Все выпуски

Проблема сравнения нечетких чисел возникает во многих прикладных задачах. Существуют разные подходы к решению этой проблемы, которые определяются спецификами рассматриваемых задач. Предлагаемый в настоящей статье подход к сравнению нечетких чисел состоит в следующем. Вначале строится правило сравнения действительного числа с множеством $\alpha$-уровня нечеткого числа. Затем с помощью процедуры усреднения по $\alpha$ строится правило сравнения действительного числа с нечетким числом. С использованием процедуры разделения двух нечетких чисел с помощью действительного числа вводится правило сравнения нечетких чисел. На основании развитого подхода предлагается правило дефазификации нечеткого числа. В качестве примера рассмотрены нечеткие числа треугольного вида.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости при ограничениях асимптотического характера, решение в которой отождествляется с множеством притяжения в классе ультрафильтров пространства обычных решений. Исследуется нарост упомянутого множества по отношению к замыканию множества результатов, доставляемых точными решениями (данное понятие на идейном уровне соответствует схеме Дж. Варги, хотя и применяется в случае ограничений более общего характера). Для представления упомянутого (основного) множества притяжения привлекается соответствующий аналог последнего, реализуемый в пространстве обобщенных элементов. Для получаемого таким образом вспомогательного множества притяжения анализируется нарост и исследуется его связь с наростом основного множества притяжения. Получены условия отождествимости наростов основного и вспомогательного множеств притяжения. Общие положения детализируются для случая, когда обобщенные элементы определяются в виде ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств, где за реализацию наростов оказываются ответственными свободные ультрафильтры. Показано, что при наличии нароста множество допустимых обобщенных элементов не совпадает с замыканием какого-либо множества обычных решений (не допускает стандартной реализации).

Рассматривается семейство максимальных сцепленных систем, элементами которых являются множества произвольной решетки с «нулем» и «единицей», а также его подсемейство, составленное из ультрафильтров данной решетки. Исследуются соотношения между естественными топологиями, используемыми для оснащения множества максимальных сцепленных систем и множества ультрафильтров упомянутой решетки множеств. Показано, что последнее множество в естественном (для пространств ультрафильтров) оснащении является подпространством пространства максимальных сцепленных систем в оснащении двумя сравнимыми топологиями, одна из которых подобна используемой при построении расширения Волмэна, а вторая соответствует на идейном уровне схеме построения пространства Стоуна в случае, когда решетка является алгеброй множеств. Свойства получающейся битопологической структуры детализированы для случаев, когда решетка является алгеброй множеств, топологией, семейством замкнутых множеств топологического пространства.

В задачах принятия решений, когда лицо, принимающее решение, получает информацию о возможном выигрыше в результате выбора стратегии в виде нечеткого числа, возникает проблема сравнения нечетких чисел. При выборе того или иного метода сравнения нечетких чисел нужно исходить из специфики задачи. Предлагаемый в статье подход сравнения нечетких чисел основан на сравнении множеств уровня. Эти множества уровня являются отрезками. При сравнении отрезков, в которых может находиться величина выигрыша лица, принимающего решение, берется один из критериев, применяемых в задачах принятия решения при наличии неопределенности (критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и другие). Результаты сравнения по множествам уровня усредняются. Нечеткие числа сравниваются с помощью этих средних значений. Дана геометрическая интерпретация полученного результата, которая сводит сравнение нечетких чисел к сравнению величин площадей соответствующих фигур, образованных графиками функций принадлежности нечетких чисел. В качестве примера рассмотрены нечеткие числа с колоколообразными и трапецеидальными функциями принадлежности.

Рассматривается проблема соблюдения ограничений асимптотического характера, которая с использованием элементов естественного расширения редуцируется к обобщенной задаче в классе ультрафильтров исходного пространства решений. Ограничениям упомянутого типа сопоставляется стандартная компонента, определяемая обычным требованием принадлежности заданному множеству; данная компонента на идейном уровне соответствует конструкции точных решений Дж. Варги. В то же время при соблюдении вышеупомянутых ограничений могут возникать асимптотические (по смыслу) режимы, для которых реализуется идея соблюдения условий принадлежности «с некоторого момента»; при этом, однако, одно множество, характеризующее стандартное ограничение в терминах включения, заменяется непустым семейством. Данное семейство нередко возникает при последовательном ослаблении условия принадлежности элемента, зависящего от выбора решения, фиксированному множеству в топологическом пространстве (последнее зачастую бывает метризуемым). Множества - элементы упомянутого семейства - определяются при этом условиями принадлежности соответствующих их элементов окрестностям данного фиксированного множества. Возможна, однако, ситуация, когда семейство, определяющее ограничения асимптотического характера, возникает изначально и не связывается уже с ослаблением какого-либо (стандартного) условия.

В статье рассматривается общий случай, для которого исследуется структура множества допустимых обобщенных элементов. Показано, что для «хорошо устроенной» обобщенной задачи стандартная компонента «асимптотических ограничений» отвечает за реализацию внутренности вышеупомянутого множества допустимых обобщенных элементов, и указано конкретное представление данного топологического свойства. Получены также некоторые следствия упомянутого представления, касающиеся допустимых обобщенных элементов, не аппроксимируемых в топологическом смысле точными решениями.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с ограничениями в виде условий предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Постановки такого типа могут, в частности, возникать в атомной энергетике при исследовании вопросов, связанных со снижением облучаемости работников при перемещении в радиационных полях с целью выполнения комплекса работ, связанных с демонтированием излучающих элементов. Другое применение разрабатываемых в работе методов связано с важной инженерной задачей о маршрутизации движения инструмента при листовой резке на машинах с числовым программным управлением. Последняя задача имеет, как правило, достаточно большую размерность и большое число условий предшествования: у деталей, имеющих не только внешний, но один или несколько внутренних контуров (простейший пример - шайба), резка последних должна осуществляться раньше, чем резка внешнего контура (в роли мегаполисов здесь выступают конечные множества, располагаемые вблизи соответствующих контуров). Возможная зависимость функций стоимости от списка заданий может в данном случае отражать те или иные технологические условия. Подчеркнем, что ощутимая размерность, характеризуемая совокупностью всех контуров, подлежащих резке, приводит к необходимости использования эвристик, а потому вопросы, касающиеся хотя бы локального улучшения решений, представляются достаточно важными для исследования.

Основное внимание в работе уделяется построению оптимизирующих вставок в усложненных условиях: требуется редуцировать фрагмент условий предшествования и трансформировать соответствующие функции стоимости; в последнем случае важно сохранить в надлежащей форме зависимость от списка заданий. Оба упомянутых обстоятельства учитываются при построении процедуры, имеющей смысл алгоритма на функциональном уровне.