Все выпуски

В настоящей работе проведено исследование модели деформаций системы из $n$ стилтьесовских струн, расположенных вдоль геометрического графа-звезды, с нелинейным условием в узле. Соответствующая граничная задача имеет вид $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_{0}^{x}}u_i\,dQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0),\quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i),\quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Здесь функции $u_i(x)$ определяют деформации каждой из струн; $F_i(x)$ описывают распределение внешней нагрузки; $p_i(x)$ характеризуют упругость струн; $Q_i(x)$ описывают упругую реакцию внешней среды. Скачок $\Delta F_i(l_i)$ равняется сосредоточенной в точке $l_i$ внешней силе; скачок $\Delta Q_i(l_i)$ совпадает с жесткостью упругой опоры (пружины), прикрепленной к точке $l_i$. Условие $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ возникает за счет наличия в узле ограничителя, представленного отрезком $[-m,m]$, на перемещение струн под воздействием внешней нагрузки, то есть предполагается, что $|u(0)|\leq m$. Здесь через $N_{[-m,m]}u(0)$ обозначен нормальный конус к $[-m,m]$ в точке $u(0)$. В работе проведен вариационный вывод модели; доказаны теоремы существования и единственности решения; проанализированы критические нагрузки, при которых происходит соприкосновение струн с ограничителем; приведена явная формула представления решения.

In the present paper we study a model of deformations for a system of $n$ Stieltjes strings located along a geometric graph-star with a nonlinear condition at the node. The corresponding boundary value problem has the form $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_0^x}u_idQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0), \quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i), \quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Here the functions $u_i(x)$ determine the deformations of each of the strings; $F_i(x)$ describe the distribution of the external load; $p_i(x)$ characterize the elasticity of strings; $Q_i(x)$ describe the elastic response of the environment. The jump $\Delta F_i(l_i)$ is equal to the external force concentrated at the point $l_i$; the jump $\Delta Q_i(l_i)$ coincides with the stiffness of the elastic support (spring) attached to the point $l_i$. The condition $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ arises due to the presence of a limiter in the node represented by the segment $ [-m,m]$, on the movement of strings under the influence of an external load, thus it is assumed that $|u(0)|\leq m$. Here $N_{[-m,m]}u(0)$ denotes the normal cone to $[-m,m]$ at the point $u(0)$. In the present paper a variational derivation of the model is carried out; existence and uniqueness theorems for solutions are proved; the critical loads at which the strings come into contact with the limiter are analyzed; an explicit formula for the representation of the solution is presented.

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

In this paper we consider an integrable Hamiltonian system on the Lie algebra $so(4)$ with an additional integral of the fourth degree - the Adler-van Moerbeke integrable case. We discuss classical works which explore, on the one hand, the dynamics of a rigid body with cavities completely filled with an ideal fluid performing a homogeneous vortex motion and, on the other hand, are devoted to the study of geodesic flows of left-invariant metrics on Lie groups. The equations of motion, the Hamiltonian function, Lie-Poisson brackets, Casimir functions and the phase space of the case under consideration are given. In previous papers, the investigation of the phase topology of the integrable Adler-van Moerbeke case was started: a spectral curve, a discriminant set and a bifurcation diagram of the moment map are explicitly shown, and characteristic exponents for determining the type of critical points of rank 0 and 1 of the moment map are presented. In this paper we present an algorithm for constructing Liouville tori. Examples are given of bifurcations of Liouville tori at the intersection of bifurcation curves for reconstructions of one torus into two tori and of two tori into two tori.

В предыдущей работе автора для двух прерывистых функций, заданных на отрезке, и специального параметра, названного дефектом, определено понятие квазиинтеграла. Если существует интеграл Римана–Стилтьеса, то для любого дефекта существует квазиинтеграл, и все они равны между собой. Интеграл Перрона–Стилтьеса, если он существует, совпадает с одним из квазиинтегралов, где дефект определен специальным образом.

В настоящей работе доказана теорема существования и единственности решения квазиинтегрального уравнения с постоянной матрицей. Ядро системы - скалярная кусочно-непрерывная функция ограниченной вариации, компоненты уравнения - прерывистые функции, спектральный параметр - регулярное число. При определенных условиях квазиинтегральное уравнение можно интерпретировать как импульсную систему. Получено явное представление для решения однородного квазиинтегрального уравнения. Для абсолютно регулярного спектрального параметра определен аналог матрицы Коши, исследованы его свойства и получено явное представление для решения неоднородного квазиинтегрального уравнения в форме Коши. Аналогичные результаты получены для сопряженного и союзных уравнений.

