Все выпуски

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

In the rectangular region, we study nonlocal boundary value problems for the one-dimensional unsteady convection-diffusion equation of fractional order with variable coefficients, describing the diffusion transfer of a substance, as well as the transfer due to the motion of the medium. A priori estimates of solutions of nonlocal boundary value problems in differential form are derived by the method of energy inequalities. Difference schemes are constructed and analogs of a priori estimates in the difference form are proved for them, error estimates are given under the assumption of sufficient smoothness of solutions of equations. From the obtained a priori estimates, the uniqueness and stability of the solution from the initial data and the right part, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem at the rate of $O(h^2+\tau^2)$.

Рассматриваются постановка и тестовые решения задачи динамического взаимодействия твердых тел произвольной формы в рамках дискретно-элементного моделирования. При дискретизации используется описание тел произвольной формы, составленных из элементов-сфер, жестко связанных между собой. Агломераты строились на нескольких сетках с разной размерностью, что позволило оценить влияние параметров при построении агломератов сфер и гладкости получаемой поверхности. Представлена система уравнений движения агломерата сфер относительно глобальной системы координат, интегрирование которой выполняется на модифицированной схеме Верле. Силы взаимодействия между сферами определяются на основе контактной модели Герца-Миндлина с учетом вязкого демпфирования. Тестирование метода проводилось на задаче взаимодействия двух сфер. Вычислялись траектории движения сфер, представленные агломератом сферических частиц. Полученные результаты сравнивались со случаем движения и взаимодействия сфер в одночастичном приближении.

The paper deals with the statement of a problem of dynamic interaction of arbitrary solid bodies and its test solutions in the context of discrete element modeling. For discretization we use description of bodies with arbitrary shapes, composed of rigidly bound spheres. The clumps were built with different characteristics, which allowed to estimate their influence on the process of clump construction and the smoothness of obtained surface. A system of equations of motion relative to global axes for a clump of spheres is presented. The forces of interaction between the spheres are determined based on the Hertz-Mindlin contact model with due account for viscous damping. A problem of interaction of two spheres was chosen as a test case. Spheres' trajectories composed of clumps of spheres were calculated. The results were compared with the results for the case of motion and interaction of spheres in one-particle approximation.

Рассматриваются ударные движения плоских твердых дисков над неподвижной горизонтальной плоскостью в однородном поле тяжести. Плоскость является абсолютно гладкой, соударения с плоскостью - абсолютно упругими. Диски движутся в вертикальной плоскости и вращаются вокруг горизонтальной оси, при этом они могут отрываться от плоскости с последующими ударами и прыжками. Приведены двумерные отображения таких движений дисков на фазовой плоскости при различных энергиях. Также определены стационарные точки и проведен полный анализ их линейной устойчивости. Показано, что в плоскости параметров имеется множество зон устойчивости и неустойчивости в первом приближении. Получены явные аналитические условия устойчивости и неустойчивости через параметры задачи.

We consider the motion of a flat rigig disks bouncing off a horizontal plane in the gravity field. The plane is assumed to be absolutely smooth and the impact absolutely elastic. The disks move in vertical plane and rotate around horizontal axis, while the disks are able to break off from the plane with following impacts and bounces. For different values of the energy, 2D projections of the disk’s trajectories onto the phase plane are given. The stationary points are determined and their linear stability is studied in detail. It is shown, there are alternating domains of linear stability and instability in the first approximation in the plane parameters. The stability conditions are expressed analytically in terms of the parameters of the problem.

Для конфликтно-управляемой динамической системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла, рассматривается дифференциальная игра с показателем качества, который оценивает историю движения, реализующуюся к терминальному моменту времени, а также включает интегральную оценку реализаций управлений игроков. Игра формализуется в классе чистых позиционных стратегий. На основе понятия коинвариантных производных для функционала цены этой игры выписывается функциональное уравнение Гамильтона-Якоби. Доказывается, во-первых, что решение этого уравнения, удовлетворяющее определенным условиям гладкости, является ценой исходной дифференциальной игры, а во-вторых, что цена в точках дифференцируемости удовлетворяет выписанному уравнению Гамильтона-Якоби. Таким образом, это уравнение можно трактовать как уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана для систем нейтрального типа.

For a conflict-controlled dynamical system described by functional differential equations of neutral type in Hale’s form, we consider a differential game with a quality index that estimates the motion history realized up to the terminal time and includes an integral estimation of realizations of players’ controls. The game is formalized in the class of pure positional strategies. Based on a coinvariant derivatives conception we derive a Hamilton–Jacobi functional equation. It is proved, firstly, that the solution of this equation, satisfying certain conditions of smoothness, is the value of the initial differential game, and secondly, that value at points of differentiability satisfies the considered Hamilton–Jacobi equation. Thus this equation can be interpreted as the Hamilton-Jacobi-Isaacs-Bellman equation for neutral type systems.

