Все выпуски

Рассматривается вопрос о существовании рекуррентных и почти рекуррентных сечений многозначных отображений R ∋ t → F(t) ∈ compU с непустыми компактными образами F(t) в полном метрическом пространстве U. На множестве compU вводится метрика Хаусдорфа dist. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения определяются как функции со значениями в метрическом пространстве (compU, dist). Доказано существование рекуррентных (почти рекуррентных) сечений многозначных рекуррентных (соответственно, почти рекуррентных) равномерно абсолютно непрерывных отображений. Рассматриваются также отображения R ∋ t → F(t), образы которых состоят из конечного числа точек (зависящего от t). Доказано, что если такое отображение почти рекуррентно, то у него существует почти рекуррентное сечение. Многозначное рекуррентное отображение, образы F(t) которого для всех t ∈ R состоят не более чем из n точек (где n ∈ N), имеет рекуррентное сечение. Если образы многозначного рекуррентного (почти рекуррентного) отображения t → F(t) при всех t ∈ R состоят из n точек, то все n непрерывных сечений отображения F рекуррентны (почти рекуррентны).

Работа посвящена изучению наилучших равномерных рациональных приближений (НРРП) непрерывных функций на компактных, в том числе конечных, подмножествах числовой оси $\mathbb{R}$. Показано, что НРРП на конечном множестве существует не всегда. Более подробно изучен алгоритм Гельмута Вернера поиска НРРП вида $P_m/Q_n = \sum\limits_{i=0}^m a_i x^i \big/ \sum\limits_{j=0}^n b_j x^j$ для функций на множестве из $N=m+n+2$ точек $x_1<\ldots<x_N$. Этот алгоритм может использоваться в алгоритме Ремеза поиска НРРП на отрезке. При работе алгоритма Вернера вычисляется $(n+1)$ вещественное собственное значение $h_1,\ldots,h_{n+1}$ для пучка матриц $A-hB$, где $A$ и $B$ - некоторые симметричные матрицы. Каждому собственному значению сопоставляется своя рациональная дробь вида $P_m/Q_n$, являющаяся кандидатом на наилучшее приближение. Поскольку не более одной из этих дробей свободны от полюсов на отрезке $[x_1, x_N]$, то возникает задача отыскания того собственного значения, которому соответствует рациональная дробь без полюсов. В работе показано, что если $m=0$, все значения $f(x_1),-f(x_2),\ldots,(-1)^{n+2} f(x_{n+2})$ различны и НРРП положительно (отрицательно) во всех точках $x_1,\ldots,x_{n+2}$, то это собственное значение занимает $[(n+2)/2]$-е ($[(n+3)/2]$-е) место по величине. Приведены три численных примера, иллюстрирующих это утверждение.

Утверждается, что если в дополнение к условиям существования и единственности решения x(t, t₀, μ) n-векторной задачи Коши dx/dt = f(t, x, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), x(t₀) = x₀ и непрерывной зависимости его от параметра μ ∈ M потребовать равностепенную непрерывность семейства {f(t, x, ·)}_(t,x), то x(t, t₀, μ) равномерно непрерывно зависит от параметра μ на открытом множестве M. Для линейной n×n-матричной задачи Коши dX/dt = A(t, μ)X + (t, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), X(t₀, μ) = X₀(μ) аналогичное утверждение доказывается в предположении равномерной произвольной малости интегралов ∫_I||A(t, μ₁) − A(t, μ₂)|| dt и ∫_I||(t, μ₁) − (t, μ₂)|| dt при достаточной малости ||μ₁ − μ₂|| (μ₁, μ₂ ∈ M).

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

Рассматривается динамическая система сдвигов в пространстве ℜ непрерывных функций, принимающих значения в полном метрическом пространстве (clos(Rⁿ), ρ_cl)
непустых замкнутых подмножеств в Rⁿ. Расстояние между функциями в этом пространстве определяется с помощью аналога метрики Бебутова в пространстве вещественных функций, определенных и непрерывных на всей числовой оси. Показано, что для компактности замыкания траектории точки в ℜ достаточно, чтобы исходная функция была ограничена и равномерно непрерывна в метрике ρ_cl. Как следствие, доказано, что замыкание траектории рекуррентного движения или траектории почти периодического движения в ℜ компактно.

