Все выпуски

Полученный ранее для длинной многоопорной цилиндрической оболочки аналог балочной теоремы о трех моментах, основанный на замечательных свойствах простого краевого эффекта, обобщается на случай упругоподатливых опор в виде так называемого оболочечного аналога теоремы о пяти моментах.

In this paper we generalize the analogue of the three-moment theorem in the theory of shells, which has been earlier obtained for the long cylindrical shell with several supports, to the case of flexible supports as a so-called "shell" analogue of the five-moment theorem.

Обсуждается классическая задача о движении тяжелого симметричного твердого тела (волчка) с неподвижной точкой на горизонтальной плоскости. Ввиду одностороннего характера контакта, при определенных условиях возможны отрывы (подскоки) волчка. Известно два сценария отрывов, связанных с переменой знака нормальной реакции либо знака нормального ускорения, причем несовпадение указанных условий приводит к парадоксам. Для выяснения природы парадоксов подробно изучен пример маятника (стержня) с учетом ограниченности реального коэффициента трения. Показано, что в случае парадокса первого типа (невозможен ни отрыв, ни продолжение контакта) тело начинает скользить по опоре. В случае парадокса второго типа (возможен как отрыв, так и сохранение контакта) контакт сохраняется вплоть до перемены знака нормальной реакции, а затем нормальное ускорение при отрыве отлично от нуля.

The classical problem about the motion of a heavy symmetric rigid body (top) with a fixed point on the horizontal plane is discussed. Due to the unilateral nature of the contact, detachments (jumps) are possible under certain conditions. We know two scenarios of detachment related to changing the sign of the normal reaction or the sign of the normal acceleration, and the mismatch of these conditions leads to a paradox. To determine the nature of paradoxes an example of the pendulum (rod) within the limitations of the real coefficient of friction was studied in detail. We showed that in the case of the first type of the paradox (detachment is impossible and contact is impossible) the body begins to slide on the support. In the case of the paradox of the second type (detachment is possible and contact is possible) contact is retained up to the sign change of the normal reaction, and then at the detachment the normal acceleration is non-zero.

Рассмотрена динамика вращения твердого тела (ротатора) вокруг неглавной оси Oz, проходящей через его центр масс, с учетом диссипативных моментов: сухого трения M_fr, возникающего в опорах из-за поперечных динамических реакций, и квадратичного по угловой скорости ω аэродинамического сопротивления M_R=-c|ω|ω. Показано, что уравнение динамики и вытекающие из него кинетики вращения тела качественно различны в общем и частном случаях инерционных и диссипативных параметров: осевого момента инерции J_zz, коэффициентов c и α=M_fr/√ε²+ω⁴ (ε - угловое ускорение). В частном случае равенства J_zz=c=α обнаружено отсутствие физически возможного решения для вращения по инерции в рамках динамики абсолютно твердого тела. Парадокс разрешается через нормализующее причинно-следственные связи введение запаздывающих величин ε(t-τ) и ω(t-τ), определяющих в согласии с принципом Даламбера поперечные реакции в опорах оси M_x,y(t-τ) и пару M_fr(t-τ). Последняя же определяла темп потери кинетического момента dK_z(t)/dt в момент времени t. Кинетика вращения при этом имеет импульсивный характер так называемого фрикционно-аэродинамического удара. Также путем численного интегрирования продемонстрирована необычная угловая кинетика φ(t) затухающих колебаний ротатора под действием упругого момента M_e=-κφ, характеризующаяся наличием двух фаз: кратковременного стартового участка, зависящего от начальных условий, затем резко переходящего в фазу почти синусоидальных колебаний с медленно убывающей амплитудой.

The article studies the rotational dynamics of a rigid body (rotator) around the central but non-principal axis Oz passing through its center of mass under the action of dry frictional torque M_fr=α√ε²+ω⁴ caused by inertia forces in the axis's supports and the drag momentum M_R=-c|ω|ω quadratic in angular speed ω. It has been shown that the dynamical equations and the equations of the kinetics of the body's rotation, which follow from the dynamical equations, are qualitatively different in general and particular cases of the inertial and dissipative parameters involved: the axial moment of inertia J_zz and the coefficients c and α=Mfr/√ε²+ω⁴ (where ε is the angular acceleration). It is found that in the particular case of the equality J_zz=c=α a physical feasible solution for the inertial rotation within the dynamics of a perfectly rigid body is absent. The paradox is resolved by the introduction of the lagged angular velocity ω(t-τ) and acceleration ε(t-τ) as factors defining due to D'Alembert principle the supports' transversal reactions M_x,y(t-τ) and hence the value of M_fr(t-τ). The last one determines the loss rate of kinetic momentum, i.e. the dK_z(t)/dt at time t. The rotational kinetics had a type of frictional-aerodynamic impact. Also, by numerical integration, there was shown the unusual angular kinetics φ(t) of the damping oscillations of the rotator under the action of the elastic torque M_e=-κφ. The kinetics was characterized by the presence of two phases: the short starting part strongly depending on initial conditions followed by the phase of almost sine wave oscillations with extremely slow damping.