Все выпуски

В статье рассматривается задача устойчивой реконструкции неизвестного входа системы по результатам неточных измерений ее решения. Суть задачи состоит в следующем. Имеется система, описываемая распределенным уравнением второго порядка, решение которой зависит от входа, меняющегося со временем. Как вход, так и решение заранее не известны. В дискретные моменты времени измеряется решение уравнения. Результаты измерения неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений входа вычисляются в реальном времени (он-лайн). Свойство устойчивости — что приближения являются достаточно точными, при хорошей точности измерений. Задача относится к классу обратных задач. Представленный в статье алгоритм основан на конструкциях теории устойчивого динамического обращения в комбинации с методами некорректных задач и позиционного управления.

In this paper, we consider the stable reconstruction problem of the unknown input of a distributed system of second order by results of inaccurate measurements of its solution. The content of the problem considered is as follows. We consider a distributed equation of second order. The solution of the equation depends on the input varying in the time. The input, as well as the solution, is not given in advance. At discrete times the solution of the equation is measured. These measurements are not accurate in general. It is required to design an algorithm for approximate reconstruction of the input that has dynamical and stability properties. The dynamical property means that the current values of approximations of the input are produced on-line, and the stability property means that the approximations are arbitrarily accurate for a sufficient accuracy of measurements. The problem refers to the class of inverse problems. The algorithm presented in the paper is based on the constructions of a stable dynamical inversion and on the combination of the methods of ill-posed problems and positional control theory.

Работа посвящена рассмотрению качественно новых уравнений влагопереноса, которые являются обобщением уравнения Аллера и уравнения Аллера-Лыкова. Данное обобщение дает возможность отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности. Для этих уравнений с дробной по времени производной Римана-Лиувилля с краевыми условиями первого рода получены решения системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых. Получены априорные оценки, из которых следует сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дробного порядка. На тестовых примерах проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты, полученные в работе.

The paper studies qualitatively new equations of moisture transfer, which generalize the Aller and Aller-Lykov equations. The generalization contributes to revealing in the original equations the specific features of the studied massifs, their structure, physical properties, processes occurring in them through the introduction of the notion of the rates of change of the fractal dimension. We have obtained solutions to the constant coefficient difference equations as a system arising when using the method of lines for the equations with a Riemann-Liouville time fractional derivative with boundary conditions of the first kind. A priori estimates are obtained that imply convergence of the obtained solutions to systems of ordinary differential equations with variable fractional coefficients. Numerical tests have been carried out to confirm theoretical results of the study.

Проблема голоморфного продолжения функций, определенных на границе области, в эту область актуальна в многомерном комплексном анализе. Она имеет долгую историю, начиная с работ Пуанкаре и Гартогса. В статье рассматриваются непрерывные функции, определенные на границе ограниченной области $ D $ в $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Мореры вдоль семейства комплексных прямых, которые пересекают границу области. Свойство Мореры состоит в том, что интеграл заданной функции равен нулю по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область $ D $. Для функций одной комплексной переменной свойство Мореры, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому эту проблему следует рассматривать только в многомерном случае $ (n> 1) $. Основным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.

The problem of holomorphic extension of functions defined on the boundary of a domain into this domain is actual in multidimensional complex analysis. It has a long history, starting with the proceedings of Poincaré and Hartogs. This paper considers continuous functions defined on the boundary of a bounded domain $ D $ in $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, with piecewise-smooth boundary, and having the generalized boundary Morera property along the family of complex lines that intersect the boundary of a domain. Morera property is that the integral of a given function is equal to zero over the intersection of the boundary of the domain with the complex line. It is shown that such functions extend holomorphically to the domain $ D $. For functions of one complex variable, the Morera property obviously does not imply a holomorphic extension. Therefore, this problem should be considered only in the multidimensional case $ (n> 1) $. The main method for studying such functions is the method of multidimensional integral representations, in particular, the Bochner-Martinelli integral representation.