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

This paper investigates the rolling motion of a spherical top with an axisymmetric mass distribution on a smooth horizontal plane performing periodic vertical oscillations. For the system under consideration, equations of motion and conservation laws are obtained. It is shown that the system admits two equilibrium points corresponding to uniform rotations of the top about the vertical symmetry axis. The equilibrium point is stable when the center of mass is located below the geometric center, and is unstable when the center of mass is located above it. The equations of motion are reduced to a system with one and a half degrees of freedom. The reduced system is represented as a small perturbation of the problem of the Lagrange top motion. Using Melnikov’s method, it is shown that the stable and unstable branches of the separatrix intersect transversally with each other. This suggests that the problem is nonintegrable. Results of computer simulation of the top dynamics near the unstable equilibrium point are presented.

Представлены результаты исследования работоспособности следящего пневмопривода руки робота с опорной моделью в контуре управления для компенсации взаимовлияния движений различных степеней подвижности, которые могут проявляться в виде силовых и параметрических возмущений, искажающих заданный закон движения. Проведены математическое моделирование следящего пневмопривода линейного перемещения руки робота, работающего в цилиндрической системе координат, а также натурные испытания привода с предложенной системой управления. Полученные результаты показывают удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных и возможность частичной компенсации влияния силовых возмущений на заданный закон движения привода.

This paper presents the results of investigation of the working capacity of a servopneumatic actuator with a reference model in the control system. This control scheme is used to compensate for the mutual influence of movements of various degrees of mobility in industrial robots in the form of force and parametric perturbations. Mathematical modeling and a full-scale test of the servopneumatic actuator with a reference model in the control system are carried out. The mathematical model contains thermodynamical pressure and temperature differential equations of compressed air state in pneumatic cylinder chambers; logical relationships determining the conditions for connection of the chambers with a feed line or atmosphere; equations describing the dynamics of the servovalve; equations of mechanical force balance on the cylinder shaft and relationships describing the control system. The results obtained show a satisfactory agreement between the calculated and experimental data and the possibility of partial compensation for the influence of the force perturbations on the motion of the servopneumatic actuator. Based on the linearized mathematical model, the smoothing coefficient was calculated with respect to external force disturbances. The control system with a reference model in the control loop makes it possible to increase the noise immunity by 23 % in comparison with the conventional control system.

В работе рассматривается вывод законов кинематического управления движением трехколесного и четырехколесного экипажей с жесткими колесами вдоль произвольной гладкой траектории. Параметрами управления для трехколесного экипажа выбраны независимые углы вращения ведущих колес. Параметром управления четырехколесного экипажа выбран угол поворота переднего колеса в двухколесной модели автомобиля, определяемый углами поворота передних колес по принципу рулевого управления Аккермана. Установлено, что произведение скорости любой точки корпуса автомобиля на ориентированную кривизну ее траектории является кинематическим инвариантом, определяющим угловую скорость автомобиля. Приведены результаты численного моделирования и анимации движения трехколесного и четырехколесного экипажей, демонстрирующие адекватность предлагаемой модели кинематического управления. Обсуждаются возможности применения установленных законов кинематического управления движением при уточнении алгоритмов параллельной парковки, при решении навигационных задач управления механическими транспортными средствами при помощи навигационных систем ГЛОНАСС и GPS, при решении задач управления мобильными роботами с помощью датчиков слежения, а также при проектировании автодорог, транспортных развязок, паркингов, автозаправок, дорожных пунктов питания и при создании тренажеров.

The derivation of laws of kinematic control of motion of three-wheeled and four-wheeled carriages with hard wheels along an arbitrary smooth trajectory is considered in this paper. The independent angles of rotation of driving wheels are chosen as parameters of control for a three-wheeled carriage. The angle of rotation of a front wheel in the two-wheeled car models defined by the angles of rotation of front wheels on the basis of Ackermann steering is chosen as a control parameter for a four-wheeled carriage. It is established that the product of the velocity of any point of the vehicle body and the oriented curvature of its trajectory is a kinematic invariant determining the angular velocity of a vehicle. The paper presents the results of numerical modeling and animation of three-wheeled and four-wheeled carriages motion demonstrating the adequacy of the proposed model of kinematic control. The use of the proposed model can be a significant refinement of algorithms of parallel parking as well as the solution of navigation problems of management of motor vehicles using GPS and GLONASS navigation systems and problems of control of mobile robots with the help of tracking sensors. Also the proposed model can be useful for designing the motor roads, road interchanges, single-level and multilevel Parking lots, gasoline stations, on-the-go fast food stations and for the creation of car-simulators.

