Все выпуски

Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются конфликтно управляемые процессы с участием группы управляемых объектов (хотя бы с одной из противоборствующих сторон). При этом наибольшую трудность для исследований представляют задачи конфликтного взаимодействия между двумя группами управляемых объектов. Специфика этих задач требует создания новых методов их исследования. В данной работе рассматривается нелинейная задача группового преследования группы жестко скоординированных (то есть использующих одинаковое управление) убегающих при условии, что маневренность убегающих выше. Цель убегающих - обеспечить мягкое убегание всей группы. Под мягким убеганием понимается несовпадение геометрических координат, ускорений и так далее для убегающего и всех преследователей. Для любых начальных позиций участников построено позиционное управление, обеспечивающее мягкое убегание от группы преследователей всех убегающих.

A natural generalization of differential two-person games is conflict controlled processes with a group of controlled objects (from at least one of the conflicting sides). The problems of conflict interaction between two groups of controlled objects are the most difficult-to-research. The specificity of these problems requires new methods to study them. This paper deals with the nonlinear problem of pursuing a group of rigidly coordinated evaders (i.e. using the same control) by a group of pursuers under the condition that the maneuverability of evaders is higher. The goal of evaders is to ensure weak evasion for the whole group. By weak evasion we mean non-coincidence of geometrical coordinates, speeds, accelerations and so forth for the evader and all pursuers. The position control is constructed for all possible initial positions of the participants; this control guarantees a weak evasion for all evaders.

Рассматривается линейная управляемая система с неполной обратной связью с дискретным временем

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

Исследуется задача управления асимптотическим поведением замкнутой системы

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.                (1)

Здесь K=C или K=R. Для такой системы вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследовано свойство согласованности системы (1), получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности системы (1), в том числе в стационарном случае. Для стационарной системы вида (1) исследуется задача о глобальном управлении спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы (1) с помощью стационарного управления U к произвольному наперед заданному полиному. Для системы (1) с постоянными коэффициентами специального вида, когда матрица A имеет форму Хессенберга, а в матрицах B и C все строки соответственно до p-й и после p-й (не включая p) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Ранее было доказано, что обратное утверждение верно для n<4 и неверно для n>5. В настоящей работе доказано, что обратное утверждение верно для n=4.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

We study the problem of control over the asymptotic behavior of the closed-loop system

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.               (1)

where K=C or K=R. For the above system, we introduce the concept of consistency, which is a generalization of the concept of complete controllability onto systems with an incomplete feedback. The focus is on the consistency property of the system (1). We have obtained new necessary conditions and sufficient conditions for the consistency of the above system including the case when the system is time-invariant. For the time-invariant system (1), we study the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The objective is to reduce a characteristic polynomial of a matrix of the stationary system (1) to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control U. For the system (1) with constant coefficients of the special form where the matrix A is Hessenberg, the rows of the matrix B before the p-th and the rows of the matrix C after the p-th are equal to zero (not including p), the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. It has been proved that the converse proposition is true for n<4 and false for n>5. In present paper we prove that the converse proposition is true for n=4.

Рассматривается задача оптимального управления системой бесконечного числа однотипных агентов. Пространство допустимых для агентов состояний является конечным. В рассматриваемой постановке имеется общий для всех агентов оптимизируемый функционал и общий центр управления, выбирающий стратегию для агентов. Предполагается, что выбираемая стратегия является позиционной. В настоящей работе рассматривается случай, когда динамика состояний агентов задается некоторой марковской цепью с непрерывным временем. Предполагается, что матрица Колмогорова этой цепи в каждом состоянии зависит от текущего состояния, выбранного управления и распределения всех агентов. Для такой задачи в работе показано, что решение в классе позиционных стратегий может быть построено на основе решения детерминированной задачи оптимального управления в конечномерном фазовом пространстве.

We consider an optimal control problem for an infinite amount of agents of the same type. We assume that agents have a finite state space. The given formulation of the problem involves an objective functional that is common for all agents and a common control center that chooses a strategy for agents. A chosen strategy is supposed to be positional. In this paper we consider a case when the dynamics of agents is given by a Markov chain with continuous time. It is assumed that the Kolmogorov matrix of this chain in each state depends on the current state, the chosen control and the distribution of all agents. For the original problem, it is shown that concerning positional strategies the solution can be obtained through the solution of the deterministic control problem in a finite-dimensional phase space.