В работе рассматривается новая методика моделирования реакционно-диффузионных систем на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В отличие от специализированных численных методов, таких как метод прямых, новая методика позиционируется как чистая альтернатива на модельном уровне для уравнений в частных производных. По своему описанию новый метод во многом подобен методу конечных объемов, но в отличие от него для описания диффузии применяет статистические упрощения и принципы геометрической вероятности. Главными задачами данного подхода являются упрощение качественного анализа реакционно-диффузионных систем, а также повышение эффективности численной реализации модели. Первая задача успешно решается, так как для качественного анализа динамики модели на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений становится возможным использовать аппарат классической теории динамических систем. Вторая задача решается лишь отчасти, так как выигрыш при сохранении приемлемой точности для численной реализации будет существенным лишь для определенных, достаточно простых, начальных распределений молекул, а также для определенных коэффициентов диффузии. При этом для формирования критериев применимости на практике мы отдельно оцениваем погрешность моделирования с использованием данной новой методики.

We consider a new technique for modelling the reaction-diffusion systems based on systems of ordinary differential equations. In contrary to the specialized numerical methods such as straight line method, this new technique is positioned at model level as a full alternative for partial differential equations. The description of this new method is quite similar to the description of finite volume method, except that it uses statistical simplifications and principles of geometric probability to describe diffusion processes. The main goal of this approach is to simplify the qualitative analysis of reaction-diffusion systems and to increase the efficiency of the numerical implementation. The first task is successfully resolved because of the fact that for the qualitative analysis of model dynamics based on ordinary differential equations it is possible to use the apparatus of the classical theory of dynamical systems. The second task is solved only partially, because the gain in efficiency while maintaining acceptable accuracy for numerical implementation will be considerable only for certain simple initial distribution of molecules, as well as for certain diffusion coefficients. To determine the criteria for practical application of this technique we also estimate the model error in general.

В статье рассмотрены методы для обнаружения особых точек на аффинной гиперповерхности или подтверждения гладкости этой гиперповерхности. Наш подход основан на построении касательных прямых к данной гиперповерхности. Существование хотя бы одной особой точки накладывает ограничение на алгебраическое уравнение, определяющее совокупность касательных прямых, проходящих через выделенную точку в пространстве. Это уравнение основано на формуле для дискриминанта многочлена от одной переменной. Для произвольно фиксированной степени гиперповерхности нами предложен детерминированный алгоритм полиномиального времени для вычисления базиса в подпространстве соответствующих многочленов. Если линейная комбинация таких многочленов не обращается в нуль на гиперповерхности, то гиперповерхность гладкая. Мы формулируем достаточное условие гладкости, проверяемое за полиномиальное время. Для некоторых гладких аффинных гиперповерхностей это условие выполнено. Этот набор включает графики кубических многочленов от нескольких переменных, а также другие примеры кубических гиперповерхностей. С другой стороны, это условие не выполняется для некоторых кубических гиперповерхностей высокой размерности. Это не мешает применению метода в низких размерностях. Также поиск особых точек важен для решения некоторых задач машинного зрения, в том числе для обнаружения угла у препятствия по последовательности кадров с одной камеры на движущемся транспортном средстве.

The article focuses on methods to look for singular points of an affine hypersurface or to confirm the smoothness of the hypersurface. Our approach is based on the description of tangent lines to the hypersurface. The existence of at least one singular point imposes a restriction on the algebraic equation that determines the set of tangent lines passing through the selected point of the space. This equation is based on the formula for the discriminant of a univariate polynomial. For an arbitrary fixed hypersurface degree, we have proposed a deterministic polynomial time algorithm for computing a basis for the subspace of the corresponding polynomials. If a linear combination of these polynomials does not vanish on the hypersurface, then the hypersurface is smooth. We state a sufficient smoothness condition, which is verifiable in polynomial time. There are smooth affine hypersurfaces for which the condition is satisfied. The set includes the graphs of cubic polynomials in many variables as well as other examples of cubic hypersurfaces. On the other hand, the condition is violated for some high-dimensional cubic hypersurfaces. This does not prevent the application of the method in low dimensions. Searching for singular points is also important for solving some problems of machine vision, including detection of a corner by means of the frame sequence with one camera on a moving vehicle.