Обсуждается возможность восстановления аппроксимирующего дефекта квазиинтеграла, - дефекта, порождающего аппроксимируемые решения импульсной системы.

In previous article we defined the concept of quasi-integral for two regulated functions on the interval and the special parameter, called ¾defect¿. If there is the Riemann–Stieltjes integral, then for any defect there is a quasi-integral, and they are all equal. The Perron–Stieltjes integral, if it exists, coincides with one of quasi-integrals where the defect is defined in a special way.

In the present article the theorem of existence and uniqueness of solution for a quasi-integral equation with a constant matrix is proved. System’s kernel is a scalar piecewise continuous function of bounded variation. Components of the equation are regulated functions, spectral parameter is a regular number. Under certain conditions a quasi-integral equation can be interpreted as an impulse system. An explicit representation for the solution of a quasi-integral homogeneous equation is given. For an absolutely regular spectral parameter, the analogue of the Cauchy matrix is defined, its properties are investigated and the explicit representation for the solution of the nonhomogeneous quasi-integral equation in the Cauchy form is given. Similar results are obtained for the adjoint and associated equations.

We discussed the possibility of restoration of the approximating defect of quasi-integral, which is defect generating approximated solutions of the impulse system.

Исследуется эволюция угла наклона оси вращения планеты в поле притяжения звезды и внешних планет, входящих в планетную систему. Считаем, что исследуемая планета является динамически-симметричным твердым телом $(A = B)$. Полагаем также, что сама планета и внешние планеты движутся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды со средними движениями $\omega$ и $\omega_2,\ldots ,\omega_N$, где $N$ - число небесных тел, воздействующих на планету. В переменных Депри-Андуайе получена функция Гамильтона задачи в рамках спутникова приближения. Проведено осреднение функции Гамильтона по быстрым переменным вращательного и орбитального движений при условии отсутствия резонансов между быстрыми частотами указанных движений. Показано, что осредненная функция Гамильтона содержит, помимо классических параметров, параметры $D_i$, являющиеся функционалами на семействе орбит исследуемой планеты и внешних планет. Показано, что осредненная функция Гамильтона допускает разделение переменных и, как следствие, существует три первых интеграла в инволюции. При рассмотрении гравитационных моментов от внешних планет как малых возмущений, получены, с помощью интеграла энергии осредненных уравнений, явные приближенные формулы для угла нутации исследуемой планеты. Получены также приближенные формулы для возмущенного периода прецессии планеты. Проведены расчеты размаха колебаний по углу нутации планеты, возмущенного периода ее прецессии для частного случая планетной системы, состоящей из звезды, самой планеты и массивной внешней планеты (подобной Юпитеру) с симметрично расположенными орбитами, плоскости которых пересекаются под углом $\gamma$.

We investigate the evolution of the obliquity of a planet in the gravitational field of a star and other planets comprising a planetary system. The planet is assumed to be an axially symmetric rigid body ($A=B$). This planet and other planets move around the star along Keplerian ellipses with frequencies $\omega$ and $\omega_2,\ldots,\omega_N$, respectively, where $N$ is the number of celestial bodies (material points) affecting the planet. We derive Hamiltonian for the problem in the Depri-Andoyer variables in the satellite approximation. The Hamiltonian is averaged over the fast variables of the rotational and orbital motions, assuming that the motions are not resonant. The averaged Hamiltonian involves, in addition to the classic parameters, parameters $D_i$, that can be considered as functionals on the family of orbits of celestial bodies comprising the planetary system. The averaged Hamiltonian admits separation of variables, which implies the existence of three first integrals in involution. Regarding the gravitational torques of the other planets as small perturbations, we obtain from the energy integral of the averaged equations explicit approximate expressions for obliquity of the planet and its perturbed period of precession. We investigate numerically the amplitude of oscillations of the planet's obliquity and it's perturbed period of precession for a planetary system involving a star, the planet itself and another massive planet (similar to Jupiter), whose orbits satisfy certain symmetry conditions and orbital planes intersect at angle $\gamma$.

