Все выпуски

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

Рассматривается плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Предполагается, что во все время движения тела нить остается натянутой. Изучены нелинейные периодические колебания тела в окрестности его устойчивого положения равновесия на вертикали. Эти движения рождаются из малых (линейных) нормальных колебаний тела. Вопрос о существовании таких движений решается при помощи теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Указан алгоритм построения этих движений при помощи метода канонических преобразований. Соответствующие решения представимы в виде рядов по малому параметру, характеризующему амплитуду порождающих нормальных колебаний. Дано строгое решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости построенных движений. Указаны возможные области параметрического резонанса (области неустойчивости), рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. Исследование опирается на методы Ляпунова и Пуанкаре и КАМ-теорию.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

Рассмотрено движение динамически симметричного твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Исследование проводится в рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона. Дано подробное описание допустимых дуг перманентных вращений тела, происходящих вокруг вертикально расположенных осей. Выявлены случаи перманентных вращений, обусловленные вибрациями и не существующие для тела с неподвижной точкой. Для одного из таких случаев, когда ось вращения лежит в главной плоскости инерции, не содержащей центр масс тела и не совпадающей с экваториальной плоскостью инерции, проведен полный нелинейный анализ устойчивости соответствующего положения равновесия приведенной системы с двумя степенями свободы. В трехмерном пространстве параметров задачи найдены области устойчивости в линейном приближении. Рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также случаи вырождения.

Рассмотрена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины в плоском случае. С помощью метода малого параметра данная нелинейная задача раскладывается на задачи в первых двух приближениях, которые последовательно разрешаются. Получены нелинейные выражения для компонент вектора скорости, динамического давления и формы свободной поверхности. Изучается движение частиц вязкой жидкости, вызванное распространением волны по свободной поверхности. Установлено, что вязкость жидкости оказывает существенное влияние на форму траекторий жидких частиц, которое проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, так и в отличии траекторий вблизи свободной поверхности и при заглублении. Исследован нелинейный эффект Стокса, который заключается в наличии приповерхностного течения.

В работе исследуются движения системы, состоящей из двух шарнирно соединенных тонких однородных стержней, вращающихся вокруг горизонтальных осей. Предполагается, что точка подвеса системы, совпадающая с концом одного из стержней, совершает горизонтальные высокочастотные гармонические колебания малой амплитуды.

Проведено исследование устойчивости четырех положений относительного равновесия на вертикали. Показано, что устойчивым может быть только нижнее ("висящее") положение относительного равновесия. Для системы, состоящей из двух одинаковых стержней, вопрос об устойчивости этого равновесия решен в нелинейной постановке. Также для этой же системы изучен вопрос о существовании, бифуркациях и устойчивости высокочастотных периодических движений малой амплитуды, отличных от положений относительного равновесия на вертикали.

Рассматривается движение жидкости, вызванное взаимодействием набегающей гравитационной волны, распространяющейся по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости, с круговым цилиндром, имеющим вертикальные образующие. Нелинейная краевая задача, описывающая такое движение, сведена к задаче для вертикальной компоненты вектора скорости, которая представляется в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей. Получено решение данной задачи для случая колебаний малой амплитуды. Проведено сравнение поля скоростей для вязкой и идеальной жидкости.