Все выпуски

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

We consider a problem of assigning the Lyapunov spectrum for a linear control discrete-time system $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ in a small neighborhood of the Lyapunov spectrum of the free system $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\qquad (2) $$ by means of linear feedback $u(m)=U(m)x(m)$. We assume that the norm of the feedback matrix $U(\cdot)$ satisfies the Lipschitz estimate with respect to the required shift of the Lyapunov spectrum. This property is called proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of the closed-loop system $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ We previously proved that uniform complete controllability of system (1) and stability of the Lyapunov spectrum of free system (2) are sufficient conditions for proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of closed-loop system (3). In this paper we give an example demonstrating that these conditions are not necessary.

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of the origin are obtained for bilinear control systems with periodic coefficients. The proof is based on the use of the Krasovsky theorem on global asymptotic stability of the origin for periodic systems. The stabilizing control function is feedback control constructed as the quadratic form of the phase variables and depends on time periodically.

Рассматривается линейная управляемая система с неполной обратной связью с дискретным временем

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

Исследуется задача управления асимптотическим поведением замкнутой системы

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.                (1)

Здесь K=C или K=R. Для такой системы вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследовано свойство согласованности системы (1), получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности системы (1), в том числе в стационарном случае. Для стационарной системы вида (1) исследуется задача о глобальном управлении спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы (1) с помощью стационарного управления U к произвольному наперед заданному полиному. Для системы (1) с постоянными коэффициентами специального вида, когда матрица A имеет форму Хессенберга, а в матрицах B и C все строки соответственно до p-й и после p-й (не включая p) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Ранее было доказано, что обратное утверждение верно для n<4 и неверно для n>5. В настоящей работе доказано, что обратное утверждение верно для n=4.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),   y(t)=C*(t)x(t),   u(t)=U(t)y(t),   t∈Z.

We study the problem of control over the asymptotic behavior of the closed-loop system

x(t+1)=(A(t)+B(t)U(t)C*(t))x(t), x∈Kⁿ.               (1)

where K=C or K=R. For the above system, we introduce the concept of consistency, which is a generalization of the concept of complete controllability onto systems with an incomplete feedback. The focus is on the consistency property of the system (1). We have obtained new necessary conditions and sufficient conditions for the consistency of the above system including the case when the system is time-invariant. For the time-invariant system (1), we study the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The objective is to reduce a characteristic polynomial of a matrix of the stationary system (1) to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control U. For the system (1) with constant coefficients of the special form where the matrix A is Hessenberg, the rows of the matrix B before the p-th and the rows of the matrix C after the p-th are equal to zero (not including p), the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. It has been proved that the converse proposition is true for n<4 and false for n>5. In present paper we prove that the converse proposition is true for n=4.

Рассматривается линейная управляемая система с линейной неполной обратной связью с дискретным временем $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k.$$

Здесь $\mathbb K=\mathbb C$ или $\mathbb K=\mathbb R$. Для замкнутой системы $$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n, \qquad(1)$$

вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследуется свойство согласованности системы $(1)$ в связи с задачей управления спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы $(1)$ с помощью стационарного управления $U$ к произвольному наперед заданному полиному. Для системы $(1)$ специального вида, когда матрица $A$ имеет форму Хессенберга, а в матрицах $B$ и $C$ все строки соответственно до $p$-й и после $p$-й (не включая $p$) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. В предыдущих работах было доказано, что обратное утверждение верно для $n<5$ и неверно для $n>5$. В настоящей работе открытый вопрос для $n=5$ разрешен. Доказано, что при $n=5$ для системы с коэффициентами специального вида свойство согласованности является необходимым условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Доказательство производится перебором всевозможных допустимых значений размерностей $m,k,p$. Свойство согласованности эквивалентно свойству полной управляемости «большой системы» размерности $n^2$. Для доказательства строится большая система, строится матрица управляемости $K$ этой системы размерности $n^2\times n^2mk$. Доказывается, что матрица $K$ имеет ненулевой минор порядка $n^2=25$. Для вычисления определителей больших порядков используется система Maple 15.

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k,$$

where $\mathbb K=\mathbb C$ or $\mathbb K=\mathbb R$. We introduce the concept of consistency for the closed-loop system

$$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n. \qquad(1)$$

This concept is a generalization of the concept of complete controllability to systems with an incomplete feedback. We study the consistency of the system $(1)$ in connection with the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum which is to bring a characteristic polynomial of a matrix of the system $(1)$ to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control $U$. For the system $(1)$ of the special form where the matrix $A$ is Hessenberg and the rows of the matrix $B$ before the $p$-th and the rows of the matrix $C$ after the $p$-th (not including $p$) are equal to zero, the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. In previous studies it has been proved that the converse is true for $n <5$ and false for $n> 5$. In this paper, an open question for $ n = 5 $ is resolved. For the system $(1)$ of the special form, it is proved that if $n = 5$ then the property of consistency is a necessary condition for the arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The proof is carried out by direct searching of all possible valid values of dimensions $ m, k, p $. The property of consistency is equivalent to the property of complete controllability of a big system of dimension $n^2$. For the proof we construct the big system and the controllability matrix $K$ of this system of dimension $n^2\times n^2mk$. We show that the matrix $K$ has a nonzero minor of order $n^2 = 25$. We use Maple 15 to calculate the high-order determinants.

