Все выпуски

В настоящей работе проведено исследование модели деформаций системы из $n$ стилтьесовских струн, расположенных вдоль геометрического графа-звезды, с нелинейным условием в узле. Соответствующая граничная задача имеет вид $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_{0}^{x}}u_i\,dQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0),\quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i),\quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Здесь функции $u_i(x)$ определяют деформации каждой из струн; $F_i(x)$ описывают распределение внешней нагрузки; $p_i(x)$ характеризуют упругость струн; $Q_i(x)$ описывают упругую реакцию внешней среды. Скачок $\Delta F_i(l_i)$ равняется сосредоточенной в точке $l_i$ внешней силе; скачок $\Delta Q_i(l_i)$ совпадает с жесткостью упругой опоры (пружины), прикрепленной к точке $l_i$. Условие $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ возникает за счет наличия в узле ограничителя, представленного отрезком $[-m,m]$, на перемещение струн под воздействием внешней нагрузки, то есть предполагается, что $|u(0)|\leq m$. Здесь через $N_{[-m,m]}u(0)$ обозначен нормальный конус к $[-m,m]$ в точке $u(0)$. В работе проведен вариационный вывод модели; доказаны теоремы существования и единственности решения; проанализированы критические нагрузки, при которых происходит соприкосновение струн с ограничителем; приведена явная формула представления решения.

In the present paper we study a model of deformations for a system of $n$ Stieltjes strings located along a geometric graph-star with a nonlinear condition at the node. The corresponding boundary value problem has the form $$ \left\{\begin{array}{lll} -\left(p_iu_i^\prime\right)(x)+\displaystyle{\int_0^x}u_idQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0), \quad i=1,2, \ldots, n,\\ \sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0),\\ u_1(0)=u_2(0)=\ldots=u_n(0)=u(0),\\ (p_iu_i')(l_i-0)+u_i(l_i)\Delta Q_i(l_i)=\Delta F_i(l_i), \quad i=1,2,\ldots, n. \end{array} \right. $$ Here the functions $u_i(x)$ determine the deformations of each of the strings; $F_i(x)$ describe the distribution of the external load; $p_i(x)$ characterize the elasticity of strings; $Q_i(x)$ describe the elastic response of the environment. The jump $\Delta F_i(l_i)$ is equal to the external force concentrated at the point $l_i$; the jump $\Delta Q_i(l_i)$ coincides with the stiffness of the elastic support (spring) attached to the point $l_i$. The condition $\sum\limits_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)\in N_{[-m,m]}u(0)$ arises due to the presence of a limiter in the node represented by the segment $ [-m,m]$, on the movement of strings under the influence of an external load, thus it is assumed that $|u(0)|\leq m$. Here $N_{[-m,m]}u(0)$ denotes the normal cone to $[-m,m]$ at the point $u(0)$. In the present paper a variational derivation of the model is carried out; existence and uniqueness theorems for solutions are proved; the critical loads at which the strings come into contact with the limiter are analyzed; an explicit formula for the representation of the solution is presented.

Рассматривается система Ball and Beam с нелинейной геометрической связью. Из полного уравнения этой связи определяются два возможных положения равновесия системы. Проведен сравнительный анализ структур уравнений возмущенного движения в окрестности обоих положений равновесия, исходя из уравнений без множителей связей в форме М.Ф. Шульгина. На этой основе обсуждается вопрос о допустимости линеаризации геометрических связей. Даны решения задач стабилизации для каждого равновесия при двух вариантах выбора избыточной координаты. Стабилизирующее управление (напряжение на якорной обмотке приводного двигателя) определяется решением методом Н.Н. Красовского линейно-квадратичных задач для соответствующих управляемых подсистем. Показано совпадение управлений как функций времени для одного и того же равновесия при разном выборе избыточной координаты, причем стабилизирующие управления являются при этом линейными функциями разных фазовых переменных. Приведены графики переходных процессов в замкнутых найденными управлениями системах. Асимптотическая устойчивость обоих положений равновесия в полной нелинейной замкнутой системе следует из ранее доказанной теоремы об асимптотической устойчивости при наличии нулевых корней характеристического уравнения, соответствующих избыточным координатам.

The Ball and Beam system with a nonlinear geometric constraint is considered. Two possible equilibrium positions of this system are found from the complete constraint equation. The structures of the equations of disturbed motion are analyzed in a neighborhood of the equilibrium positions, using equations without Lagrange multipliers in the form of M.F. Shul'gin. The possibility of linearization of the constraint equation is discussed. The stabilization problem is solved for every equilibrium position and two possible variants of the redundant coordinate. Stabilizing control (voltage at the armature of the drive motor) is calculated via solving linear-quadratic problems by N.N.Krasovsky's method for corresponding control subsystems. The coincidence of controls as time functions for the same equilibrium is shown for different choices of the redundant coordinate, and the stabilizing controls are linear functions of different phase variables. The graphs of transient processes in systems closed by the obtained controls are given. The asymptotic stability of both equilibrium positions in a complete nonlinear closed system follows from the previously proved theorem on asymptotic stability in the presence of zero roots of the characteristic equation corresponding to redundant coordinates.