В работе рассматривается задача программного управления движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости при помощи трех двигателей-маховиков при условии, что шар катится без проскальзывания. Центр масс механической системы совпадает с геометрическим центром шара. Найдены законы управления, обеспечивающие движение шара вдоль базовых траекторий (прямой и окружности), а также по произвольно заданной кусочно-гладкой траектории на плоскости. В данной работе предлагается кватернионная модель движения шара, которая позволяет обойтись без традиционного использования тригонометрических функций, а кинематические уравнения записать в виде линейных дифференциальных уравнений, исключающих недостатки связанные с применением углов Эйлера. Решение поставленной задачи осуществляется с применением кватернионной функции времени, которая определяется видом траектории и законом движения точки контакта шара с плоскостью. Приведен пример управления движением шара и выполнена визуализация движения системы шар-маховики в пакете компьютерной алгебры.

This paper deals with the problem of program control of the motion of a dynamically asymmetric balanced ball on the plane using three flywheel motors, provided that the ball rolls without slipping. The center of mass of the mechanical system coincides with the geometric center of the ball. Control laws are found to ensure the motion of the ball along the basic trajectories (line and circle), as well as along an arbitrarily given piecewise smooth trajectory on the plane. In this paper, we propose a quaternion model of ball motion. The model does not require using the traditional trigonometric functions. Kinematic equations are written in the form of linear differential equations eliminating the disadvantages associated with the use of Euler angles. The solution of the problem is carried out using the quaternion function of time, which is determined by the type of trajectory and the law of motion of the point of contact of the ball with the plane. An example of ball motion control is given and a visualization of the ball-flywheel system motion in a computer algebra package is presented.

Рассматриваются методы моделирования взаимодействия потока несжимаемой жидкости и преграды в рамках эйлерова (метод объема жидкости в ячейке, Volume of Fluid - VOF) и лагранжева (метод гидродинамики сглаженных частиц, Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) описаний. На примере решения задач о движении потока жидкости, вызванного распадом начального уровня жидкости (задача о разрушении плотины), оцениваются преимущества и недостатки применения метода SPH для моделирования гидродинамических нагрузок на преграду, развитой свободной поверхности и каплеобразования. Определяется влияние способа конкретной численной реализации граничных условий Дирихле на твердых стенках на величину давления и характер ее изменения во времени. Численные результаты, полученные с использованием методов VOF и SPH, сопоставляются с известными экспериментальными данными.

The paper considers the methods of modeling of the incompressible fluid flow interaction with barriers in Euler formulation (volume of fluid - VOF) and Lagrangian (smoothed particle hydrodynamics - SPH) description. By the example of solving the problems of motion of the fluid flow caused by the collapse of the initial liquid level (dam break problem), the authors estimate advantages and disadvantages of using the SPH method for the simulation of hydrodynamic loads, free-form surface and formation of drops. The influence of the specific numerical implementation of the Dirichlet boundary conditions on solid walls on both the pressure magnitude and its time behavior is determined. Numerical results obtained by the methods of VOF and SPH are compared with known experimental data.

Рассмотрена задача оптимального управления движением космического аппарата при коррекции его положения в инерциальной системе координат за счет управляющих моментов, получаемых от ускорений инерционных маховиков бесплатформенной инерциальной навигационной системы. Полученное оптимальное управление обеспечивает плавное изменение ориентации космического аппарата, которое рассматривается как движение по кратчайшей траектории в конфигурационном пространстве специальной ортогональной группы $SO(3)$. Алгоритм управления реализуется с использованием оригинальной процедуры нелинейной сферической интерполяции кватернионов. Основными исполнительными органами ориентации динамического контура управления бесплатформенной инерциальной навигационной системой при решении задачи оптимального управления были выбраны четыре инерционных маховика (три - по осям космического аппарата, четвертый - по биссектрисе). Результаты моделирования верифицируются путем создания анимации корректирующего движения космического аппарата.

We consider the optimal control problem for spacecraft motion during correction of its position in an inertial coordinate system by means of control torques. Control torques arise from the acceleration of inertial flywheels of a strapdown inertial navigation system. We investigate optimal control, which ensures a smooth change in the spacecraft orientation. This smooth corrective motion is described as the motion along the shortest path in the configuration space of a special orthogonal group $SO(3)$. The shortest path coincides with the large circle arc of the unit hypersphere $S^3$. We also consider a control algorithm using the original procedure of nonlinear spherical interpolation of quaternions. Four inertial flywheels are used as the main executive bodies for orientation of the dynamic control loop of the strapdown inertial navigation system when solving the optimal control problem. Three flywheels are oriented along the axes of the spacecraft. The fourth flywheel is oriented along the bisector. The simulation results are presented. We consider examples for corrective motion in which the spacecraft has zero velocity and acceleration at the beginning and end of the maneuver. We give an animation of the corrective movement of the spacecraft. The proposed formalism can be extended to control the spacecraft motion at an initial angular velocity different from zero, as well as in the orbital coordinate system.