Все выпуски

В статье исследуются свойства функции цены задачи оптимального управления на бесконечном горизонте с неограниченным подынтегральным индексом, входящим в функционал качества с дисконтирующим множителем. Выводится оценка аппроксимации функции цены в задаче с бесконечным горизонтом значениями функции цены в задачах с удлиняющимся конечным горизонтом. Выявляется структура функции цены через значения стационарной функции цены, зависящей только от фазовой переменной. Дается описание асимптотики роста значений функции цены для функционалов качества различного вида, принятых в экономическом и финансовом моделировании: логарифмических, степенных, экспоненциальных, линейных. Устанавливается свойство непрерывности функции цены и выводятся оценки гёльдеровских параметров непрерывности. Полученные оценки необходимы для разработки сеточных алгоритмов построения функций цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом.

В статье рассматриваются приближенные решения неантагонистических дифференциальных игр. Приближенное равновесие по Нэшу может быть построено по заданному решению вспомогательной стохастической игры с непрерывным временем. Мы рассматриваем случай, когда динамика вспомогательной игры задается марковской цепью с непрерывным временем. Для этой игры функция цены определяется решением системы обыкновенных дифференциальных включений. Таким образом, мы получаем конструкцию приближенного равновесия по Нэшу с выигрышами игроков, близкими к решениям системы обыкновенных дифференциальных включений. Также предложен способ построения марковской игры с непрерывным временем, аппроксимирующей исходную игру.

Дифференциальные включения типа среднего поля возникают в рамках теории управления средним полем при овыпуклении правой части. Мы исследуем случай, когда правая часть дифференциального включения зависит от положения агента и от распределения всех агентов полунепрерывно. Основной результат статьи состоит в доказательстве существования и стабильности решений дифференциальных включений типа среднего поля. Также мы показываем полунепрерывную снизу зависимость функции цены задачи оптимального управления средним полем от начального состояния и параметра.

В статье рассматривается аппроксимация функции цены антагонистической дифференциальной игры с критерием, задаваемым условием минимизации некоторой величины вдоль реализовавшейся траектории, решениями стохастических игр с непрерывным временем и моментом остановки, управляемым одним из игроков. Отметим, что если в качестве вспомогательной игры выбрана стохастическая дифференциальная игра, то ее функция цены задается параболическим уравнением второй степени в частных производных с дополнительными ограничениями в форме неравенств, в то время как для случая вспомогательной игры с динамикой, задаваемой марковской цепью, функция цены определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительными ограничениями. Развиваемый в статье метод аппроксимации основан на концепции стохастического поводыря, впервые предложенном в работах Н.Н. Красовского и А.Н. Котельниковой.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

Рассматривается антагонистическая линейно-выпуклая дифференциальная игра с показателем качества, оценивающим совокупность отклонений траектории движения в наперед заданные моменты времени от заданных целевых точек. Исследуется случай, когда не выполняется условие седловой точки в маленькой игре, также известное как условие Айзекса. Игра формализуется в классах смешанных стратегий управления игроков. Описывается численный метод для приближенного вычисления цены игры и построения оптимальных стратегий. Метод основывается на попятном построении выпуклых сверху оболочек вспомогательных программных функций. Приводятся результаты численных экспериментов на модельных примерах.

Изучается поведение оптимальных решений и функции цены в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке времени, возникающих в моделях экономического роста, когда параметр эластичности производственной функции Кобба–Дугласа растет до своего предельного значения, равного единице. Решение задачи строится в рамках принципа максимума Понтрягина, адаптированного к задачам на бесконечном промежутке времени. В предельном случае задача вырождается в линейную с постоянным оптимальным управлением, зависящим от параметров модели. Качественное исследование гамильтоновых систем обнаруживает ряд значительных изменений в поведении решений, таких как отсутствие стационарного положения в предельном случае. Тем не менее, гамильтониан и максимизированный гамильтониан задачи сохраняют свои свойства гладкости по всем переменным и вогнутости по фазовым переменным. Также в работе строится функция цены для обеих задач управления и приводятся результаты численных экспериментов для иллюстрации проведенных исследований.

Рассматривается нелинейная однотипная дифференциальная игра с фиксированным моментом окончания. Платой является норма фазового вектора. Вычислена функция цены игры и найдены оптимальные стратегии игроков.

Исследуются нелинейная дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения, а также релаксации игровой задачи сближения (имеется в виду ослабление условий окончания игры сближения). Рассматривается вариант метода программных итераций, реализуемый в пространстве функций и доставляющий в пределе функцию цены ДИ на минимакс-максимин для специальных функционалов траектории. Данная предельная функция реализует для каждой позиции игры наименьший размер окрестности целевого множества, для которого при пропорциональном ослаблении фазовых ограничений игрок, заинтересованный в сближении, еще гарантирует его осуществление. Исследуются свойства вышеупомянутых функционалов и предельной функции. В частности, получены достаточные условия реализации значений данной функции при выполнении конечного числа итераций.

Рассматривается приложение динамической модели оптимального времени остановки к задаче оптимизации инновационного процесса в конкурентоспособной рыночной среде. Предлагается алгоритм построения оптимального времени коммерциализации и оптимального инвестиционного плана. Дан анализ точек экстремума для моделей с кусочно-гладкими функциями распределения рынка.