В статье рассматривается экстремальная задача маршрутизации с ограничениями. В общей формулировке предполагается, что объектами посещения являются любые непустые конечные множества — мегаполисы. Основной прикладной задачей, рассматриваемой в данном исследовании, является задача оптимизации траектории движения инструмента для станков листовой резки с ЧПУ, известная как проблема пути резания. Эта проблема возникает на этапе разработки управляющих программ для станков с ЧПУ. Возможны и другие приложения. В частности, результаты исследования могут быть использованы в задаче минимизация дозы облучения при демонтаже системы радиационно-опасных элементов после аварий на АЭС и в транспортных проблемах. В качестве ограничений исследуются ограничения предшествования. Они могут быть использованы для уменьшения вычислительной сложности. В качестве основного метода исследования использовалось широко понимаемое динамическое программирование. Предлагаемая реализация метода учитывает ограничения предшествования и зависимость целевых функций от списка задач. Последняя относится к классу очень сложных состояний, которые определяют допустимость маршрута на каждом шаге маршрутизации, в зависимости от уже выполненных или, наоборот, еще не завершенных задач. Применительно к задаче резки зависимость целевой функции от списка задач позволяет уменьшать термические деформации материала при резке. В работе математическая формализация экстремальной задачи маршрутизации с дополнительными ограничениями, описание метода и полученный с его помощью точный алгоритм. Оптимизации подлежат порядок выполнения задач, конкретная траектория процесса, и его начальная точка.

The paper deals with an extremal routing problem with constraints. In the general formulation, it is assumed that the objects of visiting are any non-empty finite sets — megalopolises. The main applied problem considered in this study is the tool path optimization problem for CNC sheet-cutting machines, known as the Cutting Path Problem. This problem arises at the stage of developing control programs for CNC machines. Other applications are also possible. In particular, the results obtained in the chapter can be used in the problem of minimizing the radiation dose when dismantling a system of radiation-hazardous elements after accidents at nuclear power plants and in transport problems. Among tasks constraints, the precedence constraints are investigated. These constraints can be used to reduce computational complexity. As the main method, the study used broadly understood dynamic programming. The offered realization of the method takes into account the precedence constraints and the dependence of the objective functions on the task list. This dependence belongs to the class of very complex conditions that determine the route admissibility at each routing step, depending on the tasks already completed or, on the contrary, not yet completed. As applied to the Cutting Path Problem, the dependence of the objective function on the task list makes it possible to reduce thermal deformations of the material during cutting. The chapter provides a mathematical formalization of an extremal routing problem with additional constraints, a description of the method, and the exact algorithm obtained with its help. The order of task execution, the specific trajectory of the process, and the starting point are optimized.

В работе изучена следующая задача: для линейной автономной дифференциально-разностной системы нейтрального типа с запаздыванием в состоянии требуется обеспечить ее полное успокоение с помощью обратной связью. Для решения указанной задачи предложен линейный автономный динамический дифференциально-разностный регулятор типа обратной связи по состоянию, не выводящий замкнутую систему из исходного класса линейных автономных систем нейтрального типа. Достаточное условие существования такого регулятора совпадает с критерием полной управляемости. Кроме того, замкнутая система будет иметь конечный спектр, что существенно упрощает задачу вычисления текущего состояния в ходе технической реализации регулятора. Основная идея исследования заключается в выборе параметров регулятора так, чтобы замкнутая система стала точечно вырожденной в направлениях, отвечающих фазовым компонентам исходной (разомкнутой) системы. Для этого на начальном этапе исходная система обратной связью приводится к системе запаздывающего типа с одним входом. Далее для полученного объекта строится динамический регулятор, обеспечивающий вырождение соответствующих фазовых компонент.

Предложенная процедура построения управляющего воздействия базируется на алгебраических свойствах оператора сдвига и не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома исходной системы. Возможно ее использование для обеспечения замкнутой системе не только полного успокоения, но и экспоненциальной устойчивости. Однако в последнем случае возникает необходимость использовать динамические регуляторы с обратной связью по состоянию интегрального типа.

This paper examines the following problem: a linear autonomous differential-difference system of neutral type with delay in state requires ensuring its complete calming by feedback. To solve this problem linear autonomous dynamic differential-difference controller with state feedback is proposed; this controller does not exclude a closed system from the original class of linear autonomous systems of neutral type. Sufficient condition for the existence of such a controller coincides with the criterion of complete controllability. In addition, the closed system has a finite spectrum, which simplifies greatly the problem of calculating the current state during the technical implementation of the controller. The basic idea of research is to select parameters for the controller so that the closed system becomes point-degenerated in directions corresponding to phase components of the original (open) system. To do this, the original system is first converted via feedback to the single-input system of retarded type. Further, for the resulting object the dynamic controller that provides the degeneracy of the corresponding phase components is constructed.

