantling a system of radiation-hazardous elements after accidents at nuclear power plants and in transport problems. Among tasks constraints, the precedence constraints are investigated. These constraints can be used to reduce computational complexity. As the main method, the study used broadly understood dynamic programming. The offered realization of the method takes into account the precedence constraints and the dependence of the objective functions on the task list. This dependence belongs to the class of very complex conditions that determine the route admissibility at each routing step, depending on the tasks already completed or, on the contrary, not yet completed. As applied to the Cutting Path Problem, the dependence of the objective function on the task list makes it possible to reduce thermal deformations of the material during cutting. The chapter provides a mathematical formalization of an extremal routing problem with additional constraints, a description of the method, and the exact algorithm obtained with its help. The order of task execution, the specific trajectory of the process, and the starting point are optimized.

Получены достаточные условия, обеспечивающие сохранение оптимальности маршрута обхода множества вершин при вставке новой вершины между двумя последовательными (в смысле существующего оптимального маршрута) вершинами, а также при удалении вершины с последующим соединением предшествующей и последующей вершин существующего оптимального пути. Проведен ряд экспериментов, демонстрирующих области устойчивости для задачи коммивояжера на плоскости.

The sufficient conditions for the stability of optimal travelling salesman route in case of the insertion of a new vertex between two consequent vertices and in case of the substraction of one vertex are deduced. Number of experiments, demonstrating stability areas and vertices are suggested for the Euclideanplane.

Рассматривается процедура встраивания оптимизируемых фрагментов маршрутных решений в глобальные решения «большой» задачи, определяемые эвристическими алгоритмами. Постановка задачи маршрутизации учитывает некоторые особенности инженерной задачи о последовательной резке деталей, имеющих каждая один внешний и, возможно, несколько внутренних контуров. Последние должны подвергаться резке раньше внешнего, что приводит к большому числу условий предшествования. Данные условия активно используются в интересах снижения сложности вычислений. Тем не менее размерность задачи остается достаточно большой, что, в частности, не позволяет применять «глобальное» динамическое программирование и вынуждает к использованию эвристических алгоритмов (исследуемая задача относится к числу труднорешаемых в традиционном понимании). Поэтому представляет интерес разработка методов коррекции решений, получаемых на основе упомянутых алгоритмов. В настоящей работе такая коррекция реализуется посредством замены фрагментов (упомянутых решений), имеющих умеренную размерность, оптимальными «блоками», конструируемыми на основе динамического программирования с локальными условиями предшествования, которые согласуются с ограничениями исходной «большой» задачи. Предлагаемая замена не ухудшает, а, в типичных случаях, улучшает качество исходного «эвристического» решения, что подтверждается вычислительным экспериментом на многоядерной ПЭВМ.

Предложенный алгоритм реализован в итерационном режиме: полученное после первой вставки на основе динамического программирования решение в виде пары «маршрут-трасса» принимается за исходное, для которого вновь конструируется вставка. При этом начало этой новой вставки выбирается случайно в пределах, определяемых возможностями формирования скользящего «окна» ощутимой, но все же достаточной для применения экономичной версии динамического программирования размерности. Далее процедура повторяется. Работа итерационного алгоритма иллюстрируется решением модельных задач, включая варианты с достаточно плотной «упаковкой» заготовок деталей на листе, что типично для машиностроительного производства.

The article is concerned with the procedure of insertion of optimizable fragments of route solutions into the global solutions of the «big» problem defined by heuristic algorithms. Setting of the route problem takes into account some singularities of the engineering problem about the sequential cutting of details each having one exterior and probably several interior contours. The latter ones must be subjected to cutting previously in comparison with the exterior contour, which leads to a great number of given preceding conditions. These conditions are actively used to decrease the computational complexity. Nevertheless, the problem dimensionality remains sufficiently large that does not permit to use “global’’ dynamic programming and forces heuristic algorithms to be used (the problem under investigation is a hard-solvable problem in the traditional sense). Therefore, it is interesting to develop the methods for correction of solutions based on the above-mentioned algorithms. In the present investigation, such correction is realized by the replacement of fragments (of the above-mentioned solutions) having a moderate dimensionality by optimal “blocks’’ constructed by dynamic programming with local preceding conditions which are compatible with the constraints of the initial “big’’ problem. The proposed replacement does not deteriorate, but, in typical cases, improves the quality of the initial heuristic solution. This is verified by the computing experiment on multi-core computer.

