Все выпуски

Получены необходимые и достаточные условия выживаемости дифференциальной системы с последействием и дифференциального включения с последействием. Получены достаточные условия положительной инвариантности множества для системы (включения) с последействием.

Necessary and sufficient conditions of viability of differential systems with aftereffect and differential inclusions with aftereffect are received. Sufficient conditions of positive invariance of set for systems (inclusions) with aftereffect are received.

Любое бинарное отношение σ⊆X (где X - произвольное множество) порождает на множестве X² характеристическую функцию: если (x,y)∈σ, то σ(x,y)=1, а иначе σ(x,y)=0. В терминах характеристических функций на множестве всех бинарных отношений множества X вводится понятие бинарного рефлексивного отношения смежности и определяется алгебраическая система, состоящая из всех бинарных отношений множества и из всех неупорядоченных пар различных смежных бинарных отношений. Если X - конечное множество, то эта алгебраическая система - граф («граф графов»).

Показано, что если σ и τ - смежные отношения, то σ является частичным порядком тогда и только тогда, когда τ является частичным порядком. Исследованы некоторые особенности строения графа G(X) частичных порядков. В частности, если X состоит из n элементов, а T₀(n) - это число помеченных T₀-топологий, определенных на множестве X, то количество вершин в графе G(X) равно T₀(n), а количество компонент связности равно T₀(n-1).

Для всякого отношения частичного порядка σ определяется понятие его опорного множества S(σ), являющегося некоторым подмножеством множества X. Если X - конечное множество, а частичные порядки σ и τ принадлежат одной и той же компоненте связности графа G(X), то равенство S(σ)=S(τ) имеет место тогда и только тогда, когда σ=τ. Показано, что в каждой компоненте связности графа G(X) совокупность опорных множеств ее элементов является специфическим частично упорядоченным множеством относительно естественного отношения включения множеств.

Any binary relation σ⊆X (where X is an arbitrary set) generates a characteristic function on the set X²: if (x,y)∈σ, then σ(x,y)=1, otherwise σ(x,y)=0. In terms of characteristic functions on the set of all binary relations of the set X we introduced the concept of a binary reflexive relation of adjacency and determined the algebraic system consisting of all binary relations of a set and of all unordered pairs of various adjacent binary relations. If X is finite set then this algebraic system is a graph (“a graph of graphs”).

It is shown that if σ and τ are adjacent relations then σ is a partial order if and only if τ is a partial order. We investigated some features of the structure of the graph G(X) of partial orders. In particular, if X consists of n elements, and T₀(n) is the number of labeled T₀-topologies defined on the set X, then the number of vertices in a graph G(X) is T₀(n), and the number of connected components is T₀(n-1).

For any partial order σ there is defined the notion of its support set S(σ), which is some subset of X. If X is finite set, and partial orders σ and τ belong to the same connected component of the graph G(X), then the equality S(σ)=S(τ) holds if and only if σ=τ. It is shown that in each connected component of the graph G(X) the union of support sets of its elements is a specific partially ordered set with respect to natural inclusion relation of sets.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач доказана теорема единственности. Для доказательства существования решения задачи использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, позволившие доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

This article studies the Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped. Based on the completeness property of eigenfunction systems of two one-dimensional spectral problems, the uniqueness theorem is proved. To prove the existence of a solution to the problem, the Fourier spectral method based on the separation of variables is used. The solution to this problem is constructed in the form of a sum of a double Fourier-Bessel series. In substantiating the uniform convergence of the constructed series, we used asymptotic estimates of the Bessel functions of the real and imaginary argument. Based on them, estimates were obtained for each member of the series, which made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives to the second order inclusive, as well as the existence theorem in the class of regular solutions

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Two problems of nonlinear guaranteed estimation for states of dynamical systems are considered. It is supposed that unknown measurable in $t$ disturbances are linearly included in the equation of motion and are additive in the measurement equations. These disturbances are constrained by nonlinear integral functionals, one of which is analog of functional of the generalized work. The studied problem consists in creation of the information sets according to measurement data containing the true position of the trajectory. The dynamic programming approach is used. If the first functional requires solving a nonlinear equation in partial derivatives of the first order which is not always possible, then for functional of the generalized work it is enough to find a solution of the linear Lyapunov equation of the first order that significantly simplifies the problem. Nevertheless, even in this case it is necessary to impose additional conditions on the system parameters in order for the system trajectory of the observed signal to exist. If the motion equation is linear in state variable, then many assumptions are carried out automatically. For this case the issue of mutual approximation of information sets via inclusion for different functionals is discussed. In conclusion, the most transparent linear quadratic case is considered. The statement is illustrated by examples.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости A(t,σ,X) управляемой системы

ẋ = f(h^t,x,u), (t,σ,x,u) ∈ R × Σ × Rⁿ × R^m, (1)

которая параметризована с помощью топологической динамической системы (Σ,h^t). Получены оценки снизу таких характеристик, как относительная частота поглощения, верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости системы (1) заданным множеством M, а также достаточные условия статистической инвариантности множества M относительно управляемой системы. Исследуются условия, которым должна удовлетворять система (1) и множество X, чтобы для заданных σ ∈ Σ и χ₀ ∈ (0, 1] относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы (1) множеством M была не менее χ₀. Результаты работы иллюстрируются на примере управляемой системы, которая описывает периодические процессы в химическом реакторе.