Понятие равномерной полной управляемости линейной системы, введенное Р. Калманом, играет ключевую роль в задачах управления асимптотическими характеристиками линейных систем управления, замкнутых по принципу линейной обратной связи. Е.Л. Тонков установил необходимое и достаточное условие равномерной полной управляемости для систем с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Критерий Тонкова можно положить в основу определения равномерной полной управляемости. Если условия на коэффициенты системы ослабить, то определения Калмана и Тонкова перестают совпадать. Здесь установлены необходимые условия и достаточные условия равномерной полной управляемости по Калману и по Тонкову для систем с измеримыми, локально суммируемыми коэффициентами. Введено определение равномерной полной управляемости, которое обобщает определение Тонкова и совпадает с определением Калмана, если матрица $B(\cdot)$ ограничена. Доказаны некоторые известные результаты об управляемости линейных систем, в которых можно ослабить требования на коэффициенты. Доказано, что если линейная управляемая система $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, с измеримой ограниченной матрицей $B(\cdot)$ равномерно вполне управляема в смысле Калмана, то для любой измеримой и интегрально ограниченной $m\times n$-матричной функции $Q(\cdot)$ система $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ равномерно вполне управляема по Калману.

The notion of uniform complete controllability of linear system introduced by R. Kalman plays a key role in problems of control of asymptotic properties for linear systems closed by linear feedback control. E.L. Tonkov has found a necessary and sufficient condition of uniform complete controllability for systems with piecewise continuous and bounded coefficients. The Tonkov criterion can be considered as the definition of uniform complete controllability. If the coefficients of the system satisfy weak conditions then the definitions of Kalman and Tonkov are not coincide. We obtain necessary conditions and sufficient conditions for uniform complete controllability in the sense of Kalman and Tonkov for systems with measurable and locally integrable coefficients. We introduce a new definition of uniform complete controllability that extends the definition of Tonkov and coincides with the definition of Kalman providing the matrix $B(\cdot)$ is bounded. We prove some known results on the controllability of linear systems that allow the weakening of the requirements on the coefficients. We prove that if a linear control system $\dot x=A(t)x+B(t)u$, $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$, with measurable and bounded matrix $B(\cdot)$ is uniformly completely controllable in the sense of Kalman then for any measurable and integrally bounded $m\times n$-matrix function $Q(\cdot)$ the system $\dot x=(A(t)+B(t)Q(t))x+B(t)u$ is also uniformly completely controllable in the sense of Kalman.

Рассматривается управляемая система, заданная линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с запаздыванием $$ \dot x(t)=Ax(t)+A_1x(t-h)+Bu(t),\quad y(t)=C^*x(t),\quad t>0. \qquad\qquad (1) $$ Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи по выходу $u(t)=Q_0 y(t)+Q_1 y(t-h)$. Исследуется задача назначения конечного спектра для замкнутой системы: требуется построить коэффициенты $Q_0$, $Q_1$ обратной связи таким образом, чтобы характеристический квазиполином замкнутой системы обращался в полином с произвольными наперед заданными коэффициентами. Получены условия на коэффициенты системы $(1)$, при которых найден критерий разрешимости данной задачи назначения конечного спектра. Полученные результаты распространяются на системы с несколькими запаздываниями. Получены следствия о стабилизации системы $(1)$, а также системы вида $(1)$ с несколькими запаздываниями, посредством линейной статической обратной связи по выходу с запаздыванием.

We consider a control system defined by a linear time-invariant system of differential equations with delay $$ \dot x(t)=Ax(t)+A_1x(t-h)+Bu(t),\quad y(t)=C^*x(t),\quad t>0. \qquad\qquad (1) $$ We construct the controller for the system $(1)$ as linear output feedback $u(t)=Q_0 y(t)+Q_1 y(t-h)$. We study a finite spectrum assignment problem for the closed-loop system. One needs to construct gain matrices $Q_0$, $Q_1$ such that the characteristic quasipolynomial of the closed-loop system becomes a polynomial with arbitrary preassigned coefficients. We obtain conditions on coefficients of the system $(1)$ under which the criterion was found for solvability of the finite spectrum assignment problem. The obtained result extends to systems with several delays. Corollaries on stabilization by linear static output feedback with delay are obtained for system $(1)$ as well as for systems of type $(1)$ with several delays.

