Все выпуски

Исследуются свойства правильных функций, а также ограниченных функций, имеющих не более чем счетное множество точек разрыва (названных $\sigma$-непрерывными). Доказана теорема об интегрируемости по Риману-Стилтьесу $\sigma$-непрерывных функций по непрерывным функциям ограниченной вариации, а также предельная теорема Хелли для таких интегрируемых и интегрирующих функций. Процесс интегрирования по Риману-Стилтьесу расширяется на случай интегрирования $\sigma$-непрерывных функций по произвольным функциям ограниченной вариации: вводится $(*)$-интеграл как сумма классического интеграла Римана-Стилтьеса по непрерывной части функции ограниченной вариации и суммы произведений значений интегрируемой функции на скачки интегрирующей. Таким образом, $(*)$-интеграл позволяет интегрировать разрывные функции по разрывным. Все свойства $(*)$-интеграла выводятся непосредственно из этого определения. Так, для $(*)$-интеграла доказывается формула интегрирования по частям, теорема о перемене порядка интегрирования, а также все необходимые для дальнейшегоприменения предельные теоремы, в том числе предельная теорема типа теоремы Хелли.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы $\mathcal{R}$ имеет единственную неподвижную точку $f_ {cr}$ в пространстве критических $C^{3}$-гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой $x_{cr}$ и числом вращения равным золотому сечению $\overline{\rho}: =\frac{\sqrt{5} -1}{2}.$ Обозначим через $Cr(\overline{\rho})$ множество всех критических отображений окружности $C^ {1}$-сопряженных к $f_{cr}.$ Пусть $f\in Cr(\overline{\rho})$ и $\mu:=\mu_{f}$ --- единственная вероятностная инвариантная мера для $f.$ Зафиксируем $\theta \in (0,1).$ Для каждого $n\geq 1$ определим $c_{n}:=c_{n}(\theta)$ такое, что $\mu([x_{cr}, c_{n}]) = \theta\cdot\mu([x_{cr}, f^{q_{n}} (x_{cr})]),$ где $q_{n}$ --- время первого возврата линейного вращения $f_{\overline{\rho}}.$ Мы исследуем закон сходимости перемасштабированного точечного процесса времени попадания. Мы показываем, что предельное распределение сингулярно относительно меры Лебега.

Настоящая работа посвящена теореме Шимоды о голоморфности функции $f(z,w)$, которая является голоморфной по $w\in V$ при фиксированном $z\in U$ и голоморфна по $z\in U$ при фиксированном $w\in E$, где $E\subset V$ - счетное множество, по крайней мере, с одной предельной точкой в $V$. Шимода доказывает, что в этом случае $f(z,w)$ голоморфно в $U\times V$, за исключением нигде не плотного замкнутого подмножества $U\times V.$ Рассматривается обратная задача и доказывается, что для любого заранее заданного нигде не плотного замкнутого подмножества $S\subset U$ существует голоморфная функция, удовлетворяющая теореме Шимоды на $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, не голоморфная на $S\times V$. Кроме того, исследованы дополнительные условия, которые влекут за собой пустые множества особенностей в теореме Шимоды. Доказывается обобщение в случае, когда функция имеет переменный радиус голоморфности по одному из направлений.

Изучение фазового перехода является одной из центральных проблем статистической механики. Он происходит, когда для модели существуют по крайней мере две различные меры Гиббса. Известно, что для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями при достаточно низких температурах существуют не более $2^{q}-1$ трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса. Для непрерывных гамильтонианов меры Гиббса образуют непустое, выпуклое, компактное подмножество в пространстве всех вероятностных мер. Экстремальные меры, которые соответствуют крайним точкам этого множества, определяют чистые фазы. Мы изучаем экстремальность трансляционно-инвариантных расщепленных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли третьего порядка. Мы определяем области, в которых изучаемые трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этой модели являются экстремальными или не являются экстремальными. Мы сводим описание мер Гиббса к решению нелинейного функционального уравнения, каждое решение которого соответствует одной предельной мере Гиббса.

Предложена математическая модель динамики популяций хищника и жертвы в виде гибридной динамической системы, состоящей из двух двумерных систем, переключающихся между собой. Переключения систем позволяют моделировать особый режим убежища (refuge), при котором число жертв слишком мало, и хищникам трудно их обнаружить. Исследованы режимы скольжения по методу Филиппова. Проведена регуляризация представленной модели посредством использования двух линий переключения с целью избежать очень частых переключения (chattering) между системами. Для регуляризованной модели найдены предельные множества. Предложен сценарий самоорганизации системы, при котором невозможен неограниченный рост популяций. Проводится исследование чувствительности по отношению к параметру, задающему линии переключения. Важным результатом исследования является то, что при достаточно малом изменении линий переключения качественное поведение системы сохраняется.

В настоящей статье мы излагаем новое понятие квазистатистически грубой сходимости в градуальных нормированных линейных пространствах. Мы устанавливаем важные результаты, которые представляют несколько фундаментальных свойств этого нового понятия. Мы также вводим понятие $st_{q}^{r}(\mathcal{G})$-предельного множества и доказываем, что оно градуально замкнуто, выпукло и играет важную роль для квазистатистической ограниченности последовательности в градуальном нормированном линейном пространстве.

Исследуются нелинейная дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения, а также релаксации игровой задачи сближения (имеется в виду ослабление условий окончания игры сближения). Рассматривается вариант метода программных итераций, реализуемый в пространстве функций и доставляющий в пределе функцию цены ДИ на минимакс-максимин для специальных функционалов траектории. Данная предельная функция реализует для каждой позиции игры наименьший размер окрестности целевого множества, для которого при пропорциональном ослаблении фазовых ограничений игрок, заинтересованный в сближении, еще гарантирует его осуществление. Исследуются свойства вышеупомянутых функционалов и предельной функции. В частности, получены достаточные условия реализации значений данной функции при выполнении конечного числа итераций.

Рассматривается проблема эффективной вычислимости разрешимых моделей классификации конечных объектов. Исследуется конструктивизация условий симультанности (предельно короткого цикла) принятия решения в классификации. Симультанность ("однотактность") достигается параллельным сравнением компонент неизвестной реализации с информативными элементами всех эталонов в обучающей выборке. Конструктивизация условий симультанности предусматривает: выделение информативных элементов (идентификационных меток) в информативных зонах классифицируемых множеств; параллельное покомпонентное сравнение неизвестной реализации конечного объекта с информативными элементами всех эталонов из обучающей выборки. Полученные результаты симультанной схемы принятия решений в классификации интерпретируются в нейронных сетях, в обобщенной модели распознавания, в задачах идентификации.

Рассматриваются так называемые стандартные управляемые системы, это системы дифференциальных уравнений, заданных на гладких многообразиях конечной размерности, равномерно непрерывные и ограниченные по времени на числовой прямой и локально липшицевы по фазовым переменным. Кроме того, предполагается, что задано компактное множество, задающее геометрические ограничения на допустимые управления и, кроме того, выполнено условие невырожденности, означающее, что для каждой точки фазового многообразия и всех моментов времени найдется управление, при котором значение векторного поля содержится в евклидовом пространстве, касательном к фазовому многообразию в заданной точке.

При помощи модифицированного метода функции Ляпунова и построения омега-предельного множества соответствующей динамической системы сдвигов сформулированы утверждения о существовании ограниченных на положительной полуоси допустимых управляемых процессов и утверждение о равномерной локальной управляемости соответствующего магистрального процесса.