Исследовано свойство равномерной полной управляемости (по Калману) линейной управляемой системы с дискретным временем

$$x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t), \quad t\in\mathbb{N}_0, \quad (x,u)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m. \qquad(1)$$

Установлено, что если система $(1)$ равномерно вполне управляема, то матрица $A(\cdot)$ вполне ограничена на $\mathbb N_0$ (т.е. $\sup_{t\in\mathbb{N}_0}(|A(t)|+|A^{-1}(t)|)<+\infty$), а матрица $B(\cdot)$ ограничена на $\mathbb{N}_0$. Доказано, что система $(1)$ равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда при некотором $\vartheta\in \mathbb N$ при всех $\tau\in\mathbb N_0$ для матриц

$$W_1(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(t,s+1)B(s)B^*(s)X^*(t,s+1),\quad$$

  $$W_2(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1} X(\tau,s+1)B(s)B^*(s)X^*(\tau,s+1)$$

выполнены неравенства $\alpha_1 I\leqslant W_1(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_1 I$, $\alpha_2 I\leqslant W_2(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_2 I$ с некоторыми положительными $\alpha_i$ и $\beta_i$. На основании этого утверждения доказан критерий равномерной полной управляемости системы $(1)$, аналогичный критерию Тонкова равномерной полной управляемости систем с непрерывным временем: система $(1)$ $\vartheta$-равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда матрица $A(\cdot)$ вполне ограничена на $\mathbb N_0$; матрица $B(\cdot)$ ограничена на $\mathbb N_0$; существует число $\ell=\ell(\vartheta)>0$ такое, что для любого $\tau\in\mathbb{N}_0$ и для любого $x_1\in\mathbb{R}^n$ существует управление $u(t)$, $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$, которое переводит решение системы $(1)$ из точки $x(\tau)=0$ в точку $x(\tau+\vartheta)=x_1$ при этом выполнено неравенство $|u(t)|\leqslant \ell |x_1|$, $t\in[\tau,\tau+\vartheta)$.

Рассматривается линейная управляемая система $$\dot x=A(t)x+B(t)u,\quad t\in\mathbb R,\quad x\in\mathbb R^{n},\quad u\in\mathbb R^{m}, \qquad \qquad (1)$$ в предположении непрерывности по $t$ и $s$ матрицы Коши $X(t,s)$ свободной системы $\dot x=A(t)x$. На каждом отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ фиксированной длины $\vartheta$ задается нормированное пространство $Z_{\tau}$ функций, определенных на этом отрезке. Управление $u$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$ называется допустимым, если $u\in Z_{\tau}$ и существует $\mathcal Q_{\tau}(u):=\int_{\tau}^{\tau+\vartheta}X(\tau,s)B(s)u(s)\,ds$. Векторное подпространство $U_{\tau}$ пространства $Z_{\tau}$, на котором определен оператор $\mathcal Q_{\tau}$, называется пространством допустимых управлений для системы $(1)$ на отрезке $[\tau,\tau+\vartheta]$. Предложено определение равномерной полной управляемости системы $(1)$ для случая произвольной зависимости пространства допустимых управлений от момента начала процесса управления. Получены прямые и двойственные необходимые и достаточные условия равномерной полной управляемости линейной системы в этой ситуации. Показано, что при должном выборе пространства допустимых управлений полученные условия эквивалентны классическим определениям равномерной полной управляемости.

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации нормальной производной потенциала простого слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho =(r^{2} -d^{2} )^{1/2} $, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^{5}$, а также на самой границе. Также доказано, что на границе аппроксимации по аналогии с точной функцией терпят разрыв, величина которого пропорциональна значениям интерполированной функции плотности, но могут быть доопределены на границе до функций, непрерывных или на замкнутой внутренней, или на замкнутой внешней приграничной области. Теоретические выводы о равномерной сходимости подтверждены результатами вычисления нормальной производной вблизи границы единичного круга.

Результаты исследований Е.Л. Тонкова и Е.А. Панасенко распространяются на дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием. В терминах функций Ляпунова и производной Кларка получены теоремы сравнения для систем с импульсным воздействием. Рассматривается множество $\mathfrak M\doteq\bigl\{(t,x)\in[t_0,+\infty)\times\mathbb{R}^n: x\in M(t)\bigr\},$ заданное непрерывной функцией $t\rightarrow M(t)$, где для каждого $t \in [t_0,+\infty)$ множество $M(t)$ непусто и компактно. Получены условия положительной инвариантности данного множества, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение с исследованиями других авторов, которые рассматривали вопросы устойчивости нулевого решения для аналогичных систем.