Все выпуски

Пусть $T\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, — гомеоморфизм окружности с одной точкой излома $x_{b}$, в которой $T'(x)$ имеет разрыв первого рода и обе односторонние производные в точке $x_{b}$ строго положительные, и иррациональным числом вращения $\rho _{T}$. Предположим, что разложение числа вращения $\rho _{T}$ в непрерывную дробь, начиная с некоторого номера, совпадает с золотым сечением, т.е. $\rho _{T}=[m_{1},m_{2},\dots,m_{l},\,m_{l+1},\ldots],…,m_{s}=1$, $s> l>0$. Поскольку число вращения иррациональное, отображение $T$ является строго эргодическим, т.е. обладает единственной вероятностной инвариантной мерой $\mu_{T}$. В работе А.А. Джалилова и К.М. Ханина доказано, что вероятностная инвариантная мера $\mu_{G}$ любого гомеоморфизма окружности $G\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одной точкой излома $ x_{b}$ и иррациональным числом вращения $\rho _{G}$ является сингулярной относительно меры Лебега $\lambda$ на окружности, т.е. существует измеримое подмножество $A \subset S^{1}$ такое, что $\mu_{G}(A)=1$ и $\lambda(A)=0$. Мы построим термодинамический формализм для гомеоморфизмов $T_{b}\in C^{2+\varepsilon}(S^{1}\setminus \{x_{b}\})$, $\varepsilon>0$, с одним изломом в точке $x_{b}$ и числом вращения, равным золотому сечению, т.е. $\rho _{T}:=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Существенно используя построенный термодинамический формализм, мы изучили показатели сингулярности инвариантной меры $\mu_{T}$ гомеоморфизма $T$.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

В данной статье исследуются специфические особенности соотношений между топологической и алгебраической структурами квазигрупп и луп. Исследуется измеримость подмножеств топологических квазигрупп и луп относительно инвариантных мер. Изучается семейство неизмеримых подмножеств в локально компактных недискретных лупах. Выясняется существование локально $\mu$-нулевых подмножеств, не являющихся $\mu$-нулевыми, в локально компактной левой квазигруппе, не являющейся $\sigma$-компактной. Исследуются факторпространства измеримых пространств на квазигруппах. Более того, изучаются однородные пространства квазигрупп, а также счетная отделимость подмножеств в них.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

Изучаются недавно введенные понятия меры устойчивости и меры неустойчивости разного типа: ляпуновского, перроновского или верхнепредельного. Эти понятия допускают естественную вероятностную интерпретацию, которая показывает зависимость конкретных свойств решений дифференциальной системы, начинающихся близко к ее нулевому решению, от сколь угодно малых возмущений начальных значений задачи Коши с фиксированным начальным моментом. В работе исследуется как раз зависимость самих этих мер от начального момента. Доказано, что эта зависимость полностью отсутствует для одномерных и автономных систем, а также для многих типов устойчивости или неустойчивости линейных систем. Кроме того, доказано, что крайние значения самих мер устойчивости или неустойчивости всегда инвариантны относительно выбора начального момента. Наконец, приведен пример системы, для которой эта зависимость, напротив, проявляется в максимально возможной степени.

В данной работе рассмотрены две модели взаимодействующих молекул ДНК. Первая — это (четырехпараметрическая) модель слияния пузырьков во взаимодействующих ДНК (сокращенно: СПВ–ДНК). Вторая — это (трехпараметрическая) модель слияния пузырьков в конденсированных молекулах ДНК (сокращенно: СПК–ДНК). Для изучения термодинамики слияния пузырьков этих моделей развит метод статистической физики. А именно, определяется гамильтониан (определяемый функциями) каждой модели и для конкретных функций гамильтониана даны их трансляционно-инвариантные меры Гиббса (ТИМГ). В этой работе выбраны такие функции гамильтониана, что модель имеет вид модели Изинга–SOS. В этом случае для модели СПВ–ДНК найдены такие параметры, что соответствующий гамильтониан имеет до трех ТИМГ (три фазы системы), что биологически означает существование трех состояний: «Нет слияния пузырьков», «Доминирующая мягкая зона», «Слияние пузырьков». Для модели СПК–ДНК показано, что при любых (допустимых) параметрах эта модель тоже имеет до трех ТИМГ, что биологически означает существование трех состояний: «Нет слияния пузырьков», «Доминирующая мягкая зона», «Слияние пузырьков».

Рассматривается вероятностная модель, заданная разностным уравнением $$x_{n+1}=f(\omega_n,x_n), \quad (\omega_n,x_n)\in \Omega\times [a,b], \quad n=0,1,\dots, \qquad\qquad(1)$$ где $\Omega$ - заданное множество с сигма-алгеброй подмножеств $\widetilde{\mathfrak A},$ на которой определена вероятностная мера $\widetilde \mu;$ $\mu$ - продолжение меры $\widetilde \mu$ на сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами. Исследуются инвариантные множества и аттракторы уравнения со случайными параметрами $(1).$ Получены условия, при которых заданное множество является максимальным аттрактором. Показано, что внутри инвариантного множества $A\subseteq [a,b]$ могут существовать решения, хаотические с вероятностью единица. Это происходит в случае, когда существуют $m_i\in\mathbb N$ и множества $\Omega_i\subset\Omega$ такие, что $\mu(\Omega_i)>0,$ $i=1,2,$ и ${\rm cl} \,f^{m_1}(\Omega_1,A)\cap \,{\rm cl} f^{m_2}(\Omega_2,A)=\varnothing.$ Решения, хаотические с вероятностью единица, также наблюдаются в случае, когда уравнение $(1)$ либо не имеет ни одного цикла, либо все циклы отталкивающие с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примере непрерывно-дискретной вероятностной модели динамики изолированной популяции; для данной модели исследованы различные динамические режимы развития, которые имеют определенные отличия от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных физических системах.

В работе исследуется динамика диска, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости. Доказано, что уравнения движения обладают инвариантной мерой с непрерывной плотностью только в двух случаях: при динамически симметричном диске и диске со специальным распределением масс. В первом случае уравнения движения обладают двумя дополнительными интегралами и являются интегрируемыми в квадратурах по теореме Эйлера-Якоби. Во втором случае с помощью отображения Пуанкаре показано отсутствие дополнительных интегралов. В обоих случаях для любой области фазового пространства, переносимой потоком системы, ее объем, вычисленный с помощью плотности инвариантной меры, сохраняется. В неголономной механике известны как системы, допускающие инвариантную меру, так и системы, у которых она отсутствует.

В данной работе рассмотрены трансляционно-инвариантные меры Гиббса (ТИМГ) для HC-модели Блюма–Капеля в случае «обобщенный жезл» на дереве Кэли второго порядка. Найдено приближенное критическое значение $\theta_{cr}$ такое, что при $\theta \geq\theta_{cr}$ существует единственная ТИМГ, а при $0<\theta<\theta_{cr}$ существуют ровно три ТИМГ в случае «обобщенный жезл» для рассматриваемой модели. Кроме того, изучена задача (не)экстремальности для этих мер.