Все выпуски

Рассматривается игровая задача на максимин функции платы, определенной на произведении множеств притяжения терминальных состояний систем первого и второго игрока. Данные множества притяжения найдены с помощью конструкций расширения в классе конечно-аддитивных мер.

We consider a game problem of maximin of cost function defined on the product of attraction sets of players’ dynamic systems terminal positions. These sets are constructed using the extension in the class of finitely additive measures.

Рассматривается линейная задача преследования группой преследователей двух убегающих при равных динамических возможностях всех участников и с фазовыми ограничениями на состояния убегающих в предположении, что убегающие используют одно и то же управление. Движение каждого участника имеет вид $\dot z+a(t)z=w.$ Геометрические ограничения на управления - строго выпуклый компакт с гладкой границей, терминальные множества - начало координат. Предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого конуса. Целью преследователей является поимка двух убегающих, цель группы убегающих противоположна. Говорят, что в задаче преследования происходит поимка, если существуют два преследователя, из заданной группы преследователей, которые ловят убегающих, при этом моменты поимки могут не совпадать. В терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки двух убегающих. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

We consider a linear problem of pursuing two evaders by a group of persecutors in case of equal dynamic opportunities of all participants and under phase restrictions imposed on the states of evaders. We assume that the evaders use the same control. The movement of each participant has the form $ \dot z + a (t) z = w. $ Geometric constraints on the control are strictly convex compact set with smooth boundary, and terminal sets are the origin of coordinates. It is assumed that the evaders do not leave the convex cone. The aim of a group of pursuers is to capture two evaders; the aim of a group of evaders is opposite. We say that a capture holds in the problem of pursuing two evaders if among the specified number of pursuers there are two of them who catch the evaders, possibly at different times. We obtain sufficient conditions for capturing two evaders in terms of initial positions. The results obtained are illustrated by examples.

В конечномерном нормированном пространстве рассматривается дискретная игровая задача фиксированной продолжительности. Терминальное множество определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. В данной работе построены оптимальные управления игроков. Проведено компьютерное моделирование игрового процесса. Рассмотрена модификация исходной задачи, в которой у первого игрока в неизвестный момент времени происходит изменение в динамике.

In a normed space of finite dimension a discrete game problem with fixed duration is considered. The terminal set is determined by the condition that the norm of the phase vector belongs to a segment with positive ends. In this paper, a set defined by this condition is called a ring. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is the opposite. In this paper, optimal controls of the players are constructed. Computer simulation of the game process is performed. A modification of the original problem, in which at an unknown time there is a change in the dynamics of the first player, is considered.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Работа посвящена развитию полиэдральных методов решения двух задач управления линейными многошаговыми системами с неопределенностями при фазовых ограничениях — задач терминального сближения и уклонения. Они возникают в системах с двумя управлениями, где цель одного — привести траекторию на заданное конечное множество в заданный момент времени, не нарушая фазовых ограничений, цель другого — противоположна. Предполагается, что конечное множество — параллелепипед, управления стеснены параллелотопозначными ограничениями, фазовые ограничения заданы в виде полос. Представлены методы решения обеих задач с использованием полиэдральных (параллелотопо- или параллелепипедо-значных) трубок. Методы решения задачи сближения предложены автором ранее, но здесь исследуются их дополнительные свойства. В частности, для случая без фазовых ограничений найдены гарантированные оценки для траектории, обеспечивающие ее нахождение внутри трубки. Даны удобные достаточные условия, гарантирующие получение невырожденных сечений в процессе вычислений. Для задачи уклонения сначала рассматривается общая схема решения, а затем предлагаются полиэдральные методы. Приводятся и сравниваются целые параметрические семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубок разрешимости обеих задач. Приведен иллюстрирующий пример.

The paper is devoted to elaboration of polyhedral techniques for solving two control problems for linear discrete-time systems with uncertainties under state constraints, namely, the terminal approach problem and the terminal evasion one. Such problems arise in systems with two controls, where the aim of the first is to steer the trajectory onto a given terminal set at a given instant without violating the state constraints, the aim of the other is opposite. It is assumed that the terminal set is a parallelepiped, the controls are bounded by parallelotope-valued constraints, and the state constraints are given in the form of so-called zones. We present techniques for solving both problems basing on polyhedral (parallelotope-valued or parallelepiped-valued) tubes. The techniques for solving the approach problem were proposed by the author earlier, but here additional properties of them are investigated. In particular, for the case without state constraints, guaranteed estimates are found for the trajectory that ensure that it is inside the tube. Convenient sufficient conditions are given to guarantee the obtaining of nondegenerate cross-sections during the calculations. For the evasion problem, a common solution scheme is considered, and then polyhedral techniques are proposed. The whole parametric families of external and internal polyhedral estimates for the solvability tubes for both problems are presented and compared. An illustrative example is given.

Рассматривается игровая задача импульсной встречи в заданный момент времени, в случае когда первый игрок выбирает группу импульсных управлений, на выбор каждого из которых в процессе управления можно потратить свое заданное количество ресурсов. На выбор управления второго игрока накладывается геометрическое ограничение. Найдены достаточные условия возможности окончания игры из заданного начального состояния и построены соответствующие импульсные управления.

We consider the game problem of a pulse meeting in the given moment of time, in the case when the first player chooses group of pulse managements, for choice of each of which it is possible to spend the set quantity of resources in control process. On choice of control of the second player geometrical restriction is imposed. Sufficient conditions of possibility of the termination of game from preset start state are found and corresponding pulse controls are constructed.