В работе исследуются нелокальные краевые задачи со смещением и разрывными условиями сопряжения на линии изменения типа для модельного нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа. В параболической области уравнение представляет собой уравнение дробной диффузии, в гиперболической - характеристически нагруженное волновое уравнение. Единственность решения исследуемых задач при определенных условиях на коэффициенты задачи доказывается методом Трикоми. Существование решения задач сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно следа искомого решения на линии изменения типа. Однозначная разрешимость интегрального уравнения следует из единственности решения задач. После решения интегрального уравнения решение задач сводится к решению первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии в параболической области и решению задачи Коши для неоднородного волнового уравнения в гиперболической. Выписаны формулы представления решений исследуемых задач в параболической и гиперболической областях.

The paper deals with non-local boundary-value problems with shift and discontinuous conjugation conditions in the line of type changing for a model loaded hyperbolic-parabolic type equation. The parabolic domain presents a fractional diffusion equation while the hyperbolic one presents a characteristically loaded wave equation. The uniqueness of the solution to the considered problems under certain conditions on the coefficients is proved by the Tricomi method. The existence of the solution involves solving the Fredholm integral equation of the second kind with respect to the trace of the sought solution in the line of type changing. The unique solvability of the integral equation implies the uniqueness of the solution to the problems. Once the integral equation is solved, the solution to the problems is reduced to solving the first boundary value problem for the fractional diffusion equation in the parabolic domain and the Cauchy problem for the inhomogeneous wave equation in the hyperbolic one. In addition, representation formulas are written out for solving the problems under study in the parabolic and hyperbolic domains.

В статье рассмотрено параболо-гиперболическое уравнение с сингулярным коэффициентом и спектральным параметром в области, состоящей из характеристического треугольника и полуполосы. Сформулирована задача с нелокальным условием, связывающим значения искомой функции в точках двух граничных характеристик и линии изменения типа уравнения с помощью двух операторов, один из которых зависит от коэффициента сингулярности, а другой — от спектрального параметра. Поставленная задача исследована сведением ее к системе уравнений относительно следа искомой функции и еe производной по $x$ на линии изменения типа уравнения. Единственность решения доказана с использованием метода интегралов энергии, при этом использованы интегральные представления гамма-функции Эйлера и функции Бесселя первого рода. Существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений, при этом поставленная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения задачи. Выявлены достаточные условия, которые обеспечивают однозначную разрешимость поставленной задачи.

In the paper, a parabolic-hyperbolic equation with a singular coefficient and a spectral parameter in the domain which consists of a characteristic triangle and a half strip has been considered. A nonlocal problem connecting the values of the desired function at the two points of boundary characteristics and the line of equation type changing by means of two operators, the first of which depends on the coefficient of the singularity and the second one - on the spectral parameters, is formulated. The considered problem is investigated by reducing it to the system of equations in the trace of the desired function and its derivative with respect to $x$ on the line of equation type changing. The uniqueness of the solution is proved by the method of energy integrals, for this we use integral representations of Euler gamma-function and Bessel function of the first kind. The existence of the solution is proved by the method of integral equations, for this we equivalently reduce the considered problem to the Fredholm integral equation of the second kind which solvability follows from the uniqueness of the problem solution. Sufficient conditions for unique solvability of the considered problem are found.

Для уравнения теплопроводности с эффектом запаздывания конструируются численные методы решения. Рассмотрены метод прямых и неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией. Приведена теорема о сходимости последнего метода.

Numerical methods of solution are designed for the equation of heat conductivity with effect of delay. The method of straight lines and the implicit scheme with piece-сonstant interpolation are considered. The theorem of convergence of the last method is presented.