Все выпуски

Изучается одна краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с младшим членом в прямоугольной области. Для решения задачи получена априорная оценка решения, из которой следует единственность решения задачи. Для доказательства существования решения задачи применяется метод разделения переменных. Разрешимость задачи сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно искомой функции, которое решается методом последовательных приближений. Найдены достаточные условия, обеспечивающие абсолютную и равномерную сходимость ряда, представляющего решение задачи, и рядов, полученных из него дифференцированием четыре раза по x и два раза по t.

In this paper we study a boundary value problem for the fourth order partial differential equation with the lowest term in a rectangular domain. For the solution of the problem a priori estimate is obtained. From a priori estimate the uniqueness of the solution of the problem follows. For the proof of the solvability of this problem we use the method of separation of variables. The solvability of this problem is reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with respect to unknown function. Integral equation is solved by the method of successive approximations. We find the sufficient conditions for the absolute and uniform convergence of series representing the solution of the problem and the series obtained by differentiation four times with respect x and two times with respect to t.

В статье исследуется дискретная модель нейрона, предложенная Рульковым. В детерминированном варианте эта система моделирует различные режимы нейронной активности, такие как покой, тонический и хаотический спайкинг. В присутствии случайных возмущений в системе может наблюдаться еще один важный режим - берстинг, характеризующийся перемежаемостью участков покоя и возбуждения. В работе исследуются вероятностные механизмы индуцированных шумом переходов от покоя к берстингу в зоне касательной бифуркации. Показано, что такие переходы могут сопровождаться трансформацией динамики системы из регулярной в хаотическую. Для анализа этих бифуркационных явлений используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных интервалов.

A discrete neuron model proposed by Rulkov is studied. In the deterministic version, this system simulates different modes of neural activity, such as quiescence, tonic and chaotic spiking. In the presence of random disturbances, another important mode of bursting characterized by the alternation of quiescence and excitement regimes can be observed. We study the probabilistic mechanisms of noise-induced transitions from quiescence to bursting in the zone of the tangent bifurcation. It is shown that such transitions are accompanied by a transformation of the system dynamics from regular to chaotic. For the analysis of these bifurcation phenomena, the stochastic sensitivity functions technique and method of confidence intervals are used.

Новизна в том, что лицо, принимающее решение (ЛПР) в многокритериальной задаче при неопределенности, стремится не только по возможности увеличить гарантированные значения каждого из своих критериев, но и одновременно уменьшить гарантированные риски, сопровождающие такое увеличение. Предлагаемое исследование выполнено на стыке теории многокритериальных задач (МЗ) и принципа минимаксного сожаления (риска) (ПМС) Сэвиджа-Ниханса: из теории МЗ использованы понятие слабо эффективной оценки и сопровождающая теорема Ю.Б. Гермейера, а из ПМС - оценка значения функции сожаления в качестве риска по Сэвиджу-Нихансу. Рассмотрение ограничено интервальными неопределенностями: о них ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Введено новое понятие - сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГИР), максимального по Слейтеру; установлено его существование при «привычных» для математического программирования ограничениях (непрерывность критериев, компактность множеств стратегий и неопределенностей). В качестве приложения найден явный вид СГИР в задаче диверсификации вклада по рублевому и валютному депозитам.

The applicability and novelty of this research lies in that the decision-maker in a multicriteria problem aims not only to maximize guaranteed values of each criterion, but also to minimize the guaranteed risks accompanying the said maximization. The topic of the research lies at the interface of the multicriteria problem theory and the Savage-Niehans minimax regret principle: the concept of a weakly effective estimate has been derived from the MP theory, while estimation of risks with values of the Savage-Niehans regret function has been derived from the minimax regret principle. The scope of this research is limited to interval uncertainties: the decision-maker only knows the limits of the interval, and probabilistic characteristics are missing. A new term is introduced, namely, “strongly guaranteed solution under outcomes and risks”; its existence for “regular”-confined-strategies for the mathematical programming is established. As an example of a practical application, the problem of diversification of a multi-currency deposit is suggested and solved.

