Все выпуски

Доказана теорема, вводящая эквивалентные определения для некоторых пределов сходящихся последовательностей в расширении Белла счетного дискретного пространства.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Ограничения такого типа могут возникать при ослаблении стандартных (в теории управления) ограничений, таких как фазовые ограничения, краевые и промежуточные условия, которым должны удовлетворять траектории системы. Однако ограничения асимптотического характера могут возникать и изначально, характеризуя тенденции в части реализации желаемого поведения. Так, например, можно говорить о реализации достаточно мощных импульсов управления исчезающе малой длительности. В этом последнем случае трудно говорить об ослаблении каких-либо стандартных ограничений. Так или иначе, мы сталкиваемся с набором ужесточающихся требований, каждому из которых можно сопоставить некоторый аналог области достижимости в теории управления, а точнее образ подмножества пространства обычных решений (управлений) при действии заданного оператора. В работе исследуются вопросы структуры возникающего (как аналог области достижимости) множества притяжения. Схема исследования базируется на применении специального варианта расширения пространства решений, допускающего естественную аналогию с расширением Волмэна, используемого в общей топологии. В этой ситуации естественно полагать, что пространство обычных решений оснащено некоторой топологией (обычно в этом случае исследуется $T_1$-пространство). В этой связи обсуждаются вопросы, связанные с заменой множеств, формирующих ограничения асимптотического характера, замыканиями и внутренностями, а также (частично) вопросы, связанные с представлением внутренности множества допустимых обобщенных элементов, образующего вспомогательное множество притяжения.

Рассматриваются общие свойства ультрафильтров π-систем с нулем и единицей, используемые при построении расширений абстрактных задач о достижимости для получения оценок множеств притяжения в топологическом пространстве. Обсуждаются возможности использования упомянутых ультрафильтров в качестве обобщенных элементов. Среди последних выделяются допустимые по отношению к ограничениям асимптотического характера исходной задачи. Целевой оператор данной задачи при очень общих условиях продолжается до непрерывного отображения, сопоставляющего каждому ультрафильтру π-системы предел соответствующего образа. При этом основное множество притяжения (асимптотический аналог множества достижимости) оценивается снизу непрерывным образом аналогичного вспомогательного множества в пространстве ультрафильтров. В частном случае реализации пространства Стоуна (когда используемая π-система является алгеброй множеств) упомянутая оценка превращается в равенство, связывающее искомое и вспомогательное множества притяжения; для последнего указано достаточно простое представление. Обсуждается вариант применения (в оценочных целях) расширения Волмэна.

Пусть M - гладкое многообразие с римановой метрикой g. Вопрос о группе изометрий риманова многообразия (M,g) является основной классической задачей римановой геометрии. Обозначим через G группу всех изометрий риманова многообразия (M,g) размерности n с римановой метрикой g. Структура группы G зависит от фиксированной римановой метрики g. Известно, что для «плохих» римановых метрик группа G может быть очень бедной. Известны примеры, когда группа G состоит из одного элемента. В общем случае известно, что группа G с компактно-открытой топологий является группой Ли. 

В данной статье обсуждается вопрос о существовании изометрических отображений слоеного многообразия (M,F). Обозначим через G_F группу всех изометрий слоеного риманова многообразия (M,F). Структура группы G_F зависит не только от римановой метрики g, но и от данной слоеной структуры. Изучение структуры группы G_F слоеного многообразия (M,F) является новой и интересной задачей. Впервые эта задача рассмотрена в работе А.Я. Нарманова и автора, где было показано, что группа G_F с компактно-открытой топологией является топологической группой. В работе доказывается, что группа изометрий слоеного евклидова пространства является подгруппой группы изометрий евклидова пространства (то есть G_F⊂G), если слоение порождено поверхностями уровня гладкой функции, которая не является метрической.

Рассматривается задача о соблюдении ограничений асимптотического характера (ОАХ) и ее расширение в классе ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства. Исследуется представление множества допустимых обобщенных элементов в виде множества притяжения (МП), отвечающего заданной системе ОАХ. В частности, исследуется вопрос о непустоте данного МП при весьма общих предположениях относительно измеримой структуры, на которой определяются соответствующие у/ф. Упомянутая структура задается $\pi$-системой с «нулем» и «единицей» ($\pi$-система есть непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Семейство у/ф оснащается при этом топологией волмэновского типа.

В работе предложен общий топологический подход к исследованию устойчивости периодических решений интегрируемых динамических систем с двумя степенями свободы. Развиваемые методы проиллюстрированы на примерах нескольких интегрируемых задач, связанных с классическими уравнениями Эйлера—Пуассона, движением твердого тела в жидкости, а также динамикой газообразных расширяющихся эллипсоидов. Данные топологические методы позволяют также отыскивать невырожденные периодические решения интегрируемых систем, что является особенно актуальным в тех случаях, когда общее решение, например, при помощи разделения переменных неизвестно.