The proposed procedure for constructing the control action is based on the algebraic properties of shift operator and does not involve calculating the roots of characteristic quasipolynomial of the original system. It can be used to provide full calming as well as exponential stability to a closed system. However, in the latter case it is necessary to use dynamic controller with state feedback of integral type.

Рассматриваются вопросы, связанные с решением аддитивной задачи последовательного обхода множеств с ограничениями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. В качестве базового метода используется широко понимаемое динамическое программирование (ДП), дополняемое в случае задач ощутимой размерности декомпозициями семейства заданий и преобразованием параметров исходной задачи. Возможные применения связаны, в частности, с задачей управления инструментом при фигурной листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. В этой задаче важным обстоятельством является учет условий предшествования, имеющих, в частности, следующий смысл: в случае детали с отверстиями резка каждого из внутренних контуров (отвечающих отверстиям) должна предшествовать резке внешнего контура. Сам критерий качества в данной задаче, как правило, является аддитивным. Другой тип ограничений касается избежания термических деформаций деталей. При использовании подхода с применением штрафов за нарушение условий, связанных с эффективным отводом тепла при выполнении врезки, возникают функции стоимости, допускающие зависимость от списка заданий, выполненных на текущий момент времени. Заметим, что в другой прикладной задаче, а именно в задаче о демонтаже радиационно опасных объектов, возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий, не выполненных на данный момент (а, следовательно, касающихся недемонтированных объектов). В итоге мы приходим к очень общей задаче с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемая в случае ощутимой размерности декомпозиция с последующей реализацией ДП требует, с одной стороны, разработки методов кластеризации, а, с другой, построения адекватной конструкции распределения глобальных условий предшествования по кластерам. В теоретической части работы обсуждается случай двух кластеров, который позволяет охватить единой схемой целый ряд практически интересных задач диапазонного (в смысле размерности) типа. Указан алгоритм построения композиционного решения, включающий этап обучения кластеризации на основе жадного алгоритма. Данный «композиционный» алгоритм реализован на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.

Issues related to solving the additive problem of sequential traversal of sets with precedence restrictions and cost functions that allow dependence on the list of tasks are considered. The basic method is a broadly understood dynamic programming (DP), supplemented in the case of problems of appreciable dimension by decompositions of the family of tasks and transformation of the parameters of the original problem. Possible applications are related, in particular, to the problem of tool control in figured sheet cutting of parts on CNC machines. In this problem, an important circumstance is taking into account the precedence conditions, which have, in particular, the following meaning: in the case of a part with holes, cutting of each of the internal contours (corresponding to the holes) should precede cutting of the external contour. The quality criterion itself in this problem, as a rule, is additive. Another type of constraints concerns avoiding thermal deformations of parts. When using the approach with penalties for violating the conditions associated with effective heat dissipation during cutting, cost functions arise that allow dependence on the list of tasks completed to date. Note that in another applied problem, namely, in the problem of dismantling radiation hazardous objects, cost functions arise with dependence on the list of tasks that have not been completed at the moment (and, consequently, concern the objects that have not been dismantled). As a result, we arrive at a very general problem with precedence constraints and cost functions with dependence on the list of tasks. The decomposition applied in the case of a noticeable dimensionality with subsequent implementation of the DP requires, on the one hand, the development of clustering methods, and, on the other, the construction of an adequate structure for distributing global precedence conditions among clusters. In the theoretical part of the work, the case of two clusters is discussed, which makes it possible to cover with a single scheme a number of practically interesting problems of a range (in terms of dimensionality) type. An algorithm for constructing a composite solution is indicated, including a stage of clustering training based on a greedy algorithm. This “composite” algorithm is implemented on a PC; a computational experiment was carried out.

Различные задачи управления пучками траекторий составляют важный объект изучения в современной математической теории управления. Такие задачи возникают, например, при изучении движения потока заряженных частиц, а также при наличии неполной информации о начальном состоянии управляемой системы. В настоящей статье для нелинейного управляемого объекта весьма общего вида на фиксированном отрезке времени $[0,T]$ рассматривается задача управления пучками траекторий при неодноточечном начальном множестве. На множестве достижимости в момент $T>0$ изучается задача максимизации заданной непрерывной функции. Эту задачу можно интерпретировать как задачу о разбросе траекторий управляемого объекта. Соответствующий максимум зависит от выбранного допустимого управления $u(\cdot )$. В статье обосновывается существование минимума на множестве допустимых управлений от этого максимума.

