Все выпуски

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

In the rectangular region, we study nonlocal boundary value problems for the one-dimensional unsteady convection-diffusion equation of fractional order with variable coefficients, describing the diffusion transfer of a substance, as well as the transfer due to the motion of the medium. A priori estimates of solutions of nonlocal boundary value problems in differential form are derived by the method of energy inequalities. Difference schemes are constructed and analogs of a priori estimates in the difference form are proved for them, error estimates are given under the assumption of sufficient smoothness of solutions of equations. From the obtained a priori estimates, the uniqueness and stability of the solution from the initial data and the right part, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem at the rate of $O(h^2+\tau^2)$.

Изучается устойчивость линейных автономных скалярных разностных уравнений с комплексными коэффициентами. Для уравнения с произвольным количеством запаздываний приводится простое доказательство линейной связности его области устойчивости в пространстве коэффициентов. Этот результат позволяет утверждать, что областью устойчивости уравнения в пространстве коэффициентов является область $D$-разбиения этого пространства, содержащая начало координат. Далее рассматриваются некоторые уравнения с двумя запаздываниями и комплексными коэффициентами, для которых даются подробные аналитические и геометрические описания областей равномерной и экспоненциальной устойчивости.

We study the stability of linear autonomous scalar difference equations with complex coefficients. For an equation with an arbitrary number of delays, we propose a simple proof of the linear connectivity of the stability region in the space of coefficients. This result allows us to assert that the stability region of the equation in the space of coefficients is the region of the $D$-decomposition of this space containing the origin of coordinates. Further, we consider some equations with two delays and complex coefficients, for which we give detailed analytic and geometric descriptions of the regions of uniform and exponential stability.

Для автономного линейного разностного уравнения четвертого порядка исследуется область устойчивости $S_4$ в четырехмерном пространстве, параметрами которого являются коэффициенты уравнения. Исследованы и построены в трехмерном пространстве сечения области $S_4$ гиперплоскостями четырехмерного пространства при фиксированном значении четвертого параметра. Показано, что эти сечения диффеоморфны области устойчивости $S_3$ линейного разностного уравнения третьего порядка.

For an autonomous fourth-order linear difference equation, the stability domain $S_4$ in four-dimensional space is investigated, the parameters of which are the equation coefficients. Sections of the domain $S_4$ by hyperplanes of four-dimensional space are studied and constructed in three-dimensional space for a fixed value of the fourth parameter. It is shown that these sections are diffeomorphic to the stability domain $S_3$ of the third-order linear difference equation.

Рассматривается обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Такой вариант данного уравнения используется в качестве математической модели формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов. В работе данное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Неймана в трех областях: прямоугольнике, квадрате и равнобедренном треугольнике. Изучен вопрос о локальных бифуркациях при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что в данных трех краевых задачах реализуются послекритические бифуркации и в их результате в каждой из трех изучаемых краевых задач бифурцируют пространственно неоднородные решения. Для них получены асимптотические формулы. Выявлена зависимость характера бифуркаций от выбора, геометрии области. В частности, определен вид зависимости от пространственных переменных. Изучен вопрос об устойчивости, в смысле определения А.М. Ляпунова, найденных пространственно неоднородных решений. Анализ бифуркационных задач использовал известные методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм Пуанкаре-Дюлака в сочетании с асимптотическими методами.

The generalized Kuramoto-Sivashinsky equation in the case when the unknown function depends on two spatial variables is considered. This version of the equation is used as a mathematical model of formation of nonhomogeneous relief on a surface of semiconductors under ion beam. This equation is studied along with homogeneous Neumann boundary conditions in three regions: a rectangle, a square, and an isosceles triangle. The problem of local bifurcations in the case when spatially homogeneous equilibrium states change stability is studied. It is shown that for these three boundary value problems post-critical bifurcations occur and, as a result, spatially nonhomogeneous solutions bifurcate in each of these boundary value problems. For them asymptotic formulas are obtained. The dependence of the nature of bifurcations on the choice and geometry of the region is revealed. In particular, the type of dependence on spatial variables is determined. The problem of Lyapunov stability of spatially nonhomogeneous solutions is studied. Well-known methods from dynamical systems theory with an infinite-dimensional phase space: integral (invariant) manifolds, normal Poincare-Dulac forms in combination with asymptotic methods are used to analyze the bifurcation problems.

Для исследования вещественных кубических отображений применён аппарат линейной сопряжённости. Предложена программа изучения циклов отображений, связанная с построением линий постоянства мультипликаторов на полуплоскостях существенных параметров. Изучены циклы небольших периодов: 1- и 2-циклы, а также менее подробно 3-циклы.

