Все выпуски

Настоящая работа посвящена теореме Шимоды о голоморфности функции $f(z,w)$, которая является голоморфной по $w\in V$ при фиксированном $z\in U$ и голоморфна по $z\in U$ при фиксированном $w\in E$, где $E\subset V$ - счетное множество, по крайней мере, с одной предельной точкой в $V$. Шимода доказывает, что в этом случае $f(z,w)$ голоморфно в $U\times V$, за исключением нигде не плотного замкнутого подмножества $U\times V.$ Рассматривается обратная задача и доказывается, что для любого заранее заданного нигде не плотного замкнутого подмножества $S\subset U$ существует голоморфная функция, удовлетворяющая теореме Шимоды на $U\times V\subset {\mathbb C}^{2}$, не голоморфная на $S\times V$. Кроме того, исследованы дополнительные условия, которые влекут за собой пустые множества особенностей в теореме Шимоды. Доказывается обобщение в случае, когда функция имеет переменный радиус голоморфности по одному из направлений.

В ограниченной по переменной $z$ области, имеющей слабо горизонтальную неоднородность, исследуется задача определения сверточного ядра $k(t,x)$, $t>0$, $x\in {\Bbb R}$, входящего в гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение второго порядка. Предполагается, что это ядро слабо зависит от переменной $x$ и разлагается в степенной ряд по степеням малого параметра $\varepsilon$. Построен метод нахождения первых двух коэффициентов $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ этого разложения по заданным первым двум моментам по переменной $x$ решения прямой задачи при $z=0$.

Изучается многомерный случай нелинейной системы реакции-диффузии, моделируемый системой двух уравнений параболического типа со степенными нелинейностями. Такого рода системы можно применять для моделирования процесса распространения в пространстве взаимодействующих распределенных формаций роботов двух типов. Такие уравнения описывают также процессы нелинейной диффузии в реагирующих двухкомпонентных сплошных средах. Предложен оригинальный вариант метода редукции, сводящий построение зависимости точного решения от пространственных переменных к решению уравнения Гельмгольца, а зависимости от времени — к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Построен ряд примеров многопараметрических семейств точных решений, задаваемых элементарными функциями.

В статье рассмотрены задачи, связанные с разложением регулярной кватернион-функции в обобщенные ряды Тейлора и Лорана. Обобщенный ряд Тейлора для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши в 4-мерном гипершаре в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. Обобщенный ряд Лорана для регулярной кватернион-функции получен путем разложения ядра Коши во внешности 4-мерного гипершара в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат. На основе полученных решений при рассмотрении разложения регулярной кватернион-функции в бесконечно малом шаре, который ограничен 3-сферой, задано правило определения вычета регулярной кватернион-функции в алгебре кватернионов и в системе гиперсферических координат относительно изолированной особой точки. Также найдено разложение мероморфной кватернион-функции в степенной ряд.

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в кольце с двумя независимыми переменными. Для построения асимптотического разложения решения задачи применяется модифицированная схема метода пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева. Предлагаемый метод отличается от метода согласования тем, что нарастающие особенности внешнего разложения фактически из него убираются и с помощью вспомогательного асимптотического ряда полностью вносятся во внутренние разложения, а от классического метода пограничных функций здесь пограничные функции убывают степенным характером, а не экспоненциально. Асимптотическое разложение решения представляет собой ряд Пюизё. Полученное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле обосновано принципом максимума.

Исследуются движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). Рассматриваются значения параметров, для которых в предельном случае круговой орбиты одна из частот малых линейных колебаний равна единице, а другая нулю, и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен двум, а также малая окрестность этой резонансной точки в трехмерном пространстве параметров. Построены резонансные периодические движения спутника, аналитические по дробным степеням малого параметра (эксцентриситета орбиты центра масс спутника), проведен строгий нелинейный анализ их устойчивости. Методами КАМ-теории описаны двух- и трехчастотные условно-периодические движения спутника, с частотами разного порядка по малому параметру. Обсуждается ряд общетеоретических вопросов, касающихся рассматриваемого кратного параметрического резонанса в близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Построено несколько качественно различных вариантов областей параметрического резонанса. Показано, что в общем случае характер нелинейных резонансных колебаний системы определяется системой первого приближения по малому параметру.

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов, которую образуют интегралы импульса, момента импульса игалилеева момента.

Рассмотрены  системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности α=-2. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. Систематически описана новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения
порядка гамильтоновых систем.

В статье также приводится ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности α=-2, а также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.