Все выпуски

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

We study the long-time evolution of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow subject to the initial topography of its boundaries and bottom velocities. Each layer has uniform density and viscosity. The upper layer is assumed to have a smaller density than the lower layer. Based on lubrication approximation (the Reynolds equations) the nonlinear system of diffusion-type equations with respect to the surface and interface between the layers is obtained to describe this flow. Taking the dimensionless density contrast between the layers as a small parameter, we apply the method of asymptotic expansions to extract leading-term approximation for the slowly varying large-time evolution of the governing equations. An asymptotic equation relating both surface and interface displacement to the bottom velocities is derived. Based on this equation, we develop the algorithm to calculate velocity fields within layers for large time. Streamlines are used to visualize the flow. Numerical results reveal stability of the streamlines in the upper layer under variation of the bottom velocity. As geophysical applications, the developed algorithm is used to evaluate the velocity field in the crust (the upper layer) beneath the large-scale lunar multi-ring basins influenced by deep movements in the underlying mantle (the lower layer). To validate the results of modeling, we compare the calculated velocity fields with basin ridge systems obtained by experimental observations. The model comparison has shown proximity of radii of basin rings and critical points of the surface velocity.

Разработана осесимметрическая модель на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости для исследования двухслойного течения со свободной границей, создаваемого подъемом жесткого блока фундамента. Получено численное решение полной нелинейной системы и выполнен анализ малых возмущений движения границ слоев. Основной результат заключается в том, что кольцевая структура образуется на поверхности жидкости, если плотность нижнего слоя больше, чем у верхнего. Предлагаемая модель может представлять интерес для геофизики при изучении процесса образования крупномасштабных кольцевых структур на поверхности Земли и других планет.

The axisymmetric model based on simplified equations of incompressible viscous fluid is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the uplift of the substrate's block. We numerically solve the nonlinear governing equations and perform the small-amplitude analysis of the behavior of both fluid interfaces. The main result is that a ring pattern does occur on the upper surface provided that the density of the lower layer is greater then that of the upper one. The presented model may be of interest for geophysics to study large-scale ring structures on the Earth and other solid planets.

На основе упрощенных уравнений Навье-Стокса в длинноволновом приближении построена нелинейная модель двухслойного течения вязкой жидкости со свободной границей, создаваемого начальным рельефом границ слоев. Используя метод малого параметра, исследуется эволюция течения на больших временах и определяется зависимость между движением поверхности и границы раздела жидкости. Полученные результаты применяются для расчета профиля границы кора-мантия под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier-Stokes equations is developed to investigate the evolution of free-surface two-layered creeping flow subjected by the initial topography of the surface and interface between layers. Using the method of asymptotic expansions for the governing equations, we study a long-time evolution of the flow and reveal the relation between the surface and interface displacements. The obtained results are applied to calculate the profile of the crust-mantle interface beneath the large-scale lunar basin.

Приводится постановка нелинейной краевой задачи о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Решение задачи находится методом переменной во времени частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипативных волновых процессов. Найдено асимптотическое решение с точностью третьего приближения по волновому параметру. Показано, что частота и декремент затухания нелинейной волны с течением времени стремятся к значениям, соответствующим линейной задаче. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса в слабовязкой жидкости.

The statements of nonlinear boundary-value problem for wave propagation over the free surface of lowviscosity fluid have been presented. Solution is found by the method of time-varying frequency, which is the Stokes’ method generalized for the dissipative wave processes. The asymptotic solution up to the third-order approximation upon the wave parameter has been found. It is shown that the frequency and damping rate of the nonlinear wave tend in time to the values corresponding to a linear problem. Nonlinear trajectories of fluid particles and the expression for transfer velocity in a low-viscosity Stokes fluid have been defined.

Разработана нелинейная модель трехслойного течения со свободной границей на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости в длинноволновом приближении. Проведено асимптотическое исследование модели, которое показало существование двух различных режимов эволюции течения на малых и больших временах. Получено уравнение, связывающее смещения границ слоев на больших временах, не зависящее от предыстории течения. Модельные результаты используются для изучения поведения глубинной границы под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне в зависимости от изменения геометрических физических параметров модели.

The nonlinear model based on the long-wave approximation of the Navier–Stokes equations is developed to study the free-surface three-layered creeping flow. An asymptotic study of the governing equations reveals two different modes of evolution at a short and long time. The relation between layers’ boundaries is obtained that is independent of a pre-history of the flow. The obtained results are applied to study a behavior of the deep interface beneath the large-scale lunar basin under the variation of geometrical and physical model’s parameters.