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с наблюдателем с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0, \qquad (1)$$ $$y =C^*(t)x, \quad y\in\mathbb{R}^p.\qquad (2)$$ Исследуется задача управления асимптотическими инвариантами системы, замкнутой посредством линейной нестационарной динамической обратной связи по выходу. Метод исследования, представленный в работе, базируется на построении системы асимптотической оценки состояния системы (1), (2), введенной Р. Калманом. Для решения задачи используется обобщение понятия равномерной полной управляемости по Калману, предложенное Е.Л. Тонковым для систем с коэффициентами из более широких функциональных классов. Дано определение равномерной полной наблюдаемости (в смысле Тонкова) для системы (1), (2). Для $n=2$ доказано, что свойство равномерной полной управляемости и равномерной полной наблюдаемости системы (1), (2) (в смысле Тонкова) с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами является достаточным условием глобальной управляемости верхнего особого показателя Боля, а также характеристических показателей Ляпунова системы, замкнутой посредством линейной динамической обратной связи по выходу. Для доказательства используются установленные ранее результаты о равномерной глобальной достижимости двумерной системы (1), замкнутой линейной нестационарной статической обратной связью по состоянию, при условии равномерной полной управляемости (в смысле Тонкова) открытой системы (1).

We consider a linear time-varying control system with an observer with locally integrable and integrally bounded coefficients $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0, \qquad (1)$$ $$y =C^*(t)x, \quad y\in\mathbb{R}^p. \qquad(2)$$ We study a problem of control over asymptotic invariants for the system closed by linear dynamic output feedback with time-varying coefficients. The research method presented in the paper is based on the construction of a system of asymptotic estimation for the state of the system (1), (2), introduced by R. Kalman. For solving the problem, we use the extension of the notion of uniform complete controllability (in the sense of Kalman) proposed by E.L. Tonkov for systems with coefficients from wider functional classes. The notion of uniform complete observability (in the sense of Tonkov) is given for the system (1), (2). For $n=2$, it is proved that uniform complete controllability and uniform complete observability (in the sense of Tonkov) of the system (1), (2) with locally integrable and integrally bounded coefficients are sufficient for arbitrary assignability of the upper Bohl exponent and of the complete spectrum of the Lyapunov exponents for the system closed-loop by linear dynamic output feedback. For the proof, we use the previously established results on uniform global attainability of a two-dimensional system (1), closed by linear time-varying static state feedback, under the condition of uniform complete controllability (in the sense of Tonkov) of the open-loop system (1).

Рассматривается билинейная управляемая система, заданная линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с запаздыванием в состоянии. Исследуется задача назначения произвольного конечного спектра посредством стационарного управления. Требуется построить постоянный вектор управления таким образом, чтобы характеристический квазиполином замкнутой системы обращался в полином с произвольными наперед заданными коэффициентами. Получены условия на коэффициенты системы, при которых найден критерий разрешимости данной задачи назначения конечного спектра. Критерий выражен в терминах ранговых условий для матриц специального вида. Показана взаимосвязь этих ранговых условий со свойством согласованности усеченной системы без запаздывания. Получены следствия о стабилизации билинейной системы с запаздыванием. Результаты обобщают полученные ранее результаты о назначении спектра для линейных систем со статической обратной связью по выходу с запаздыванием и для билинейных систем без запаздывания. Полученные результаты переносятся на билинейные системы с запаздыванием с дискретным временем. Рассмотрен иллюстрирующий пример.

We consider a bilinear control system defined by a linear time-invariant system of differential equations with delay in the state variable. We study an arbitrary finite spectrum assignment problem by stationary control. One needs to construct constant control vector such that the characteristic quasi-polynomial of the closed-loop system becomes a polynomial with arbitrary preassigned coefficients. We obtain conditions on coefficients of the system under which the criterion was found for solvability of this finite spectrum assignment problem. This criterion is expressed in terms of rank conditions for matrices of the special form. Interconnection of these rank conditions with the property of consistency for truncated system without delay is shown. Corollaries on stabilization of a bilinear system with delay are obtained. The results extend the previously obtained results on spectrum assignment for linear systems with static output feedback with delay and for bilinear systems without delay. The results obtained are transferred to discrete-time bilinear systems with delay. An illustrative example is considered.

Рассматривается управляемая система, заданная линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с сосредоточенными и распределенными запаздываниями по состоянию. Управление в системе строится в виде линейной статической обратной связи по выходу с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в тех же узлах. Исследуется задача назначения конечного спектра для замкнутой системы: требуется построить коэффициенты обратной связи таким образом, чтобы характеристическая функция замкнутой системы обращалась в полином с произвольными наперед заданными коэффициентами. Получены условия на коэффициенты системы, при которых найден критерий разрешимости данной задачи назначения конечного спектра. Получены следствия о стабилизации системы с несколькими запаздываниями посредством линейной статической обратной связи по выходу с запаздываниями.

We consider a control system defined by a linear time-invariant system of differential equations with lumped and distributed delays in the state variable. We construct a controller for the system as linear static output feedback with lumped and distributed delays in the same nodes. We study a finite spectrum assignment problem for the closed-loop system. One needs to construct gain coefficients such that the characteristic function of the closed-loop system becomes a polynomial with arbitrary preassigned coefficients. We obtain conditions on coefficients of the system under which the criterion was found for solvability of the finite spectrum assignment problem. Corollaries on stabilization by linear static output feedback with several delays are obtained for the closed-loop system.