We investigate the statistical characteristics of attainability set A(t,σ,X) of control system

ẋ = f(h^t,x,u), (t,σ,x,u) ∈ R × Σ × Rⁿ × R^m, (1)

which is parametrized by means of topological dynamic system (Σ,h^t). We obtained the lower estimations for such characteristics as the relative frequency of containing, the upper and lower relative frequencies of containing of attainability set of the system (1) in the given set M as well as new sufficient conditions of statistical invariance of the set M with respect to control system. We received the conditions for system (1) and set X at which for given σ ∈ Σ и χ₀ ∈ (0, 1] the relative frequency of containing of attainability set A(t,σ,X) of systems (1) in the set M not less χ₀. Results of the work are illustrated by the example of control system which describes periodic processes in a chemical reactor.

Теория мягких множеств — это новая область математики, которая имеет дело с неопределенностями. Приложения теории мягких множеств широко распространены в различных областях науки и социальных наук, таких как принятие решений, информатика, распознавание образов, искусственный интеллект и т.д. Важность мягких теоретико-множественных версий математического анализа ощущается в нескольких областях информатики. В этой статье предлагаются некоторые концепции мягкого градиента функции и мягкого интеграла, аналога криволинейного интеграла в классическом анализе. Установлены основные свойства мягких градиентов. Найдено необходимое и достаточное условие, при котором множество может быть подмножеством мягкого градиента некоторой функции. Доказано включение мягкого градиента в мягкий интеграл. Установлены полуаддитивность и положительная однородность мягкого интеграла. Получены оценки мягкого интеграла и размера его отрезка. Полуаддитивность относительно верхнего предела интегрирования доказана. Кроме того, эта статья расширяет теоретические развитие мягкого рационального криволинейного интеграла и связанных областей для повышения функциональности с точки зрения вычислительных систем.

Soft set theory is a new area of mathematics that deals with uncertainties. Applications of soft set theory are widely spread in various areas of science and social science viz. decision making, computer science, pattern recognition, artificial intelligence, etc. The importance of soft set-theoretical versions of mathematical analysis has been felt in several areas of computer science. This paper suggests some concepts of a soft gradient of a function and a soft integral, an analogue of a line integral in classical analysis. The fundamental properties of soft gradients are established. A necessary and sufficient condition is found so that a set can be a subset of the soft gradient of some function. The inclusion of a soft gradient in a soft integral is proved. Semi-additivity and positive uniformity of a soft integral are established. Estimates are obtained for a soft integral and the size of its segment. Semi-additivity with respect to the upper limit of integration is proved. Moreover, this paper enriches the theoretical development of a soft rational line integral and associated areas for better functionality in terms of computing systems.

В работе исследуется задача управляемости для систем функциональных включений с каузальными операторами и импульсными характеристиками в банаховых пространствах. Основным результатом работы является глобальная теорема существования траекторий для систем, описываемых функциональными включениями с импульсными характеристиками. Доказательство основано на теории топологической степени для уплотняющих многозначных отображений. В качестве приложений основного результата получены обобщенные теоремы существования для систем двух важных классов: полулинейных дифференциальных включений первого порядка и полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $0<q<1$.

This paper studies the controllability problem for systems of functional inclusions with causal operators and impulse characteristics in Banach spaces. The main result of the paper is a global existence theorem for trajectories for systems described by functional inclusions with impulse characteristics. The proof is based on topological degree theory for condensing multivalued mappings. As applications of the main result, generalized existence theorems are obtained for systems of two important classes: first-order semilinear differential inclusions of fractional order $0<q<1$.

Для управляемых систем со случайными параметрами исследуются свойства статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности, выполненные с вероятностью единица. Получены достаточные условия инвариантности заданного множества относительно управляемой системы, выраженные в терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Доказано обобщение теоремы С.А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения для задачи Коши с кусочно непрерывной по t правой частью без предположения единственности решения.

We investigate the properties of statistical invariance and statistically weak invariance with probability one for control systems with random parameters. We obtain the sufficient conditions for the invariance of the given set with respect to the control system formulated in terms of Lyapunov functions and the dynamical system of shifts. We prove the extension for the theorem of S.A. Chaplygin about differential inequalities and obtain the conditions of existence for the upper solution of Cauchy problem with piecewise continuous on t right-hand part without assumption of uniqueness of solution.

Изучаются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с помощью топологической динамической системы. Получены оценки снизу характеристик, связанных с инвариантностью заданного множества на конечном промежутке времени. Рассматривается также следующая задача, возникающая во многих приложениях. Пусть заданы числа λ₀ ∈ (0, 1] и θ > 0. Необходимо найти условия, которым должны удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы для заданного σ ∈ Σ относительная частота поглощения множества достижимости A(t,σ,X) системы заданным множеством M на любом отрезке времени длины θ была бы не менее λ₀. Отметим, что характеристика θ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то θ является периодом данного процесса. Результаты работы иллюстрируются на примерах управляемых систем, которые описывают различные модели роста популяции.

We study the statistical characteristics of the attainability set A(t,σ,X) of the control system which is parametrized by means of a topological dynamical system (Σ,h^t). We obtain the lower estimates for characteristics connected with invariance of given set on a finite time interval. We also consider the following problem arising in many applications. Let numbers λ₀ ∈ (0, 1] and θ > 0 are given. It is necessary to find the conditions which the control system and set X should satisfy providing that for given σ ∈ Σ relative frequency of containing of the attainability set A(t,σ,X) in the given set M on any interval of time length θ would be not less then λ₀. Let’s notice, that the characteristic θ is assumed given depending on an applying problems. In particular, if control process is periodic, then θ is the period of the process. Results are illustrated by examples of the control systems which describe different models of population growth.