The device of a linear conjugacy is applied to research of real cubic maps. The program of studying of map cycles is proposed. This program is connected with construction of multipliers constancy lines on the half-plane of material parameters. We study the cycles of small periods: 1 and 2-cycles, and also it is less detailed 3-cycles.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

A classical reaction-diffusion system, the Schnakenberg system, is under consideration in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^m$ with Neumann boundary conditions. We study diffusion-driven instability of a stationary spatially homogeneous solution of this system, also called the Turing instability, which arises when the diffusion coefficient $d$ changes. An analytical description of the region of necessary and sufficient conditions for the Turing instability in the parameter plane is obtained by analyzing the linearized system in diffusionless and diffusion approximations. It is shown that one of the boundaries of the region of necessary conditions is an envelope of the family of curves that bound the region of sufficient conditions. Moreover, the intersection points of two consecutive curves of this family lie on a straight line whose slope depends on the eigenvalues of the Laplace operator and does not depend on the diffusion coefficient. We find an analytical expression for the critical diffusion coefficient at which the stability of the equilibrium position of the system is lost. We derive conditions under which the set of wavenumbers corresponding to neutral stability modes is countable, finite, or empty. It is shown that the semiaxis $d>1$ can be represented as a countable union of half-intervals with split points expressed in terms of the eigenvalues of the Laplace operator; each half-interval is characterized by the minimum wavenumber of loss of stability.

Для задачи двух точечных вихрей в кольце получено представление гамильтониана через эллиптические функции и исследована устойчивость томсоновской конфигурации.

For the system of two point vortices in anulus the Hamiltonian is expressed in terms of elliptic functions. The stability of the Thomson configuration is studied.

Рассматривается плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Предполагается, что во все время движения тела нить остается натянутой. Изучены нелинейные периодические колебания тела в окрестности его устойчивого положения равновесия на вертикали. Эти движения рождаются из малых (линейных) нормальных колебаний тела. Вопрос о существовании таких движений решается при помощи теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Указан алгоритм построения этих движений при помощи метода канонических преобразований. Соответствующие решения представимы в виде рядов по малому параметру, характеризующему амплитуду порождающих нормальных колебаний. Дано строгое решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости построенных движений. Указаны возможные области параметрического резонанса (области неустойчивости), рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. Исследование опирается на методы Ляпунова и Пуанкаре и КАМ-теорию.

The planar motion of a rigid body in a uniform gravity field is considered. The body is suspended on a weightless inextensible thread. The thread is assumed to remain taut during the motion of the body. Nonlinear periodic oscillations of the body in the vicinity of its stable equilibrium position on the vertical are studied. These motions are generated by small (linear) normal body vibrations. The question of the existence of such motions is solved with the Lyapunov theorem on a holomorphic integral. An algorithm for constructing these motions using the canonical transformation method is proposed. The corresponding solutions are represented in the form of series in a small parameter characterizing the amplitude of the generating normal oscillations. A rigorous solution is given to the nonlinear problem of orbital stability of the motions obtained. Possible regions of parametric resonance (instability regions) are indicated. The third and fourth order resonance cases, as well as a nonresonant case, are considered. The study is based on the Lyapunov and Poincaré methods and KAM-theory.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

The paper studies the motions of a dynamically symmetric satellite (rigid body) relative to the center of mass in the central Newtonian gravitational field on a weakly elliptical orbit in the neighborhood of its stationary rotation (cylindrical precession). We consider the values of the parameters for which, in the limiting case of a circular orbit, one of the frequencies of small linear oscillations is equal to unity and the other is equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of the perturbed motion is equal to two, as well as a small neighborhood of this resonant point in the three-dimensional space of parameters. The resonant periodic motions of the satellite, analytical in fractional powers of a small parameter (the eccentricity of the orbit of the satellite's center of mass), are constructed. A rigorous nonlinear analysis of their stability is carried out. The methods of KAM theory are used to describe two- and three-frequency conditionally periodic motions of a satellite, with frequencies of different orders in a small parameter. A number of general theoretical issues concerning the considered multiple parametric resonance in Hamiltonian systems with two degrees of freedom that are close to autonomous and periodic in time are discussed. Several qualitatively different variants of parametric resonance regions are constructed. It is shown that in the general case the nature of nonlinear resonant oscillations of the system is determined by the first approximation system in a small parameter.

Рассмотрено движение динамически симметричного твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Исследование проводится в рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона. Дано подробное описание допустимых дуг перманентных вращений тела, происходящих вокруг вертикально расположенных осей. Выявлены случаи перманентных вращений, обусловленные вибрациями и не существующие для тела с неподвижной точкой. Для одного из таких случаев, когда ось вращения лежит в главной плоскости инерции, не содержащей центр масс тела и не совпадающей с экваториальной плоскостью инерции, проведен полный нелинейный анализ устойчивости соответствующего положения равновесия приведенной системы с двумя степенями свободы. В трехмерном пространстве параметров задачи найдены области устойчивости в линейном приближении. Рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также случаи вырождения.

The motion of a dynamically symmetric rigid body in a uniform gravity field is considered for the case of vertical high-frequency harmonic oscillations of small amplitude of one of its points (the suspension point). The investigation is carried out within the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion written in the canonical Hamiltonian form. A detailed description of admissible arcs of permanent rotations of the body about vertical axes is given. Special cases of motions of the body are found which are caused by fast vibrations of the suspension point. One of these cases is studied when the rotation axis lies in the principal plane of inertia which does not contain the center of mass of the body and does not coincide with the equatorial plane of inertia. A complete nonlinear stability analysis of the corresponding equilibrium position of the two-degree-of-freedom system is carried out. For all admissible values of the three-dimensional parameter space, regions of linear stability are found. Cases of resonances of the third and fourth orders, as well as degeneration cases, are considered.