Рассматривается линейная дифференциальная игра с заданным моментом окончания $p$. Множества достижимости игроков являются $n$-мерными шарами. Терминальное множество в игре определяется условием принадлежности нормы фазового вектора отрезку с положительными концами. Множество, определяемое данным условием, названо в работе кольцом. Тот факт, что терминальное множество не является выпуклым, потребовал привлечения дополнительной теории, позволяющей находить сумму и разность Минковского для кольца и шара в $n$-мерном пространстве. На выбор управления первого игрока накладывается импульсное ограничение. Возможности первого игрока определяются запасом ресурсов, который он может использовать при формировании своего управления. В отдельные моменты времени возможно отделение части запаса ресурсов, что может привести к «мгновенному» изменению фазового вектора, тем самым усложняя задачу. Управление второго игрока стеснено геометрическими ограничениями. Цель первого игрока заключается в том, чтобы в заданный момент времени привести фазовый вектор на терминальное множество. Цель второго игрока противоположна. Построен максимальный стабильный мост, ведущий в заданный момент времени на терминальное множество. Стабильный мост определяется функциями внешнего и внутреннего радиусов, которые вычислены в явном виде.

We consider a linear differential game with the fixed end time $p$. Attainability domains of players are $n$-dimensional balls. The terminal set of a game is determined by a condition for assigning the norm of a phase vector to a segment with positive ends. A set defined by this condition is named in the article as ring. The fact that the terminal set is not convex required an additional theory allowing us to calculate Minkowski sum and difference for a ring and a ball in $n$-dimensional space. Control of the first player has a pulse constraint. Abilities of the first player are determined by the stock of resources that can be used by the player at formation of his control. At certain moments of time the separation of a part of the resources stock is possible, which may implicate an “instantaneous” change of a phase vector, thereby complicating the problem. Control of the second player has geometrical constraints. The aim of the first player is to lead a phase vector to the terminal set at fixed time. The aim of the second player is opposite. The maximal stable bridge leading at fixed time to the terminal set has been constructed. A stable bridge is determined by the functions of internal and external radii, which are calculated explicitly.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей группы убегающих, описываемая системой вида \begin{gather*} D^{(\alpha)}x_i = a_i x_i + u_i, \ u_i \in U_i, \quad D^{(\alpha)}y_j = b_jy_j + v, \ v\in V, \end{gather*} где $D^{(\alpha)}f$ — производная по Капуто порядка $\alpha$ функции $f$. Множества допустимых управлений $U_i, V$ — выпуклые компакты, $a_i, b_j$ — вещественные числа. Терминальные множества — выпуклые компакты. Получены достаточные условия разрешимости задач преследования. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций. Показано, что возможна такая конфликтная ситуация с равными возможностями всех участников, при которой один преследователь ловит всех убегающих.

In a finite-dimensional Euclidean space, the problem of pursuit of a group of evaders by a group of pursuers is considered, described by a system of the form \begin{gather*} D^{(\alpha)}x_i = a_i x_i + u_i, \ u_i \in U_i, \quad D^{(\alpha)}y_j = b_jy_j + v, \ v\in V, \end{gather*} where $D^{(\alpha)}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha$ of the function $f$. The sets of admissible controls $U_i, V$ are convex compacts, $a_i, b_j$ are real numbers. The terminal sets are convex compacts. Sufficient conditions for the solvability of the pursuit problems are obtained. In the study, the method of resolving functions is used as the basic one. It is shown that such a conflict situation with equal opportunities for all participants is possible, in which one pursuer catches all the evaders.

Предлагается численный алгоритм построения аппроксимации множества решений Нэша в линейной неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц с терминальными цилиндрическими показателями качества и геометрическими ограничениями на управления игроков.

The article presents a numerical algorithm for building an approximation of the Nash solution set in a linear non-zero sum positional differential two-person game with terminal cylindrical cost functionals and geometrical constraints on players' controls.

Рассматриваются две задачи простого преследования группой преследователей группы убегающих. Первая задача посвящена преследованию группой преследователей группы жестко скоординированных убегающих при равных возможностях всех участников. Предполагается, что убегающие не покидают пределы выпуклого многогранного множества, терминальные множества - выпуклые компакты и целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего. В терминах начальных позиций и параметров игры получены условия разрешимости задачи преследования и задачи уклонения.

Вторая задача посвящена преследованию группой преследователей группы убегающих в предположении, что убегающие используют программные стратегии, а каждый преследователь может поймать не более одного убегающего. Целью группы преследователей является поимка заданного числа убегающих. Терминальные множества  выпуклые компакты, множество допустимых управлений  произвольный выпуклый компакт. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи преследования.

Two differential games of the simple pursuit of a group of evaders by a group of pursuers are considered. The first problem is devoted to the pursuit of a group of rigidly co-ordinated evaders by a group of pursuers with equal possibilities for all participants. It is supposed that the evaders remain in the bounds of the convex polyhedral set, terminal sets are convex compacts and the aim of the group of pursuers is to capture at least one evader. The solvability conditions of the problem of pursuit and the problem of evasion are obtained in the terms of initial positions and parameters of the game.

The second problem is devoted to the pursuit of a group of evaders by a group of pursuers under condition that the evaders use program strategies and one pursuer can catch only one evader. The aim of a group of pursuers is to capture a specified number of evaders. Terminal sets are convex compacts, the set of possible controls is an arbitrary convex compact. Necessary and sufficient solvability conditions of the problem of pursuit are obtained.