Разработаны математические модели и сформулирована нелинейная краевая задача динамики тонкостенных оболочечных конструкций произвольной формы под действием ударного импульсного нагружения. Приводятся результаты моделирования нелинейных волновых процессов в составной оболочечной конструкции под действием взрыва.

Mathematical models were developed and the nonlinear boundary value problem of dynamics thinwalled shells of the arbitrary form under action shock pulse is formulated. Dependence of processes of deformation on speed loading, compressibility of a material, finite deformations and large displacements of a shell middle surface, formation and kinetic of plasticity zones of a material during action of a shock wave are considered. Parameterization of a shell surface is carried out by bi-cubic splines. For the description of nonlinear, time and speed dependents of a shell material behavior with anisotropic hardening the generalized model of microplasticity is developed on the account of viscosity of deformation, hysteresis losses and Baushinger's effect. The solution of boundary value problems on the basis of difference schemes is constructed. Results of modeling of nonlinear wave processes in a assemble shell under action of explosion also are presented.

Сформулирована и решена в общей постановке сопряженная задача об ударном локальном взаимодействии жидкости с нелинейной деформируемой, повреждаемой средой при наличии конечных деформаций. Воздействие жидкости рассмотрено в виде ударной волны или высокоскоростной струи, образующихся при разрушении кавитационных пузырьков вследствие осесимметричного или кумулятивного их обжатия на фронте распространяющейся ударной волны. Особое внимание при этом уделено влиянию смачиваемости деформируемой поверхности.

The adjoint 3-D problem of shock local interaction of a liquid with the nonlinear deformable, damaged medium in the presence of the finite deformations is formulated and solved. Liquid influence is considered a kind of a shock wave or the high-speed jet, formed at collapse of bubbles of cavitation owing to axisymmetric or them cumulative compression at the front an extending shock wave. The special attention is thus given influence of wettability of a deformable surface.

Рассмотрена нелинейная задача о волнах на свободной поверхности двухфазной среды. Для ее решения предложен асимптотический метод, с помощью которого найдено решение с точностью третьего приближения. Определены траектории частиц несущей и дисперсной фазы, а также нелинейные волновые эффекты.

We consider the nonlinear problem of waves on the surface of a two-phase medium. To solve this problem we suggest an asymptotic method by which a solution is found within the third approximation. The trajectories of the particles by the carrier and dispersed phase, and nonlinear wave effects are defined.

Рассмотрена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины в плоском случае. С помощью метода малого параметра данная нелинейная задача раскладывается на задачи в первых двух приближениях, которые последовательно разрешаются. Получены нелинейные выражения для компонент вектора скорости, динамического давления и формы свободной поверхности. Изучается движение частиц вязкой жидкости, вызванное распространением волны по свободной поверхности. Установлено, что вязкость жидкости оказывает существенное влияние на форму траекторий жидких частиц, которое проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, так и в отличии траекторий вблизи свободной поверхности и при заглублении. Исследован нелинейный эффект Стокса, который заключается в наличии приповерхностного течения.

The paper deals with the nonlinear problem of wave propagation on a free surface of an infinitely deep layer of viscous incompressible fluid on a plane. Using the method of a small parameter, this nonlinear problem is decomposed into problems at the first two approximations which are solved one by one. Nonlinear expressions for the components of a velocity vector, the dynamic pressure and the shape of a free surface are obtained. The motion of viscous fluid particles caused by wave propagation on a free surface is investigated. It is found that the viscosity of a liquid has significant effect on the shape of the trajectories of liquid particles, which is manifested as a decrease in the amplitude of oscillations over time, and in the trajectories dissimilarity near the free surface, and at the deepening. The nonlinear Stokes effect that indicates the presence of near-surface currents is analyzed.

Рассматривается движение жидкости, вызванное взаимодействием набегающей гравитационной волны, распространяющейся по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости, с круговым цилиндром, имеющим вертикальные образующие. Нелинейная краевая задача, описывающая такое движение, сведена к задаче для вертикальной компоненты вектора скорости, которая представляется в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей. Получено решение данной задачи для случая колебаний малой амплитуды. Проведено сравнение поля скоростей для вязкой и идеальной жидкости.

The motion of fluid due to the interaction of an incident gravitational wave spreading on the surface of viscous incompressible fluid with a circular cylinder having vertical elements is considered. A nonlinear boundary-value problem is reduced to determining the vertical component of a velocity vector represented by a sum of potential and rotational parts. The problem is solved for the small-amplitude oscillations. The comparison of the velocity field between the ideal and viscous liquids is made.