Все выпуски

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

На основе модели Колмогорова «хищник–жертва» предложена система для описания динамики трех видов: жертвы $x(t)$, потребляющего её хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Учтена нелинейная зависимость от численности жертв коэффициентов роста всех трех видов, правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка содержит 10 вещественных коэффициентов. Аналитически найдены условия на параметры суперхищника, при которых система является косимметричной и возникает однопараметрическое семейство решений дифференциальных уравнений. Мультистабильность реализуется в виде семейств равновесий и периодических решений (предельных циклов). Каждое решение может быть получено из начальных данных, принадлежащих соответствующему бассейну. Наличие нуля в спектре устойчивости равновесий и близких к единице двух мультипликаторов для предельных циклов подтверждает теоретические выводы о существовании континуума решений. При нарушении соотношений на параметры системы происходит разрушение семейств решений и возникает конечное число изолированных равновесий и предельных циклов. В такой ситуации динамический процесс установления равновесия или выхода на изолированный предельный цикл может занимать много времени. При этом динамика происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии, то есть сохраняется память системы о семействе.

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа неустойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Рассматривается случай лишь барицентрически субдифференцируемой функции Ляпунова. Получены достаточные условия неустойчивости, которые являются аналогом теоремы Четаева и опираются на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Приведен пример динамической системы, неустойчивость положения равновесия которой доказывается с использованием полученной теоремы.

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция валикового типа в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа. Методом многомасштабных разложений получена AΨ-система амплитудных уравнений, описывающая вариации амплитуды конвективных ячеек. Ширина ячеек может быть произвольной, что актуально для больших чисел Рэлея. Отмечается, что в трехмерном случае взаимодействие конвекции и поля горизонтальной завихренности играет существеннуюроль в динамике системы, и им нельзя пренебрегать. Обсуждаются различные формы выведенных уравнений.

В работе вводится и исследуется подкласс $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$ однолистных функций с отрицательными коэффициентами, определяемый новым линейным оператором $J^\lambda$ в открытом единичном круге $\mathcal{U}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$. Основной задачей является изучение следующих свойств и характеристик: оценки коэффициентов, теоремы искажения, теоремы о замыкании, окрестность функции, радиусы звездообразности, выпуклости и почти выпуклости функций, принадлежащих классу $A_{n} (m,\beta,p,q,\lambda)$.

Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов $A(\cdot)$ дискретной линейной однородной системы вида $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченной на $\mathbb Z$ матрицей $A(\cdot)$. Спектральным множеством этой системы, отвечающим заданному классу возмущений, называем совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс. Основное внимание в работе уделено классу ${\cal R}$ возмущенных систем вида $$y(m+1)=A(m)R(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченными на $\mathbb Z$ матрицами $R(\cdot)$, и его подклассам ${\cal R}_{\delta}$ с матрицами $R(\cdot)$, удовлетворяющими оценке $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, где $\delta>0$. Доказано, что если показатели Ляпунова исходной системы устойчивы, то спектральное множество $\lambda({\cal R})$, отвечающее классу ${\cal R}$, совпадает с множеством всех упорядоченных по возрастанию наборов из $n$ чисел, при этом для каждого $\Delta>0$ существует такое $\ell=\ell(\Delta)>0$, что для любого $\delta<\Delta$ спектральное множество $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ содержит в себе $\delta$-окрестность полного спектра показателей Ляпунова невозмущенной системы.

В статье рассматривается задача о приведении движения нелинейной управляемой системы в начало координат при заданном интегральном ресурсе управления на конечном промежутке времени. Исследуется вопрос о построении локального синтеза управления, решающего задачу, в предположении, что промежуток времени, в течение которого осуществляется перевод системы, достаточно мал. Указаны достаточные условия, при выполнении которых задачу можно решить путем приближенной замены нелинейной системы ее линеаризацией в окрестности начала координат.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном по горизонтали слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа, взаимодействующая с полем горизонтальной завихренности. Методом многомасштабных разложений получено семейство амплитудных уравнений, описывающее вариации амплитуды конвективных ячеек, форма которых задаётся как суперпозиция конечного числа конвективных валиков с различными волновыми векторами.

Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений были разработаны несколько численных схем, основанных на современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методах. Написаны пакеты программ для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с ячейками квадратного и гексагонального типов. Численное моделирование показало, что конвекция имеет вид вытянутых "облаков" или "нитей". Было замечено, что в системе достаточно быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное состояние разрушается, и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.

Рассматриваются C^r-гладкие (r≥1) диффеоморфизмы многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Из работ Ш. Ньюхауса, Л.П. Шильникова, Б.Ф. Иванова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но по крайней мере один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В предлагаемой работе показано, что при определенных условиях, наложенных на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки лежит бесконечное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.