Various problems of control of trajectory bundles constitute an important object of study in modern mathematical control theory. Such problems arise, for example, in studying the motion of a flow of charged particles, and also in the presence of incomplete information about the initial state of the controlled system. In the present article, for a nonlinear controlled object of a quite general form on a fixed time interval $[0,T]$, the problem of control of trajectory bundles with a non-single-point initial set is considered. On the reachable set at the moment $T>0$, the problem of maximization of a given continuous function is studied. This problem can be interpreted as a problem on the spread of trajectories of the controlled object. The corresponding maximum depends on the chosen admissible control $u(\cdot )$. In the article, the existence of a minimum on the set of admissible controls from this maximum is substantiated.

Рассматривается плоская модель курсового движения автомобиля, с двумя степенями свободы (боковое перемещение центра тяжести и курсовой угол). Управление осуществляется поворотом управляемых колес. Система рассматривается как замкнутая система автоматического регулирования. В статье рассматривается нахождение «оптимальной» передаточной характеристики, наилучшей в некотором определенном смысле для замкнутой системы. Анализируются возможные критерии оптимизации. Показано, что наиболее подходящим критерием для осуществления управления данным объектом является минимум функционала от отклонения от заданной траектории направляющей точки (точки, расположенной на продольной оси автомобиля впереди по направлению движения) и угла поворота управляемых колес.

A flat model of the motor car’s directional motion with two degrees of freedom (lateral motion of the center of gravity and relative bearing) is considered. The control is performed by turning steering wheels. The system is regarded as a closed automatic control system. The paper discusses finding an optimal transfer characteristic which in some definite sense is the best for the closed system. Possible criteria of optimization are analyzed. It is shown that the minimum of the functional from the off-path jogging of the guiding point (the point located on the longitudinal axis of a motor car ahead in the direction of motion) and the turning angle of the steering wheels is the most appropriate criterion for controlling this object.

Для линейной автономной регулярной алгебро-дифференциальной системы с соизмеримыми запаздываниями в управлении решена задача успокоения решения посредством динамического регулятора по типу обратной связи. Основная идея исследования заключается в выборе параметров регулятора так, чтобы замкнутая система стала точечно вырожденной в направлениях, отвечающих фазовым компонентам исходной (разомкнутой) системы. Для этого исходная система преобразуется к двум подсистемам, одна из которых соответствует алгебраической части, а вторая - дифференциальной. Далее для объекта, соответствующего дифференциальной части, строится динамический регулятор, обеспечивающий вырождение соответствующих фазовых компонент. Отличительной чертой работы является возможность обеспечить замкнутой системе наперед заданный конечный спектр, за счет выбора которого замкнутая система может быть сделана асимптотически устойчивой. Изучается возможность такого управления системой в случае отсутствия у нее свойства полной управляемости. В доказательстве основного результата приводится поэтапная процедура построения такого регулятора. Результаты исследования проиллюстрированы конкретным числовым примером.

For a regular linear autonomous algebraic-differential system with commensurable delays in the controllability, the problem of calming the solution through the feedback dynamic control is solved. The main idea of investigation is to select the controller parameters so that the closed system becomes point-degenerated in directions corresponding to phase components of the source (open) system. For this purpose the source system is converted into two subsystems, one of which corresponds to the algebraic part, and the other - to the differential part. Further, for the object corresponding to the differential part, a dynamic controller is built that provides degeneration of the corresponding phase components. A distinctive feature of this research is the ability to provide a closed system with a predefined finite spectrum, by means of which a closed system can be made asymptotically stable. The possibility of such a control over a system in the absence of its complete controllability is investigated. Within the proof of the main result a gradual procedure for constructing such a controller is presented. The results of the study are illustrated by the specific numerical example.

Рассматривается конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Цель группы преследователей - поймать, а группы убегающих - избежать поимки. Все игроки обладают равными динамическими возможностями. Движение игроков задается дифференциальным уравнением третьего порядка. Все убегающие используют одинаковое управление, поэтому о них можно говорить как о жестко скоординированных инерционных объектах. Доказано, что если выпуклые оболочки, натянутые на начальные ускорения группы преследователей и группы убегающих, не пересекаются, то происходит уклонение от встречи.

A conflict interaction of groups of controlled objects is considered. The pursuers' goal is to catch, and the evaders' goal is to avoid contact with pursuers. All players have equal dynamic capabilities. Players' motion is defined by a third order differential equation. All evaders have equal control, therefore they can be considered as rigidly coordinated inertial objects. It is proved that if the convex hull spanned by pursuers' initial acceleration vector is not intersected with the convex hull spanned by evaders' initial acceleration vector, then the evasion is possible.