The proposed algorithm is realized in the iterated regime: the solution (in the form of “route-trace’’) obtained after the first insertion on the basis of dynamic programming is taken as an initial solution for which the insertion is constructed again. In addition, the beginning of the new insertion is chosen randomly in the bounds defined by the possibilities of formation of a sliding “window’’ of the appreciable dimensionality which is in fact sufficient for the employment of the economical version of dynamic programming. Further, the procedure is repeated. The operation of the iterated algorithm is illustrated by solution of model problems including the versions with sufficiently dense “packing’’ of parts on a sheet, which is typical for the engineering production.

Рассматривается одна «неаддитивная» задача маршрутизации перемещений, являющаяся обобщением известной задачи «на узкие места». Предполагается заданным параметр в виде положительного числа, степень которого определяет вес соответствующего этапа системы перемещений. Варьированием параметра можно сделать доминирующими начальные или, напротив, финальные этапы перемещения. Вариант агрегирования стоимостей с упомянутыми весами соответствует идейно постановке задачи «на узкие места», но открывает возможности исследования новых постановок задач маршрутизации с ограничениями. Предполагается, однако, что постановка осложнена зависимостью стоимостей от списка заданий и включает ограничения в виде условий предшествования. Кроме того, в интересах оптимизации допускается произвольный выбор начального состояния из заданного априори множества. Для построения решения используется аппарат широко понимаемого динамического программирования. Исследуется возможность реализации глобального экстремума с любой степенью точности в условиях, когда множество возможных начальных состояний не является конечным.

We consider one non-additive routing problem, which is a generalization of the well-known “bottleneck problem”. The parameter is assumed to be a positive number, the degree of which determines the weight of the corresponding stage of the displacement system. By varying the parameter, it is possible to make the initial or, on the contrary, the final stages of displacement dominant. The variant of aggregation of values with the above-mentioned weights corresponds to the ideological formulation of the “bottleneck problem”, but opens the possibility of investigating new versions of routing problems with constraints. It is assumed, however, that the statement of the problem is complicated by the dependence of values on the list of tasks and includes restrictions in the form of precedence conditions. In addition, in the interest of optimization, an arbitrary choice of the initial state from a given a priori set is allowed. For the construction, the apparatus of widely understood dynamic programming is used. The possibility of realizing a global extremum with any degree of accuracy under conditions when the set of possible initial states is not finite is investigated.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) с условиями предшествования и функциями стоимости, зависящими от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные задачи, возникающие в атомной энергетике и связанные со снижением облучаемости работников, а также в машиностроении (маршрутизация движения инструмента при листовой резке на машинах с ЧПУ). Предполагается, что исследуемая задача дискретной оптимизации имеет ощутимую размерность, что вынуждает к использованию эвристик. Обсуждается процедура локального улучшения качества последних посредством применения оптимизирующих мультивставок, определяемых всякий раз в виде конечного дизъюнктного набора вставок. Предполагается, что в каждой вставке используется процедура оптимизации на основе широко понимаемого динамического программирования. Показано, что в «аддитивной» маршрутной задаче вышеупомянутого типа (с ограничениями и усложненными функциями стоимости) улучшения достигаемого результата также агрегируются аддитивно. Предлагаемая конструкция допускает реализацию в виде параллельной процедуры с использованием МВС; при этом отдельные вставки выделяются вычислительным узлам и формируются независимо.