Рассмотрена задача о движении гиростата, имеющего неподвижную точку, с переменным гиростатическим моментом под действием силы тяжести. Предложен новый метод интегрирования уравнений движения системы, состоящей из тела-носителя и трех роторов, которые вращаются вокруг главных осей. Его можно отнести к методу вариации постоянной в функции для гиростатического момента, который линейно зависит от вектора вертикали. При постоянном множителе гиростатический момент удовлетворяет уравнению Пуассона, а вариация его находится из интеграла площадей. Выполнена редукция исходных уравнений к системе пятого порядка. Получены новые решения данных уравнений в случае сферического распределения масс гиростата и для прецессионных движений тела-носителя. Установлен явный вид гиростатического момента для случая трех инвариантных соотношений.

The problem of the motion of a gyrostat with a fixed point and a variable gyrostatic moment under the action of gravity force is considered. A new method for integrating the equations of motion of a system consisting of a carrier body and three rotors that rotate around the main axes is proposed. The method can be attributed to the method of variation of the constant in the function for the gyrostatic moment, which linearly depends on the vector of vertical. In case of a constant multiplier, the gyrostatic moment satisfies the Poisson equation, and its variation is found from the integral of areas. The original equations have been reduced to a fifth-order system. New solutions of these equations are obtained in the case of a spherical mass distribution for the gyrostat and for the precessional motions of a carrier body. An explicit form of the gyrostatic moment is established for the case of three invariant relations.

Рассматривается плоская задача о движении кругового цилиндра с переменным радиусом в идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости. Предполагается, что начальное возмущение жидкости вызвано вертикальным и безотрывным ударом цилиндра, полупогруженного в жидкость. Особенностью этой задачи является то, что при определенных условиях (например, при быстром торможении цилиндра или при быстром уменьшении его радиуса), происходит отрыв жидкости от тела, в результате которого вблизи его поверхности образуются присоединенные каверны. Формы внутренних свободных границ и конфигурация внешней свободной границы заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи. Формулируется нелинейная задача с односторонними ограничениями, на основе которой определяется связность зоны отрыва, а также формы свободных границ жидкости на малых временах. В случае когда давление на внешней свободной поверхности совпадает с давлением в каверне, строится аналитическое решение задачи. Для определения одной из двух симметричных точек отрыва получено трансцендентное уравнение, содержащее полный эллиптический интеграл первого рода и элементарные функции. При кавитационном торможении недеформируемого цилиндра найдена явная формула для внутренней свободной границы жидкости на малых временах. Показано хорошее согласование аналитических результатов с прямыми численными расчетами.

The 2D problem of the movement of a circular cylinder with a variable radius in an ideal, incompressible, heavy fluid is considered. It is assumed that the initial perturbation of the fluid is caused by a vertical and continuous impact of the cylinder semi-submerged in the fluid. The feature of this problem is that under certain conditions (for example, at fast braking of the cylinder or at fast reduction of its radius), there is a separation of the fluid from the body, resulting in the formation of attached cavities near its surface. The forms of the inner free boundaries and the configuration of the external free border are in advance unknown and are subject to definition when the problem is solved. A nonlinear problem with one-sided constraints is formulated, on the basis of which the connectivity of the separation zone and the shape of the free boundaries of the fluid at small times are determined. In the case where the pressure on the external free surface coincides with the pressure in the cavity, an analytical solution of the problem is constructed. To define one of two symmetric points of separation, a transcendental equation containing a full elliptic integral of the first kind and elementary functions is obtained. For the case of cavitational braking of a nondeformable cylinder, an explicit formula for the inner free boundary of the fluid on small times is found. Good agreement of analytical results with direct numerical calculations is shown.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

Transformations of the involution type are considered in the space $R^l$, $l\geq 2$. The matrix properties of these transformations are investigated. The structure of the matrix under consideration is determined and it is proved that the matrix of these transformations is determined by the elements of the first row. Also, the symmetry of the matrix under study is proved. In addition, the eigenvectors and eigenvalues of the matrix under consideration are found explicitly. The inverse matrix is also found and it is proved that the inverse matrix has the same structure as the main matrix. The properties of the nonlocal analogue of the Laplace operator are introduced and studied as applications of the transformations under consideration. For the corresponding nonlocal Poisson equation in the unit ball, the solvability of the Dirichlet and Neumann boundary value problems is investigated. A theorem on the unique solvability of the Dirichlet problem is proved, an explicit form of the Green's function and an integral representation of the solution are constructed, and the order of smoothness of the solution of the problem in the Hölder class is found. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the Neumann problem, an explicit form of the Green's function, and the integral representation are also found.

