Все выпуски

Рассматриваются некоторые задачи теории оптимального фуражирования, а именно, задачи выбора популяцией хищника участка, пригодного для питания, и нахождения условий ухода из него. Динамика взаимодействия хищника и жертвы задается системой Лотки-Вольтерры, в которой учтена внутривидовая конкуренция особей жертвы и возможность миграции особей хищника и жертвы. В процессах взаимодействия и миграции участвуют некоторые доли популяций. Решается задача нахождения оптимальных с точки зрения равновесия по Нэшу долей. При этом получено разбиение фазового пространства системы на области с различным поведением популяций. Исследуются оптимальные траектории соответствующей динамической системы с переменной структурой, их поведение на границах разбиения фазового пространства. Найдены положения равновесия и доказана их глобальная устойчивость при определенных ограничениях на параметры системы. В одном из случаев взаимоотношения между параметрами исследование качественного поведения оптимальных траекторий приводит к задаче о существовании предельных циклов. При этом дана оценка соответствующей области притяжения равновесия.

Рассматривается нелинейная механическая система, динамика которой описывается векторным дифференциальным уравнением типа Льенара. Предполагается, что коэффициенты данного уравнения могут переключаться с одного набора постоянных значений на другой, причем общее количество этих наборов, вообще говоря, бесконечное. Таким образом, для задания коэффициентов уравнения используются кусочно-постоянные функции с бесконечным числом точек разрыва на всей временной оси. Предлагается способ построения разрывной функции Ляпунова, с помощью которой исследуются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия изучаемого уравнения. Полученные результаты обобщаются на случай нестационарного уравнения Льенара с разрывными коэффициентами более общего вида. В качестве вспомогательного результата работы разрабатываются методы анализа вопроса знакоопределенности и подходы к получению оценок для алгебраических выражений, представляющих собой сумму слагаемых степенного вида с нестационарными коэффициентами. Ключевой особенностью исследования является отсутствие предположений об ограниченности указанных нестационарных коэффициентов или об их отделенности от нуля. Приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие установленные результаты.

В данной работе получены уравнения движения пары вихрей и кругового профиля с параметрическим возбуждением, которое возникает за счет периодического движения материальной точки. Подобные плоские задачи, с одной стороны, носят модельный характер и не могут быть использованы для точного количественного описания реальных траекторий системы. С другой стороны, во многих случаях такие модели позволяют получить достаточно точную качественную картину динамики и, вследствие простоты, данные 2D модели позволяют оценить влияние различных параметров. Описаны относительные положения равновесия, обобщающие решения Феппля и коллинеарные конфигурации, в отсутствии движения материальной точки. Показано, что в окрестности относительных равновесий в случае периодического движения центра масс профиля образуется стохастический слой.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

Исследуется асимптотическое поведение решений разностных уравнений, правая часть каждого из которых в данный момент времени зависит не только от значения в предыдущий момент, но и от случайного параметра, принимающего значения в заданном множестве $\Omega.$ Получены условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости положения равновесия, выполненные для всех значений случайных параметров и выполненные с вероятностью единица. Показано, что задача о сосуществовании стохастических циклов различных периодов имеет решение, которое существенно отличается от известного результата А.Н. Шарковского для детерминированного разностного уравнения, а именно - при определенных условиях из существования стохастического цикла длины $k$ следует существование цикла любой длины $\ell>k$.

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия, устойчивого в линейном приближении. Пусть значения параметров задачи таковы, что в системе реализуется одновременно двойной комбинационный резонанс третьего порядка и резонанс четвертого порядка. Решается вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений системы. Исследование проводится на примере задачи о движении динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. В качестве невозмущенных рассматриваются периодические движения спутника, рождающиеся из его стационарных вращений на круговой орбите (гиперболоидальной и конической прецессий), для резонансных значений параметров. Проведена нормализация гамильтонианов возмущенного движения, определены положения равновесия приближенных (модельных) систем, методом Пуанкаре построены соответствующие резонансные периодические движения спутника в окрестности указанных невозмущенных движений, дана их геометрическая интерпретация. Выявлены неустойчивые периодические движения, а также движения, являющиеся устойчивыми для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и формально устойчивыми.

Рассматривается плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Предполагается, что во все время движения тела нить остается натянутой. Изучены нелинейные периодические колебания тела в окрестности его устойчивого положения равновесия на вертикали. Эти движения рождаются из малых (линейных) нормальных колебаний тела. Вопрос о существовании таких движений решается при помощи теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Указан алгоритм построения этих движений при помощи метода канонических преобразований. Соответствующие решения представимы в виде рядов по малому параметру, характеризующему амплитуду порождающих нормальных колебаний. Дано строгое решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости построенных движений. Указаны возможные области параметрического резонанса (области неустойчивости), рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. Исследование опирается на методы Ляпунова и Пуанкаре и КАМ-теорию.

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

Рассмотрено движение динамически симметричного твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Исследование проводится в рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона. Дано подробное описание допустимых дуг перманентных вращений тела, происходящих вокруг вертикально расположенных осей. Выявлены случаи перманентных вращений, обусловленные вибрациями и не существующие для тела с неподвижной точкой. Для одного из таких случаев, когда ось вращения лежит в главной плоскости инерции, не содержащей центр масс тела и не совпадающей с экваториальной плоскостью инерции, проведен полный нелинейный анализ устойчивости соответствующего положения равновесия приведенной системы с двумя степенями свободы. В трехмерном пространстве параметров задачи найдены области устойчивости в линейном приближении. Рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также случаи вырождения.