Исследуются свойства правильных функций, а также ограниченных функций, имеющих не более чем счетное множество точек разрыва (названных $\sigma$-непрерывными). Доказана теорема об интегрируемости по Риману-Стилтьесу $\sigma$-непрерывных функций по непрерывным функциям ограниченной вариации, а также предельная теорема Хелли для таких интегрируемых и интегрирующих функций. Процесс интегрирования по Риману-Стилтьесу расширяется на случай интегрирования $\sigma$-непрерывных функций по произвольным функциям ограниченной вариации: вводится $(*)$-интеграл как сумма классического интеграла Римана-Стилтьеса по непрерывной части функции ограниченной вариации и суммы произведений значений интегрируемой функции на скачки интегрирующей. Таким образом, $(*)$-интеграл позволяет интегрировать разрывные функции по разрывным. Все свойства $(*)$-интеграла выводятся непосредственно из этого определения. Так, для $(*)$-интеграла доказывается формула интегрирования по частям, теорема о перемене порядка интегрирования, а также все необходимые для дальнейшегоприменения предельные теоремы, в том числе предельная теорема типа теоремы Хелли.

In this paper, the properties of the regular functions and the so-called $\sigma$-continuous functions (i.e., the bounded functions for which the set of discontinuity points is at most countable) are studied. It is shown that the $\sigma$-continuous functions are Riemann-Stieltjes integrable with respect to continuous functions of bounded variation. Helly's limit theorem for such functions is also proved. Moreover, Riemann-Stieltjes integration of $\sigma$-continuous functions with respect to arbitrary functions of bounded variation is considered. To this end, a $(*)$-integral is introduced. This integral consists of two terms: (i) the classical Riemann-Stieltjes integral with respect to the continuous part of a function of bounded variation, and (ii) the sum of the products of an integrand by the jumps of an integrator. In other words, the $(*)$-integral makes it possible to consider a Riemann-Stieltjes integral with a discontinuous function as an integrand or an integrator. The properties of the (*)-integral are studied. In particular, a formula for integration by parts, an inversion of the order of the integration theorem, and all limit theorems necessary in applications, including a limit theorem of Helly's type, are proved.

Исследуется задача мультипликативного управления для стационарной диффузионно-дрейфовой модели зарядки полярного диэлектрика. Роль управления играет старший коэффициент в уравнении модели, имеющий смысл коэффициента диффузии электронов. Глобальная разрешимость краевой задачи и локальная единственность ее решения, а также разрешимость экстремальной задачи доказана в предыдущих работах авторов. В настоящей работе для задачи управления выводится система оптимальности и устанавливаются условия локальной регулярности множителя Лагранжа. На основе анализа данной системы доказывается локальная единственность решения задачи мультипликативного управления для конкретных функционалов качества.

The multiplicative control problem for a stationary diffusion-drift model of charging a polar dielectric is studied. The role of control is played by a leading coefficient in the model equation, which has the meaning of the electron diffusion coefficient. The global solvability of the boundary value problem and the local uniqueness of its solution, as well as the solvability of the extremum problem under consideration, have been proved in the previous papers of the authors. In this paper, an optimality system is derived for the control problem and local regularity conditions for the Lagrange multiplier are established. Based on the analysis of this system, the local uniqueness of the multiplicative control problem's solution for specific cost functionals is proved.

Рассматривается выпуклая задача оптимального управления для параболического уравнения со строго равномерно выпуклым целевым функционалом, с граничным управлением и с распределенными поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Образы задающих поточечные фазовые ограничения операторов вкладываются в лебегово пространство суммируемых с $s$-й степенью функций при $s\in(1,2)$. В свою очередь, граничное управление принадлежит лебегову пространству с показателем суммируемости $r\in (2,+\infty)$. Основными результатами работы в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями являются регуляризованные, или, другими словами, устойчивые к ошибкам исходных данных, секвенциальные принцип Лагранжа в недифференциальной форме и поточечный принцип максимума Понтрягина.

A convex optimal control problem is considered for a parabolic equation with a strictly uniformly convex cost functional, with boundary control and distributed pointwise state constraints of equality and inequality type. The images of the operators that define pointwise state constraints are embedded into the Lebesgue space of integrable with $s$-th degree functions for $s\in(1,2)$. In turn, the boundary control belongs to Lebesgue space with summability index $r\in (2,+\infty)$. The main results of this work in the considered optimal control problem with pointwise state constraints are the two stable, with respect to perturbation of input data, sequential or, in other words, regularized principles: Lagrange principle in nondifferential form and Pontryagin maximum principle.