We consider a problem of sequential traversal of megalopolises (nonempty finite sets) with travel cost functions depending on the set of pending tasks and precedence constraints. Its formulation is aimed at engineering problems in fission power generation connected with minimizing the exposure of staff to radiation and in machine engineering (routing of a CNC sheet cutting machine's tool). This discrete optimization problem is assumed to be sufficiently large-scale to necessitate the use of heuristics. We consider a procedure of local improvement for heuristics through a successive application of optimizing multi-inserts-finite disjoint sets of inserts. Each insert is assumed to be optimized by means of a broadly understood dynamic programming procedure. We show that in an “additive” routing problem of this kind (with precedence constraints and complex travel cost functions) the result's improvements are also aggregated additively. The proposed construction admits a parallel implementation for multiprocessor systems; in this case, the inserts are distributed to computational nodes and formed in an independent way.

В настоящее время в рамках управления воздушным движением крайне важной является задача формирования оптимального безопасного расписания прибытия самолетов в точку слияния воздушных трасс. Безопасность результирующей очереди обеспечивается наличием безопасного временнóго интервала между соседними прибытиями в точку слияния. Изменение момента прибытия может обеспечиваться изменением скорости движения самолета и/или использованием схем, удлиняющих или укорачивающих его траекторию. Оптимальность результирующей очереди рассматривается с точки зрения дополнительных требований: минимизации отклонения назначенных моментов прибытия от номинальных, минимизации количества изменений порядка самолетов в очереди, минимизации расхода топлива и т.д. Минимизируемый критерий оптимальности, отражающий эти требования, часто выбирается как сумма индивидуальных штрафов каждому судну за отклонение назначенного момента прибытия от номинального. Функция индивидуального штрафа почти во всех статьях рассматривается либо как модуль отклонения, либо как функция, похожая на модуль, но с различными наклонами ветвей, что приводит к разному штрафу за задержку и ускорение. В целом, задача может быть разделена на две: одна связана с поиском оптимального порядка прибытия судов, вторая — с выбором оптимальных моментов прибытия при заданном порядке. Последняя подзадача достаточно просто решается, поскольку чаще всего может быть формализована как задача линейного программирования. Однако первая решается значительно сложнее, для ее решения применяются разнообразные методы — от эвристических и генетических процедур до подходов смешанного целочисленного линейного программирования. В статье предлагаются условия на параметры задачи, достаточные для того, чтобы порядок оптимальных моментов прибытия самолетов в точку слияния совпадал с порядком номинальных моментов. Это позволяет исключить первую подзадачу из решения всей задачи.

Nowadays, the problem of creating an optimal safe schedule for arrival of aircraft coming in several flows to a checkpoint, where these flows join into one, is very important for air-traffic management. Safety of the resultant queue is present if there is a safe interval between neighbor arrivals to the merge point. Change of an arrival instant of an aircraft is provided by changing its velocity and/or usage of fragments of the air-routes scheme, which elongate or shorten the aircraft path. Optimality of the resultant queue is considered from the point of some additional demands: minimization of the deviation of the actual aircraft arrival instant from the nominal one, minimization of order changes in the resultant queue in comparison with the original one, minimization of fuel expenditures, etc. The optimality criterion to be minimized, which reflects these demands, is often taken as a sum of penalties for deviations of the assigned arrival instants from the nominal ones. Each individual penalty is considered in almost all papers as either the absolute value of the difference between the assigned and nominal arrival instants or a similar function with asymmetric branches (which punishes delays and accelerations of an aircraft in different ways). The problem can be divided into two subproblems: one is a search for an optimal order of aircraft in the resultant queue, and the other is a search for optimal arrival instants for a given order. The second problem is quite simple since it can be formalized in the framework of linear programming and solved quite efficiently. However, the first one is very difficult and now is solved by various methods. The paper suggests sufficient conditions for the problem, which guarantee that the order of the optimal assigned instants is the same as the order of the nominal ones and, therefore, exclude the first subproblem.

Рассматривается минимаксная задача маршрутизации с элементами декомпозиции. В простейшем случае предполагается, что все множество заданий разбито в сумму двух подмножеств (кластеров), причем выполнение заданий из второго подмножества может быть начато только после завершения всех заданий из первого. Для упомянутой двухкластерной задачи построен алгоритм для нахождения оптимального композиционного решения, включающего маршрут (перестановку индексов заданий) и точку старта, базирующийся на использовании широко понимаемого динамического программирования. На основе данного подхода построен также алгоритм для решения задачи маршрутизации в случае произвольного упорядоченного конечного набора кластеров; алгоритм реализован на ПЭВМ, проведен вычислительный эксперимент. Возможные применения могут быть связаны с некоторыми логистическими задачами в малой авиации, когда требуется обеспечить посещение многих пунктов одним транспортным средством (самолет, вертолет) с ограниченной дальностью беспосадочного полета.

