Все выпуски

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

В статье рассматривается аппроксимация функции цены антагонистической дифференциальной игры с критерием, задаваемым условием минимизации некоторой величины вдоль реализовавшейся траектории, решениями стохастических игр с непрерывным временем и моментом остановки, управляемым одним из игроков. Отметим, что если в качестве вспомогательной игры выбрана стохастическая дифференциальная игра, то ее функция цены задается параболическим уравнением второй степени в частных производных с дополнительными ограничениями в форме неравенств, в то время как для случая вспомогательной игры с динамикой, задаваемой марковской цепью, функция цены определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительными ограничениями. Развиваемый в статье метод аппроксимации основан на концепции стохастического поводыря, впервые предложенном в работах Н.Н. Красовского и А.Н. Котельниковой.

The paper is concerned with the approximation of the value function of the zero-sum differential game with the minimal cost, i.e., the differential game with the payoff functional determined by the minimization of some quantity along the trajectory by the solutions of continuous-time stochastic games with the stopping governed by one player. Notice that the value function of the auxiliary continuous-time stochastic game is described by the Isaacs–Bellman equation with additional inequality constraints. The Isaacs–Bellman equation is a parabolic PDE for the case of stochastic differential game and it takes a form of system of ODEs for the case of continuous-time Markov game. The approximation developed in the paper is based on the concept of the stochastic guide first proposed by Krasovskii and Kotelnikova.

В статье рассматривается задача о приведении движения нелинейной управляемой системы в начало координат при заданном интегральном ресурсе управления на конечном промежутке времени. Исследуется вопрос о построении локального синтеза управления, решающего задачу, в предположении, что промежуток времени, в течение которого осуществляется перевод системы, достаточно мал. Указаны достаточные условия, при выполнении которых задачу можно решить путем приближенной замены нелинейной системы ее линеаризацией в окрестности начала координат.

The paper considers the problem of leading a nonlinear control system to the origin of coordinates at a given integral control resource on a finite time interval. We investigate the question of the construction of local control synthesis that solves the problem, assuming that the time interval during which the system is moved is sufficiently small. We indicate sufficient conditions under which the problem can be solved by the approximate replacement of the nonlinear system by its linearization in the neighborhood of the origin.

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a system of ordinary differential equations with pointwise phase equality constraint and a finite number of functional equality and inequality constraints. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space and, thirdly, it is resistant to errors of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the methods of dual regularization and iterative dual regularization.

Для задачи оптимального управления линейным параболическим уравнением с распределенным, начальным и граничным управлениями и с операторным полуфазовым ограничением типа равенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собой регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. Приводятся результаты модельных расчетов при решении конкретной задачи оптимального управления, иллюстрирующих работу алгоритма, основанного на регляризованном итерационном принципе максимума Понтрягина. В качестве конкретной оптимизационной задачи рассмотрена задача поиска минимальной по норме тройки управлений при операторном ограничении-равенстве в финальный момент времени, или, другими словами, обратная задача финального наблюдения по поиску ее нормального решения.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a linear parabolic equation with distributed, initial and boundary controls and operator semiphase equality constraint. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space, and thirdly, it is resistant to error of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the dual regularization methods and iterative dual regularization. The results of model calculations of the concrete optimal control problem illustrating the work of the algorithm based on the regularized iterative Pontryagin maximum principle are presented. The problem of finding a control triple with minimal norm under a given equality constraint at the final instant of time or, in other words, the inverse final observation problem of finding a normal solution is used as a concrete model optimal control problem.

Изучается дифференциальная игра преследования со многими преследователями и одним убегающим. Игра описывается бесконечной системой $m$ инерционных уравнений. По определению преследование завершается, если состояние одной из систем и его производная равны нулю в некоторый момент времени. В литературе такое условие завершения игры называется мягкой посадкой. В терминах энергий игроков получено условие, которое является достаточным для завершения преследования в игре. Также построены стратегии преследующих, гарантирующие завершение преследования в игре.

We study a pursuit differential game of many pursuers and one evader. The game is described by the infinite systems of $m$ inertial equations. By definition, pursuit in the game is completed if the state and its derivative of one of the systems are equal to zero at some time. In the literature, such a condition of completion of pursuit is also called soft landing. We obtain a condition in terms of energies of players which is sufficient for completion of pursuit in the game. The pursuit strategies are also constructed.

Сформулированы теоремы о существовании решений, оценках решений и корректной разрешимости уравнений с накрывающими отображениями в произведении метрических пространств. Рассмотрены условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. Утверждения о накрывающих отображениях применяются к исследованию управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной искомой функции. Получены условия существования решений и их оценки, а также исследован вопрос непрерывной зависимости решений от параметров управляемых систем дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями на управление и дополнительным ограничением на производную решения.

Theorems on solvability, estimates of solutions, and well-posed solvability of equations with covering mappings in the product of metric spaces are formulated. Conditions for the Nemytskii operator to be a covering operator in functional spaces are considered. Statements about covering mappings are applied to studying the controlled systems described by ordinary differential equations unsolved for the derivative. For controlled differential systems with mixed constraints on control and an additional constraint on the solution's derivative, conditions of solvability are received as well as solutions' estimates, the question of continuous dependence of solutions on parameters is investigated.

Рассматривается задача оптимизации гарантированного результата для управляемой системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, и функционала качества, непрерывно зависящего от траектории системы. Значения управления и помехи ограничены в каждый момент компактными множествами. Предполагается также, что помеха стеснена некоторым неизвестным функциональным ограничением из заданного семейства ограничений.

Показано, что в данной задаче оптимальный гарантированный результат совпадает со значением нижней (максиминной) игры. Для получения эффективно реализуемых алгоритмов управления указываются дополнительные условия на правую часть рассматриваемой управляемой системы и подходящие способы построения оптимальной стратегии.

The problem of the optimization of a guaranteed result for the control system, described by an ordinary differential equation, and a continuous payoff functional, is considered. At every moment the values of the control and of the disturbance are in the given compact sets. The disturbances as functions of time are subject to functional constraints belonging to a given family of constraints. The actions of control are formed by the strategies with full memory.

It is demonstrated, that optimal guaranteed result in this problem is equal to the value of the lower game. For the effectiveness of implemented control algorithm additional conditions on the system and appropriate ways of constructing an optimal strategy are specified.

В данной работе изучаются игровые задачи преследования, описываемые системой уравнений с запаздывающим аргументом при интегральных ограничениях на управления игроков. В предлагаемой схеме используются идеи метода разрешающих функций. Предлагаются модификации методов (то есть первого и так называемого третьего методов) преследования в случае, когда на управления игроков наложены интегральные ограничения. Получены достаточные условия для возможности завершения преследования за конечное время.

In this paper, we study pursuit game problems described by a system of equations with a retarded argument under integral constraints on the players' controls. The proposed scheme uses the ideas of the method of resolving functions. Modifications of methods (i.e., the first and so-called third methods) [1,3,12] of pursuit are proposed in the case when integral constraints are imposed on the players' controls. Sufficient conditions are obtained for the possibility of completing the pursuit in a finite time.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.