В 1976 году Альстер и Пшимусинский построили ненормальное вполне-регулярное сепарабельное топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности и имеющее мощность $\aleph_1$. Они также доказали, что в предположении аксиомы Мартина и отрицании континуум-гипотезы нельзя построить подобный пример, который дополнительно кометризуем. Если ослабить условие кометризуемости до субметризуемости, то подобное утверждение доказать нельзя: в данной статье построен пример ненормального вполне-регулярного субметризуемого сепарабельного локально счетного топологического пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности и имеющего мощность $\aleph_1.$

In 1976 K. Alster and T. Przymusinski constructed an example of nonnormal completely regular separable and first-countable topological space of cardinality $\aleph_1$. Also they proved a theorem which implies that under Martin's Axiom with negation of continuum hypothesis there is no similar example, which is additionally cometrizable. If we weaken the cometrizability condition to submetrizability, then the similar statement can not be proved: here we construct an example of nonnormal completely regular submetrizable separable first-countable locally countable space of cardinality $\aleph_1.$

Статья посвящена исследованию эффективности применения технологии параллельных вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью для задач приближенного расчета множеств достижимости нелинейных управляемых систем в конечномерном евклидовом пространстве. В рамках исследования предложен параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости, основанный на пошаговой вычислительной схеме с использованием узлов «кубических» сеток для аппроксимации множеств. Предложенный алгоритм предназначен для проведения расчетов на ЭВМ архитектуры SMP и решает вопросы разделения задачи на отдельные подзадачи, синхронизации работы параллельных частей алгоритма и равномерного распределения нагрузки между процессорами. Численное моделирование примеров на ЭВМ с двумя 4-ядерными процессорами с использованием предложенного в статье параллельного алгоритма показало высокую эффективность применения технологии параллельных вычислений для расчета множеств достижимости сеточными методами.

The paper investigates the effectiveness of shared memory parallel programming approach for constructing approximate attainable sets of nonlinear control systems in a finite-dimensional Euclidean space. In this study, we propose a parallel iterative algorithm for constructing approximate attainable sets employing a regular Cartesian grid for spatial discretization. The proposed algorithm has been designed for implementation on SMP systems and handles such issues as data decomposition, threads synchronization and distribution of work between multiple threads. Numerical experiments on a system with two quad-core processors confirmed a high efficiency of shared memory parallel programming approach for applying grid-based methods to construct approximate attainable sets.

Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собою регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a system of ordinary differential equations with pointwise phase equality constraint and a finite number of functional equality and inequality constraints. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space and, thirdly, it is resistant to errors of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the methods of dual regularization and iterative dual regularization.

Для задачи оптимального управления линейным параболическим уравнением с распределенным, начальным и граничным управлениями и с операторным полуфазовым ограничением типа равенства формулируется устойчивый секвенциальный, или, другими словами, регуляризованный, принцип максимума Понтрягина в итерационной форме. Его главное отличие от классического принципа максимума Понтрягина заключается в том, что он, во-первых, формулируется в терминах минимизирующих последовательностей, во-вторых, имеет форму итерационного процесса в пространстве двойственных переменных и, наконец, в-третьих, устойчиво к ошибкам исходных данных оптимизационной задачи порождает в ней минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги, т.е. представляет собой регуляризирующий алгоритм. Доказательство регуляризованного принципа максимума Понтрягина в итерационной форме опирается на методы двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. Приводятся результаты модельных расчетов при решении конкретной задачи оптимального управления, иллюстрирующих работу алгоритма, основанного на регляризованном итерационном принципе максимума Понтрягина. В качестве конкретной оптимизационной задачи рассмотрена задача поиска минимальной по норме тройки управлений при операторном ограничении-равенстве в финальный момент времени, или, другими словами, обратная задача финального наблюдения по поиску ее нормального решения.

The stable sequential Pontryagin maximum principle or, in other words, the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is formulated for the optimal control problem of a linear parabolic equation with distributed, initial and boundary controls and operator semiphase equality constraint. The main difference between it and the classical Pontryagin maximum principle is that, firstly, it is formulated in terms of minimizing sequences, secondly, the iterative process occurs in dual space, and thirdly, it is resistant to error of raw data and gives a minimizing approximate solution in the sense of J. Warga. So it is a regularizing algorithm. The proof of the regularized Pontryagin maximum principle in iterative form is based on the dual regularization methods and iterative dual regularization. The results of model calculations of the concrete optimal control problem illustrating the work of the algorithm based on the regularized iterative Pontryagin maximum principle are presented. The problem of finding a control triple with minimal norm under a given equality constraint at the final instant of time or, in other words, the inverse final observation problem of finding a normal solution is used as a concrete model optimal control problem.