A minimax routing problem with decomposition elements is considered. In the simplest case, it is supposed that the whole set of tasks is divided into a sum of two subsets (clusters), and execution of tasks from the second subset can be started only after the completion of all tasks from the first subset. For above-mentioned two-cluster problem, an algorithm has been constructed for finding the optimal compositional solution, including a route (permutation of task indices) and a starting point, which is based on the use of a broadly understood dynamic programming. Based on this approach, an algorithm was also constructed to solve the routing problem in the case of an arbitrary ordered finite set of clusters. The algorithm was implemented on a PC, and a computational experiment was carried out. Possible applications may be associated with some logistics tasks in small aviation, when it is necessary to ensure visits to many points by one vehicle (airplane, helicopter) with a limited non-stop flight range.

Получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие сохранение оптимальности маршрута обхода множества вершин при вставке новой вершины между двумя последовательными (в смысле существующего оптимального маршрута) вершинами. Предложен алгоритм построения областей устойчивости, проведен ряд экспериментов для задачи коммивояжера на евклидовой плоскости.

The criterion for the stability of optimal travelling salesman route in case of the insertion of a new vertex between two consequent vertexes is deduced. Number of experiments demonstrating stability areas are suggested for the Euclidean plane.

В статье рассматривается общий случай маршрутной задачи дискретной оптимизации, осложненной условиями предшествования; изучается влияние условий предшествования на вычислительную сложность решений таких задач методом динамического программирования. Особенность применяемого метода динамического программирования заключается в его «экономичности»: подзадачи, не соблюдающие условия предшествования и, следовательно, не участвующие в оптимальном решении, не рассматриваются, что позволяет сберечь и вычислительную мощность, и память.

Этот метод c 2004 года используется А.Г. Ченцовым и его соавторами, но степень экономии ресурсов исследовалось мало. Мы предлагаем подход к решению этой проблемы, основанный на комбинаторном анализе числа подзадач, существенных в смысле условий предшествования. Применяя известные комбинаторные правила сложения и произведения, мы получили результат для важных частных случаев условий предшествования: а) «независимые» наборы условий предшествования; б) «цепь» условий предшествования - когда условия задают линейный порядок; в) случай, когда в графе предшествования нет неориентированных циклов, и исходящая степень любой вершины не превышает единицы. Последний случай представляет собой условия предшествования, встречающихся в практической задаче маршрутизации движений инструмента в машинах листовой резки и соответствует требованию вырезать внутренний контур прежде внешнего.

В связи с более сложной структурой случая в) по сравнению с остальными для него вместо аналитической формулы представлен алгоритм; алгоритм реализован на языке C++, зависимость его вычислительной сложности от числа связанных условиями предшествования объектов имеет не более чем квадратичный порядок. В дальнейшем мы предполагаем расширить область применения нашего подхода до более общих вариантов условий предшествования. Отметим также, что наш подход не зависит от критерия оптимальности, соответственно, может применяться для анализа сложности решения методом динамического программирования в произвольных маршрутных задачах с условиями предшествования.

We consider the general case of Precedence Constrained TSP (or a less general case of Sequential Ordering Problem) solved with a special kind of dynamic programming method that uses precedence constraints to significantly reduce the number of subproblems that must be solved to find the optimal solution of the original problem. Our aim is to quantify this reduction, which is necessary to clarify the influence of precedence constraints on computational complexity of dynamic programming solutions of such problems. This variety of the method of dynamic programming has been developed by A.G. Chentsov and his co-authors since 2004 but there was only one attempt at examining the influence of precedence constraints on complexity, which only described the influence of a single precedence constraint in the form of an “address pair” (sender, receiver).