В работе рассмотрен локально-неравновесный процесс затвердевания переохлажденного бинарного расплава. В целях простоты предполагается, что затвердевающая бинарная система находится при постоянных температуре и давлении и имеет две фазы, соответствующие твердому и жидкому состояниям. Математическое описание процесса затвердевания основано на модели фазового поля, обобщающей подход Плаппа (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) на случай локально-неравновесных процессов. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики в отличие от феноменологического подхода Плаппа. Другое различие с моделью Плаппа состоит в использовании в качестве динамической переменной концентрации, а не химпотенциала примеси. В рамках полученной модели показана эквивалентность описания процесса затвердевания через концентрационное поле и через химпотенциал системы. В силу малости времен релаксации представленная модель сводится к сингулярно-возмущенной системе уравнений в частных производных параболического типа, описывающих динамику фазового и концентрационного полей. В работе предполагается известным описание термодинамических равновесных состояний на основе экспериментально полученных потенциалов Гиббса.

Для проверки полученной модели проведено численное моделирование одномерной задачи затвердевания в приближении разбавленного расплава Si-As, ранее неоднократно исследовавшегося экспериментально. Чтобы численно решить систему сингулярно-возмущенных уравнений, в работе предложен градиентно-устойчивый явный метод интегрирования уравнений второго порядка точности по времени. Для сведения бесконечного пространственного интервала к конечному использован метод «периодического сдвига». Оценка устойчивости получена из численных экспериментов.

Из численного моделирования процесса затвердевания разбавленного расплава Si-As получены профили концентрации и фазового поля, а также коэффициент распределения примеси на фронте затвердевания в зависимости от величины переохлаждения. Для проверки адекватности результатов численных экспериментов использовано аналитическое выражение для коэффициента распределения как функции переохлаждения, полученное из точного решения локально-неравновесной модели с резкой границей. Исследовано влияние параметров модели на процесс затвердевания и поведение численных решений вблизи диффузной границы.

We consider a locally nonequilibrium process of solidification for a supercooled binary melt. For sake of simplicity, it is assumed, that the solidifying binary system is at constant temperature and pressure. Also there are two phases corresponding to the solid and the liquid states. The mathematical description of the solidification process is based on the phase-field model that generalizes the approach of Plapp (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) to the case of locally nonequilibrium processes. We use the method of extended irreversible thermodynamics to derive thermodynamically consistent equations of the model, in contrast to the phenomenological approach of Plapp. A concentration as a dynamic variable (and not the chemical potential of the impurity) is another difference from Plapp's model. The equivalence of describing the process of solidification through the concentration field and through the chemical potential of the system is shown in the framework of the resulting model. In view of the smallness of the relaxation times, the present model is reduced to the singular-perturbed system of partial differential parabolic equations describing the dynamics of concentration and phase fields. In the paper, it is assumed that the description of the thermodynamic equilibrium states on the basis of the experimentally obtained Gibbs potentials is given.

To verify the model, the numerical simulation of the one-dimensional problem of solidification of the melt was performed in the approximation of the diluted melt Si-As, which had been repeatedly investigated experimentally. In this paper, we propose a gradient-stable explicit method of integrating equations of the second order of accuracy in time in order to solve the system of singularly-perturbed equations numerically. We reduced an infinite space interval to a finite interval by the method of «periodic translation». The estimation of stability was performed using numerical experiments.

The concentration profile, the phase-field profile and the distribution coefficient of the impurity at the front of solidification depending upon the value of supercooling were obtained from the numerical simulation of the solidification process for diluted melt Si-As. An analytical expression for the distribution coefficient as a function of supercooling that follows from the locally nonequilibrium model with a sharp interface was used to test the adequacy of the results of numerical experiments. The effect of the model parameters on the solidification process and behavior of the numerical solutions near the diffuse boundary were investigated.

В работе исследуются различные механические системы с неголономными связями. В частности, рассмотрены вопросы существования тензорных инвариантов (законов сохранения) и их связь с поведением системы. Особое внимание уделено возможности представления уравнений движения в конформно-гамильтоновой форме, которая в данной работе используется, главным образом, для интегрирования систем.

We consider different mechanical systems with nonholonomic constraints; in particular, we examine the existence of tensor invariants (laws of conservation) and their connection with the behavior of a system. Considerable attention is given to the possibility of conformally Hamiltonian representation of the equations of motion, which is mainly used for the integration of the considered systems.