Our approach to studying the complexity of this method is essentially the combinatorial analysis of the number of subproblems that are feasible in the sense of abiding by precedence constraints. Using the well-known combinatorial principles, the rule of product and the rule of sum, we established the estimates of complexity reduction for the following cases: a) “independent” sets of precedence constraints; b) “chains” of precedence constraints, when the precedence constraints define a linear ordering on the objects bound by them; c) precedence constraints expressed by an acyclic directed graph with outdegree (the number of receivers per sender) at most one. The latter case of precedence constraints is the one encountered in real-life problems of optimizing the route of the cutter in various machines used to cut sheet material. Since this is the most complex case of the three analyzed, instead of an analytic formula, we had to develop an algorithm (which we implemented in C++) to quantify the reduction; the computational complexity of the algorithm is less than quadratic with respect to the number of objects constrained by the precedence constraints. We intend to develop our approach to treat other cases of precedence constraints, eventually reaching the general case. We would also like to note that our method is optimization criterion-agnostic and thus applicable to many kinds of TSP, as long as they are precedence constrained and solvable by dynamic programming; in fact, our approach may be used to analyze the complexity of the dynamic programming method solution of any discrete optimization problem that deals with ordering subject to precedence constraints.

Рассматривается «аддитивная» задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств), при посещении которых выполняются некоторые работы; перемещения и выполняемые работы оцениваются функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Имеются ограничения различных типов, среди которых выделяются условия предшествования, используемые «в положительном направлении» (в интересах снижения сложности вычислений). Кроме того, в постановке присутствуют динамические ограничения, формирующиеся по мере выполнения заданий. Исследуемая постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ. Исследуется подход к построению оптимальных решений на основе нестандартной версии динамического программирования (ДП). В рамках данного подхода учитываются ограничения различных типов, включая динамические ограничения, естественно возникающие при листовой резке деталей (в частности учитываются тепловые допуски, связанные с надежным отводом тепла из окрестностей точек врезки). При этом допускается комбинация «прямых» запретов на перемещения и выполнение врезки, а также системы штрафов. В последнем случае типично возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемый вариант ДП позволяет оптимизировать точку старта, маршрут, отождествляемый с перестановкой индексов, и трассу (траекторию), согласованную с данным маршрутом. На этапе построения функции Беллмана используется экономичный вариант ДП, при котором весь массив значений этой функции не насчитывается, а определяется только система ее слоев (при условиях предшествования, типичных для задачи, связанной с листовой резкой, это приводит к существенному снижению вычислительных затрат). На основе ДП построен оптимальный алгоритм, реализованный на ПЭВМ; приведены результаты вычислительного эксперимента.

The “additive” problem of sequentially visiting megalopolises (nonempty finite sets) is considered; some tasks are executed as the megalopolises are visited. Permutations and operations are evaluated by cost functions that admit a dependence on the list of tasks. There are restrictions of different types, which include precedence conditions used in the “positive direction” (to reduce the complexity of calculations). In addition, this conception involves dynamical restrictions that are formed in the process of task execution. This conception is oriented to engineering applications associated with sheet cutting on CNC machines. An approach to constructing optimal solutions based on a nonstandard version of dynamic programming (DP) is investigated. This approach takes into account restrictions of different types, including dynamic constraints which naturally arise in sheet cutting applications (in particular, it takes into account heat tolerances related to diffusion of heat in the vicinities of tie-in points). In this regard, a combination of “direct” interdictions of movements and cutting and a system of penalties is allowed; in the latter case, cost functions with a dependence on the list of tasks arise. The variant of DP that is used allows one to optimize the selection of a starting point, the route, which is identified with a permutation of the indexes, and the trajectory corresponding to the above-mentioned route. An economical variant of DP is used at the stage of construction of the Bellman function. This conception allows avoiding calculation of the whole array of values of this function; instead, only the system of its layers is defined (in the case of using the precedence conditions, which are typical of the problem of sheet cutting, this conception results in a considerable reduction of calculation costs). An optimal DP-based algorithm is constructed and realized on PC, and the results of the computational experiment are presented.